注意:當D2+E2-4F=0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個點 ;當D2+E2-4F0),點M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2?點M在圓上;?(2)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2?點M在圓外;?(3)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2?點M在圓內.?
1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)已知圓的方程為x2+y2-2y=0,過點A(1,2)作該圓的切線只有一條.(　　)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的一個圓.(　　)(4)已知點A(x1,y1),B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. (　　)(5)若點M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則 +Dx0+Ey0+F>0. (　　)
2.若圓C的半徑為1,圓心C與點(2,0)關于點(1,0)對稱,則圓C的標準方程為(　　)A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=1
答案 A　解析 因為圓心C與點(2,0)關于點(1,0)對稱,所以圓心C(0,0).又圓C的半徑為1,所以圓C的標準方程為x2+y2=1.
3.以A(-2,1),B(1,5)為半徑兩端點的圓的方程為(　　)A.(x+2)2+(y-1)2=25B.(x-1)2+(y-5)2=25C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=5
答案 C　解析 由題意得半徑 ,若以A(-2,1)為圓心,則所求圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=25,若以B(1,5)為圓心,則所求圓的方程為(x-1)2+(y-5)2=25.故選C.
4.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則圓C的標準方程是(　　)A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 A　解析 因為圓心在第一象限,且與x軸相切,所以設圓心的坐標為(a,1)(a>0).又圓C與直線4x-3y=0相切,所以 =1,解得a=2.所以圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.
5. 已知點A(2,0),B(0,4),O為坐標原點,則△AOB外接圓的方程為　　　　　.?
答案 (x-1)2+(y-2)2=5　
【例1】 (1)過點A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點B(2,1),則圓C的方程為　　　　　.?(2)已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x-y=0相切,且被直線x-y-3=0截得的弦長為 ,則圓C的方程為　　　　　.?
答案 (1)(x-3)2+y2=2　(2)(x-1)2+(y+1)2=2　解析 (1)(方法1)由已知得kAB=0,所以線段AB的垂直平分線的方程為x=3.①過點B且垂直于直線x-y-1=0的直線的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.②
解題心得求圓的方程的方法
對點訓練1(1)在平面直角坐標系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為　　　　　　　　　　.?(2)(多選)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的有(　　)A.圓M的圓心坐標為(4,-3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.圓M的半徑為25D.圓M被y軸截得的弦長為6
答案 (1)x2+y2-2x=0　(2)ABD　解析 (1)設點O,A,B的坐標分別為(0,0),(1,1),(2,0),則AO=AB,所以點A在線段OB的垂直平分線上.又因為OB為該圓的一條弦,所以圓心在線段OB的垂直平分線上,可設圓心坐標為(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以該圓的半徑為1,其方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.(2)由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,故圓M的圓心坐標為(4,-3),半徑為5,顯然選項A正確,選項C不正確.令y=0,解得x1=0,x2=8,故圓M被x軸截得的弦長為8,同理,圓M被y軸截得的弦長為6,故選項B,D均正確.故選ABD.
【例2】 已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且點A(-1,0),B(3,0).(1)求直角頂點C的軌跡方程;(2)求直角邊BC的中點M的軌跡方程.
(2)設點M(x,y),C(x0,y0),因為點B(3,0),M是線段BC的中點,由(1)知,點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0),即(x-2)2+y2=1(y≠0).故點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y≠0).
解題心得求與圓有關的軌跡方程的方法
對點訓練2(1)從圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點P(x,y)引該圓的一條切線,切點為Q,PQ的長度等于點P到原點O的距離,則點P的軌跡方程為(　　)A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點,則點M的軌跡方程為　　　　　.?
答案 (1)D　(2)(x-1)2+(y-3)2=2　解析 (1)由題意得,圓心C的坐標為(3,-4),半徑r=2,如圖.因為|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以點P的軌跡方程為6x-8y-21=0.故選D.(2)依題意,圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心C(0,4).
考向1　借助目標函數(shù)的幾何意義求最值【例3】 已知點M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點.(1)求m+2n的最大值;
解題心得借助幾何性質求與圓有關的最值問題,常根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結合思想求解.(2)形如t=ax+by形式的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
對點訓練3已知實數(shù)x,y滿足(x-2)2+(y-1)2=1,則z= 的最大值與最小值分別為　　　　　和　　　　　.?
考向2　借助圓的幾何性質求最值【例4】 已知點A(0,2),點P在直線x+y+2=0上運動,點Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上運動,則|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　.?
解題心得形如|PA|+|PQ|形式的與圓有關的折線段問題(其中P,Q均為動點),要立足兩點:(1)減少動點的個數(shù);(2)“曲化直”,即將折線段轉化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對稱性解決.
對點訓練4(2020山東濟寧模擬)已知兩點A(0,-3),B(4,0),若點P是圓C:x2+y2-2y=0上的動點,則△ABP的面積的最小值為　　　　　.?
考向3　建立函數(shù)關系求最值
解題心得利用函數(shù)關系求最值時,先根據(jù)已知條件列出相關的函數(shù)關系式,再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值.
對點訓練5(2020寧夏銀川模擬)設點P(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動點,定點A(0,2),B(0,-2),

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