1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.
|r1-r2|0)交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).
1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.(　　)(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(　　)(3)“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的必要不充分條件.(　　)(4)過(guò)圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2.(　　)(5)聯(lián)立兩相交圓的方程,并消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在直線的方程.(　　)
2.(2020四川宜賓第四中學(xué)校高三月考)已知直線l:x-2y+a-1=0與圓(x-1)2+(y+2)2=9相交所得弦長(zhǎng)為4,則a=(　　)A.-9B.1C.1或-2D.1或-9
4.若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=(　　)A.21B.19C.9D.-11
5.(2020浙江學(xué)軍中學(xué)高三模考)若圓x2+y2+2ax+y-1=0的圓心在直線y=x上,則a的值為　　　　　,半徑為　　　　　.?
【例1】 (1)(多選)若直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值可以是(　　)A.-2B.2C.-12 D.12(2)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是(　　)A.相交B.相切C.相離 D.不確定(3)平行于直線x+y+1=0,且與圓x2+y2=4相切的直線的方程為(　　)
答案 (1)BD　(2)A　(3)C　解析 (1)∵x2+y2-2x-2y+1=0可化為(x-1)2+(y-1)2=1,∴圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1.∵直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,∴圓心(1,1)到直線3x+4y-b=0的距離等于圓的半徑,
解題心得1.判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá),則用幾何法;若方程中含有參數(shù)或圓心到直線的距離的表達(dá)較煩瑣,則用代數(shù)法.2.已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí),可根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷條件建立不等式(組)解決.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)“a=3”是“直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)圓x2+y2-2x+4y=0與直線2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置關(guān)系為(　　)A.相離B.相切C.相交D.以上都有可能
答案 (1)A　(2)C　解析 (1)由直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切,得 ,即|a+1|=4,解得a=3或a=-5.故“a=3”是“直線y=x+4與圓(x-a)2+(y-3)2=8相切”的充分不必要條件.(2)直線2tx-y-2-2t=0恒過(guò)點(diǎn)(1,-2).因?yàn)?2+(-2)2-2×1+4×(-2)=-50)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若弦AB的長(zhǎng)的最小值為 ,則k的值為　　　　　.?
【例3】 (1)圓x2+y2-4x=0與圓x2+y2+4x+3=0的公切線共有(　　)A.1條B.2條 C.3條D.4條(2)已知兩點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(a>0),若曲線x2+y2-2 x-2y+3=0上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3] D.[1,2](3)若圓C:x2+y2=5-m與圓E:(x-3)2+(y-4)2=16有三條公切線,則m的值為(　　)A.2B.C.4D.6
答案 (1)D　(2)B　(3)C　解析 (1)由已知得圓x2+y2-4x=0的圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為2,圓x2+y2+4x+3=0的圓心坐標(biāo)為(-2,0),半徑為1,故圓心距為4,兩圓半徑和為3.因?yàn)?>3,所以兩圓外離,所以兩圓的公切線共有4條.故選D.
解題心得1.判斷兩圓的位置關(guān)系,通常用幾何法,從圓心距d與兩圓半徑的和、差的關(guān)系入手.如果用代數(shù)法,那么從方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷,但有時(shí)不能得到準(zhǔn)確結(jié)論.2.兩圓位置關(guān)系中的含參問題有時(shí)需要將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2 ,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是(　　)A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離(2)(2020河南安陽(yáng)模擬)已知圓C1:x2+y2-kx+2y=0與圓C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)P(a,b),且點(diǎn)P在直線mx-ny-2=0上,則mn的取值范圍為(　　)
答案 (1)B　(2)D　
【例4】已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線l:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
解 (1)因?yàn)閳AC1的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓心坐標(biāo)為(3,0).
由題意可知直線l的斜率必存在,設(shè)直線l的方程為y=tx.將上述方程代入圓C1的方程,化簡(jiǎn)得(1+t2)x2-6x+5=0.
解題心得 1.利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化),把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,通過(guò)代數(shù)的計(jì)算,使問題得到解決.2.直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密,可充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用,如在直線與圓相交的有關(guān)線段長(zhǎng)度計(jì)算中,要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長(zhǎng)放到一起綜合考慮.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2020浙江杭州第二中學(xué)高三期中)已知圓心在x軸上的圓C與直線l:x+2 y-10=0相切于點(diǎn)E(m,2 ),圓P:x2+(a+2)x+y2-ay+a+1=0.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知a>1,圓P與x軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)).過(guò)點(diǎn)M任作一條傾斜角不為0的直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn).問:是否存在實(shí)數(shù)a,使得∠ANM=∠BNM?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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