必考點(diǎn)1 比例線段
1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）
2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。
說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。
3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如
4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。
5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。
6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。
7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。
8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。
9、比例的基本性質(zhì)：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d
10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說(shuō)明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。
11、合比性質(zhì)：如果，那么
12．等比性質(zhì)：如果，（），那么
說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。
13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長(zhǎng)的線段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。
說(shuō)明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。
【典例1】若，且，則的值是（ ）
A．4B．2C．20D．14
【答案】A
【解析】
解：由a：b＝3：4知，
所以．
所以由得到：，
解得．
所以．
所以．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若，則．
【舉一反三】
1．若，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】
∵，
∴==，
故選D
2．已知（a≠0，b≠0），下列變形錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．2a=3bC．D．3a=2b
【答案】B
【解析】
解：由得，3a=2b，
A、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；
B、由等式性質(zhì)可得2a=3b，錯(cuò)誤；
C、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；
D、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．
3．已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
∵，∴設(shè)出b=5k，得出a=13k，把a(bǔ)，b的值代入，得，
．故選D．
必考點(diǎn)2 平行線分線段成比例
1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。
2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
說(shuō)明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問(wèn)定理的特殊情況。
3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
【典例2】如圖，，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，則DF的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解：，
，即，
，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
【舉一反三】
1．如圖，在中，，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題考查平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵在于求出AE
2．如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，，若，則等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】
解：∵，
∴ ，
∴，
即，
解得：，
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵
3.如圖，在中，D在AC邊上，，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，則（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3
【答案】B
【解析】
解：如圖，過(guò)O作，交AC于G，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴G是DC的中點(diǎn)．
又，
設(shè)，又，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識(shí)，難度較大，注意熟練運(yùn)用中位線定理和三角形面積公式．
必考點(diǎn)3 相似三角形
1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。
說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。
2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。
4、三角形相似的判定定理：
（1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似。可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。
（2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。
（3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。
說(shuō)明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來(lái)判定兩個(gè)三角形的相似。
第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。
第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。
第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形．相似。
5、相似三角形的性質(zhì)：
（1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。
（2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。
說(shuō)明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。
（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。
【典例3】如圖，在中，，，為邊上的一點(diǎn)，且．若的面積為，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
∵，，
∴，
∴，即，
解得，的面積為，
∴的面積為：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì).
【舉一反三】
1．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
解：因?yàn)橹杏幸粋€(gè)角是135°，選項(xiàng)中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
2．如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則＝（ ）
A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9
【答案】D
【解析】
解：設(shè)，
∵，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，表示出CF是解本題的關(guān)鍵．
3．如圖，在中，，，．點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交BC于點(diǎn)Q，D為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)BD平分時(shí)，AP的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解：，，，
，
，
，又，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
，
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
1．如圖，分別是邊上的點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
解：∵，
∴，
∴，即，
解得， ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查分線段成比例定理，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵
2．若 QUOTE ，則 QUOTE 的值為（ ）
A．2B． QUOTE C． QUOTE D．9
【答案】C
【解析】
設(shè)，
則a=2k，b=3k，c=4k，
∴原式，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡(jiǎn)便．
3．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，，，若，，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【解析】
解：設(shè)，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型.
4．如圖，，，EF與AC交于點(diǎn)G，則是相似三角形共有（ ）
A．3對(duì)B．5對(duì)C．6對(duì)D．8對(duì)
【答案】C
圖中三角形有：，，，，
∵，
∴
共有6個(gè)組合分別為：∴，，，，，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理.
5．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：∵在中，
∴易證四邊形為平行四邊形
∴易證
∴，A項(xiàng)錯(cuò)誤
，B項(xiàng)錯(cuò)誤
，C項(xiàng)錯(cuò)誤
，D項(xiàng)正確
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用兩者性質(zhì)確定線段比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
6．在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，8），B（10，2），若以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來(lái)的后得到線段CD，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（5，1）B．（4，3）C．（3，4）D．（1，5）
【答案】C
【解析】
∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的后得到線段CD，
∴端點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半，
又∵A（6，8），
∴端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）．
故選C．
點(diǎn)睛：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
7．如圖，點(diǎn)P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來(lái)的，得到△A′B′C′，點(diǎn)P在A′C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的的坐標(biāo)為（ ）
A．（4，3）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，4）
【答案】A
【解析】
∵點(diǎn)P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來(lái)的，得到△A′B′C′，
∴點(diǎn)P在A′C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的的坐標(biāo)為：（4，3）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵．
8．如圖，在中，分別為邊上的中點(diǎn)，則與的面積之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由題意可知：是的中位線，
，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．
9．如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E．若AB=10，BC=16，則線段EF的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D為AB中點(diǎn)，
∴DF=AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
即，
解得：DE=8，
∴EF=DE-DF=3，
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用其判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，則CD的長(zhǎng)為____．
【答案】5
【解析】
解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=5．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記判定方法準(zhǔn)確找到相似三角形對(duì)應(yīng)邊是本題的解題關(guān)鍵.．
11．如圖，以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到，，則____．
【答案】．
【解析】
解：∵以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)邊的比值是解題關(guān)鍵．
12．如圖，△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，則△ADE與△ABC的面積之比為______．
【答案】1：9．
【解析】
由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9.
考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).
13．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，以點(diǎn)為位似中心，相們比為，把縮小，得到，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．
【答案】或
【解析】
解：以點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，點(diǎn)的坐標(biāo)是
則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是位似圖形，熟練掌握位似變換是解題的關(guān)鍵.
14．已知三個(gè)邊長(zhǎng)分別為2，3，5的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為_____．
【答案】．
【解析】
解：如圖，
對(duì)角線所分得的三個(gè)三角形相似，
根據(jù)相似的性質(zhì)可知，
解得，
即陰影梯形的上底就是（）．
再根據(jù)相似的性質(zhì)可知，
解得：，
所以梯形的下底就是，
所以陰影梯形的面積是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
15．已知，且，則的值為__________．
【答案】12
【解析】
∵，
∴設(shè)a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案為12．
點(diǎn)睛：此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．
16．如圖，已知AB∥CD，若，則=_____．
【答案】
【解析】
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的端時(shí)，杠桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的端必須向上翹起，已知杠桿的動(dòng)力臂與阻力臂之比為，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端向下壓_____.
【答案】．
【解析】
解：如圖；都與水平線垂直，即；
易知：；
，
杠桿的動(dòng)力臂與阻力臂之比為
，即；
當(dāng)時(shí)，；
故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端點(diǎn)向下壓．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．

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