1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的　　　　　　　的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的　　　　,直線l叫做拋物線的　　　　.?一條直線.
2.拋物線的幾何性質(zhì)
1.設AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如圖所示,則
1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(　　)(2)若直線與拋物線只有一個交點,則直線與拋物線一定相切.(　　)(3)若一拋物線過點P(-2,3),則其標準方程可寫為y2=2px(p>0).(　　)(4)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.(　　)(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線,且其焦點坐標是
3.(2020江西萍鄉(xiāng)一模)已知動圓C經(jīng)過點A(2,0),且截y軸所得的弦長為4,則圓心C的軌跡為(　　)A.圓B.橢圓 C.雙曲線D.拋物線
答案 D　解析 設圓心C(x,y),圓C截y軸所得的弦為BD,過點C作CE⊥y軸,垂足為E(圖略),則|BE|=2,|CE|=|x|.依題意|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2,所以(x-2)2+y2=22+x2,化簡得y2=4x.所以圓心C的軌跡為拋物線.故選D.
4.若拋物線的焦點在直線x-2y-4=0上,則此拋物線的標準方程為　　　　　.?
答案 y2=16x或x2=-8y　解析 令y=0,得x=4.令x=0,得y=-2.所以拋物線的焦點坐標為(4,0)或(0,-2),所以所求拋物線的標準方程為y2=16x或x2=-8y.
【例1】 (1)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為(　　)A.(0,-4) B.(0,-2) C.(0,2)D.(0,4)(3)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點,F為拋物線C的焦點,若|FA|=2|FB|,則點A到拋物線C的準線的距離為(　　)A.6B.5C.4D.3
答案 (1)C　(2)BC　(3)A　
(3)由題意得,拋物線C:y2=8x的準線為l:x=-2,直線y=k(x+2)(k>0)恒過定點P(-2,0),如圖,過點A,B分別作AM⊥l于點M,BN⊥l于點N,連接OB,由|FA|=2|FB|,得|AM|=2|BN|,則B為AP的中點.因為O為PF的中點,所以|OB|= |FA|,所以|OB|=|FB|,所以點B的橫坐標為1.
又B為AP的中點,點P(-2,0),所以點A的橫坐標為4,所以點A到拋物線C的準線的距離為4+2=6.故選A.
解題心得1.涉及拋物線上的點到焦點距離,一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線距離處理.2.若P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)上一點,則|PF|=x0+ .若過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的弦AB的端點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=x1+x2+p.若遇到拋物線其他標準方程,則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結合的方法類似得到.
對點訓練1(1)如圖,過拋物線y2=8x的焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點,與拋物線的準線交于點C,若B是AC的中點,則|AB|=(　　)A.8D.12(2)(2020河北衡水三模)設F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為該拋物線上三點,若A,B,C三點坐標分別為(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,則x1+x2= (　　)A.6B.5C.4D.3
答案 (1)B　(2)A　
解析 (1)如圖,分別過點A,B作準線的垂線,垂足分別為D,E,設|AB|=|BC|=m,直線l的傾斜角為α.則|BE|=m|cs α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cs α|),
(2)由已知得拋物線的準線方程為x=-1,根據(jù)拋物線的定義,知|FA|=1+1=2,|FB|=x1+1,|FC|=x2+1,則|FA|+|FB|+|FC|=2+x1+1+x2+1=10,故x1+x2=6.故選A.
【例2】 (1)(2020重慶調(diào)研)已知拋物線y2=2px(p>0),點C(-4,0),過拋物線的焦點F作垂直于x軸的直線,與拋物線交于A,B兩點,若△CAB的面積為24,則以直線AB為準線的拋物線的標準方程為(　　)A.y2=4xB.y2=-4x C.y2=8xD.y2=-8x(2)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A,B,交其準線于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,則此拋物線方程為(　　)A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2= x
答案 (1)D　(2)B　
解題心得1.求拋物線的標準方程主要利用待定系數(shù)法,因為拋物線方程有四種形式,所以在求拋物線方程時,需先定位,再定量,必要時要進行分類討論.標準方程有時可設為y2=mx或x2=my(m≠0).2.由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離,從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程.
答案 (1)C　(2)D　
(2)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與拋物線C交于A,B兩點,直線l2與拋物線C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為(　　)A.16B.14C.12D.10
答案 (1)D　(2)A　解析 (1)由已知得點C1(3,2 ),F(2,0),記拋物線C2的準線為l,如圖,過點M作直線l的垂線,垂足為D,過點C1作直線l的垂線,垂足為D1,則|MF|+|MN|=|MD|+|MN|≥|MD|+|MC1|-1≥|C1D1|-1,當且僅當M,C1,D1三點共線,且點N在線段MC1上時等號成立,此時|MF|+|MN|取得最小值,則點M1的坐標為(1,2 ),|MF|-|MN|≤|MF|-(|MC1|-1)=|MF|-|MC1|+1≤|FC1|+1,當且僅當M為線段FC1的延長線與拋物線的交點,且點N在線段MC1上時等號成立,此時|MF|-|MN|取得最大值,
解題心得與拋物線有關的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化策略一:將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離,利用“兩點之間線段最短”這一原理來解決問題.轉(zhuǎn)化策略二:將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為該點到準線的距離,利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”這一原理來解決問題.
對點訓練3(1)(2020河南鄭州二模)已知拋物線C:y2=2x,過原點作兩條互相垂直的直線分別交拋物線C于A,B兩點(A,B均不與坐標原點重合),則拋物線的焦點F到直線AB的距離的最大值為(　　)A.2B.3C.D.4(2)設P為拋物線y2=4x上的一個動點,F為拋物線的焦點,點B(3,2).求:①|(zhì)PB|+|PF|的最小值.②點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值.
(2)解①由題意可知拋物線的準線方程為x=-1.如圖,過點B作BQ垂直準線于點Q,過點P作PM垂直準線于點M,由拋物線的定義可知|PF|=|PM|,則|PB|+|PF|=|PB|+|PM|≥|BQ|=4,當點P為BQ與拋物線的交點時,等號成立.故|PB|+|PF|的最小值為4.
②由題意可知拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,點A在準線上.由拋物線的定義知點P到直線x=-1的距離等于|PF|.于是,問題轉(zhuǎn)化為|PA|+|PF|的最小值.如圖,顯然,當點P為AF與拋物線的交點時,|PA|+|PF|取最小值,此時最小值為
【例4】 (1)已知過拋物線C:y2=4x焦點的直線交拋物線C于P,Q兩點,交圓x2+y2-2x=0于M,N兩點,其中P,M位于第一象限,A.3B.4C.5D.6(2)已知P是拋物線y2=4x上任意一點,Q是圓(x-4)2+y2=1上任意一點,則|PQ|的最小值為(　　)
答案 (1)A　(2)D　
解題心得 求解拋物線與其他圓錐曲線的綜合問題,要注意距離的轉(zhuǎn)換,將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)換成拋物線上的點到準線的距離,這樣可以簡化運算過程.
(3)(2021年1月8省適應測試)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為(　　)A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0
答案 (1)A　(2)A　(3)B　
解題心得解決直線與拋物線位置關系問題的方法(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似,一般要用到根與系數(shù)的關系.(2)有關直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,則可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時,一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法.[提醒]涉及弦的中點、斜率時,一般用“點差法”求解.
對點訓練5(1)(2020河南鄭州二模)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過焦點F,與拋物線C分別交于A,B兩點,且直線l與x軸不垂直,線段AB的垂直平分線與x軸交于點T(5,0),則S△AOB=(　　)①求直線AB的斜率;②設M為曲線C上一點,曲線C在點M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.

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