?江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-用導數(shù)研究函數(shù)的極值

一、單選題
1．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（???????）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
2．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上無極值，則的取值范圍是（???????）
A．（0，5] B．（0，5）
C．（0，） D．（0，]
3．（2022·江蘇·南京市第五高級中學模擬預測）已知，，有如下結(jié)論：
①有兩個極值點；
②有個零點；
③的所有零點之和等于零.
則正確結(jié)論的個數(shù)是（???????）
A． B． C． D．

二、多選題
4．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）已知函數(shù).如下四個命題
甲：該函數(shù)的最大值為；
乙：該函數(shù)圖像的兩條對稱軸之間的距離的最小值為；
丙：該函數(shù)圖象關(guān)于對稱；
?。涸摵瘮?shù)圖像可以由的圖象平移得到.
有且只有一個是假命題，那么下列說法正確的是（???????）
A．函數(shù)是偶函數(shù) B．的值可唯一確定
C．函數(shù)的極小值點為 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
5．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上可能（???????）
A．單調(diào)遞增 B．有零點 C．有最小值 D．有極大值
6．（2022·江蘇·模擬預測）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)存在兩個零點、，當變化時，記點構(gòu)成的曲線為，點構(gòu)成的曲線為，則（???????）
A．曲線恒在軸上方
B．曲線與有唯一公共點
C．對于任意的實數(shù)，直線與曲線有且僅有一個公共點
D．存在實數(shù)，使得曲線、分布在直線兩側(cè)
7．（2022·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，，則（???????）
A．函數(shù)在上無極值點
B．函數(shù)在上存在唯一極值點
C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為
D．若，則的最大值為
8．（2022·江蘇江蘇·二模）已知直線y=a與曲線相交于A，B兩點，與曲線相交于B，C兩點，A，B，C的橫坐標分別為x1，x2，x3，則（???????）
A． B． C． D．
9．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)記為，則下列結(jié)論正確的是（???????）．
A．若，R，則在處取得極值
B．若是偶函數(shù)，則為奇函數(shù)
C．若是周期為的周期函數(shù)，則也是周期為的周期函數(shù)
D．若的圖象關(guān)于直線對稱，則的圖象關(guān)于點中心對稱
10．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）對于函數(shù)，下列說法正確的有（???????）
A．在處取得極大值
B．只有一個零點
C．
D．若在上恒成立，則

三、填空題
11．（2022·江蘇省濱海中學模擬預測）已知函數(shù)，，，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為________．

四、解答題
12．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知函數(shù)，
(1)判斷是否存在實數(shù)，使得在處取得極值？若存在，求出實數(shù)；若不存在，請說明理由；
(2)若，當時，求證：．
13．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）函數(shù)．
(1)求函數(shù)在上的極值；
(2)證明：有兩個零點．
14．（2022·江蘇常州·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值，
(2)對任意實數(shù)，恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．
15．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學模擬預測）已知函數(shù)，其中.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)存在兩個極值點，當時，求的取值范圍.
16．（2022·江蘇江蘇·一模）已知實數(shù)，函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：存在極值點，并求的最小值.
17．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)在（，）上極值點的個數(shù)；
(2)當時，.其中為的導函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.
18．（2022·江蘇江蘇·一模）設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若為函數(shù)的兩個不等于1的極值點，設(shè)，記直線的斜率為，求證：.
19．（2022·江蘇·南京市第五高級中學模擬預測）已知，函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上存在兩個不同的極值點.
①求的取值范圍；
②若當時恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.
（參考數(shù)據(jù)：，）
20．（2022·江蘇·徐州市第七中學模擬預測）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
21．（2022·江蘇·南京市第五高級中學一模）已知函數(shù)(mR)的導函數(shù)為．
（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．
22．（2022·江蘇無錫·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4.
(1)若f(x)在x=2處取得極值,且關(guān)于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案：
1．B
【分析】對求導，由函數(shù)在處取極小值，所以，所以，，對求導，求單調(diào)區(qū)間及極大值，由的極大值為4，列方程得解.
【詳解】解：，所以
因為函數(shù)在處取極小值，所以，所以，，，
令，得或，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞增，所以在處有極大值為，解得，所以.
故選：B
2．A
【分析】利用導數(shù)求解，將問題轉(zhuǎn)化為
或在區(qū)間上恒成立，然后利用正弦函數(shù)的圖象求解即可.
【詳解】由已知條件得，
∵函數(shù)在區(qū)間上無極值，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
∴或在區(qū)間上恒成立，
當時，，
∵，∴，在此范圍內(nèi)不成立；
當時，，
∵，∴，即，解得，
則的取值范圍是，
故選：.
3．D
【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷命題①的正誤；利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷命題②的正誤；由得出，設(shè)，由推導出，由此可判斷出命題③的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】，則，.
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，函數(shù)的最小值為.
，.
令，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，所以，當時，.
，，
由零點存在定理可知，函數(shù)在和上各有一個零點，
所以，函數(shù)有兩個極值點，命題①正確；
設(shè)函數(shù)的極大值點為，極小值點為，則，
則，所以，
函數(shù)的極大值為，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，；當時，.
，，，則，即.
同理可知，函數(shù)的極小值為.
，.
由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間、、上各存在一個零點，
所以，函數(shù)有個零點，命題②正確；
令，得，，則，
令，則，
所以，函數(shù)所有零點之和等于零，命題③正確.
故選：D.
【點睛】本題考查函數(shù)的零點、極值點相關(guān)命題的判斷，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于難題.
4．ABD
【分析】根據(jù)題意得到命題乙和命題丁矛盾，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，可判斷假命題為丁，由此求得函數(shù) 的解析式，故可求出的表達式，判斷A;求出的值，可判斷B;令令，則，判斷C; 當時，求出，根據(jù)函數(shù) 的單調(diào)性，判斷D.
【詳解】由命題甲：該函數(shù)的最大值為，可得；
由命題乙：該函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可得；
由命題丁：由，可知，；
所以命題乙和命題丁矛盾；
若假命題是乙，則，
由命題丙：：該函數(shù)圖象的一個對稱中心為，，
可得，
故，，不滿足條件；
若假命題是丁，則，
由命題丙：該函數(shù)圖象的一個對稱中心為，，可得，
可得，，，可得，所以假命題是丁，
故，
則，為偶函數(shù)，A正確；
由以上分析可知，故B正確；
令，則，
因此函數(shù)極小值點為，故C錯誤；
當時，，此時函數(shù) 單調(diào)遞減，
故在時單調(diào)，故D正確；
故選：．
5．AD
【分析】由已知條件可得，，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)逐項判斷可得結(jié)論.
【詳解】因為且，則，，
所以，函數(shù)在上不可能有零點，B錯；
當時，即當時，在上單調(diào)遞增，A對；
函數(shù)在上可能有極大值，但無最小值，C錯D對.
故選：AD.
6．AD
【分析】求出曲線、對于的方程，數(shù)形結(jié)合可判斷ABC選項；求出函數(shù)在處的切線方程，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為，則，
令可得或，
因為函數(shù)存在兩個零點、，則，即.
當時，即當時，，則，
當時，即當時，，則，
則曲線為函數(shù)的圖象以及射線，
且當時，，所以，曲線在軸上方，A對；
對于B選項，當時，即當時，，
則，
當時，即當時，，則
所以，曲線為函數(shù)的圖象以及射線，
由圖可知，曲線、無公共點，B錯；
對于C選項，對于函數(shù)，，
此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
結(jié)合圖象可知，當時，直線與曲線沒有公共點，C錯；
對于D選項，對于函數(shù)，，則，
又因為，所以，曲線在處的切線方程為，即.
構(gòu)造函數(shù)，則，
，
令，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
當時，，即，
當時，，即，
所以，曲線、分布在直線的兩側(cè)，D對.

故選：AD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖象的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵在于求出兩曲線的方程，作出圖形，利用圖形以及導數(shù)的相關(guān)知識求解.
7．AD
【分析】A選項，二次求導，得到的單調(diào)性，得到答案；B選項，二次求導，得到在上單調(diào)遞增，從而判斷出無極值點；C選項，根據(jù)A選項得到的的單調(diào)性得到不等式，參變分離后，構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值得到答案；D選項，結(jié)合AB選項求出的函數(shù)單調(diào)性及同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，進行求解.
【詳解】對于A：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上無極值點，故A正確；
對于B：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上無極值點，故B錯誤；
對于C：由A得在上單調(diào)遞增，不等式恒成立，則恒成立，故恒成立.設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，故C錯誤；
對于D：若，則.由A，B可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∵，∴，，且，當時，，設(shè)，設(shè)，則，令，解得，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，此時，故的最大值為，故D正確.
故選：AD.
【點睛】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，極值，最值，從而證明出結(jié)論，或者求出參數(shù)的取值范圍，經(jīng)?？疾?，也是難點之一，要能結(jié)合函數(shù)特征，合理構(gòu)造函數(shù)進行求解.
8．ACD
【分析】畫出函數(shù)圖像，得到x1，x2，x3的范圍，由得出A正確，由得出B錯誤，由得出C正確，由得出D正確.
【詳解】

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.
，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.
，則，A對.
在上單調(diào)遞增，
，B錯.
在單調(diào)遞減，，C對.
對.
故選：ACD.
9．CD
【分析】通過舉反例判斷選項AB的真假，證明選項CD正確即得解.
【詳解】解：A. 如由于函數(shù)是增函數(shù)，所以不是極值點，所以該選項錯誤；
B. 如是偶函數(shù)，但是不是奇函數(shù)，所以該選項錯誤；
C. 是周期為的周期函數(shù)，所以，所以也是周期為的周期函數(shù)，所以該選項正確；
D. 的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，所以該選項正確.
故選：CD
10．AB
【分析】對A，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步求出函數(shù)的極值即可判斷；對B，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的范圍即可判斷；對C，利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值的大小關(guān)系即可判斷；對D，利用不等式恒成立，參數(shù)分離法即可求解．
【詳解】對于A，函數(shù)，，
令，即，解得，
當時，，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
當時，，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
在時取得極大值，故A正確；
對于B，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，函數(shù)在上有唯一零點，
當時，恒成立，即函數(shù)在上沒有零點，故有唯一零點，故B正確；
對于C，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，，，故C錯誤；
對與D，由在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，則，令，解得：，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，，故D錯誤．
故選：AB
【點睛】方法點睛：本題考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，研究不等式恒成立問題，要利用分離參數(shù)法處理恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為最值問題，考查數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
11．
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和零點，結(jié)合函數(shù)極大值點的定義進行求解即可.
【詳解】由，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，
于是有：，
由，
于是，解得，
令，所以，
令時，，，
令時，，，
因為在區(qū)間上有且只有一個極大值點，
所以（為函數(shù)的最小正周期），因為，
所以有，即，
當時，，所以，
此時有兩個極大值點，不符合題意；
當時，，此時此時有一個極大值點，符合題意，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用函數(shù)的對稱性、零點、函數(shù)極值的定義和正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12．(1)不存在這樣的實數(shù)；理由見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）假設(shè)存在這樣的實數(shù)，利用求解的值，代入函數(shù)中，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在某點存在極值點的充要條件判斷是否存在；
（2）因為，取代入不等式中，化簡不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可證明不等式.
(1)
假設(shè)存在這樣的實數(shù)，則有，即．
當，，令，
因為，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，
所以，即在上為單調(diào)減函數(shù)，
所以不存在這樣的實數(shù)．
(2)
因為，，所以，
要證，即證．
令，則．
，
令，，，則，
當，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，故，從而得在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，
所以，得證．
【點睛】本題主要考查學生對函數(shù)極值點的理解，對可導函數(shù)而言，導數(shù)為0是極值點的必要非充分條件；考查了一個重要的函數(shù)模型和一個典型的構(gòu)造函數(shù)的類型；轉(zhuǎn)化主元證明不等式是不等式證明?？嫉念愋椭唬?br /> 13．(1)極大值，；極小值，；
(2)詳見解析.

【分析】（1）由題可得，進而可得；
（2）當時，利用導數(shù)可得函數(shù)的最小值，進而可得函數(shù)有兩個零點，當，時，利用導數(shù)可得，即得.
（1）∵，∴，，由，可得，或，∴，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，∴時，函數(shù)有極大值，時，函數(shù)有極小值；
（2）∵，∴，∴，當時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，故存在，，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴時，函數(shù)，，，故時，有兩個零點，當時，，對于函數(shù)，則，又，∴，，即，此時函數(shù)沒有零點，當時，，由上可知，故當時，函數(shù)沒有零點，綜上，函數(shù)有兩個零點．
【點睛】利用導數(shù)研究零點問題：
（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；
（3）利用導數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.
14．(1)極大值為，無極小值
(2)

【分析】（1）求得，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；
（2）令，求得，轉(zhuǎn)化為，
設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點的存在定理得到存在唯一，使得，進而求得的值.
(1)
解：由題意，函數(shù)，可得，令，可得，


1



0


遞增
極大值
遞減

所以函數(shù)的極大值為，無極小值．
(2)
解：令，
可得，
因為對任意實數(shù)，恒成立，即，
設(shè)，，可得，
若時，；
若，令，可得
當時，，單調(diào)遞減；
當，，單調(diào)遞增，
所以，所以，
兩邊取指數(shù)得到，
因為當時，，
所以在遞減，
又由，
由零點存在定理知，存在唯一，使得，
x

1



0
-

遞增
極大值
遞減

所以，因為，則，所以．
【點睛】對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
15．(1)
(2)

【分析】（1）求出，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立.令，利用導數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，求出，即可求出的取值范圍；
(2)先判斷出時有兩個極值點，且.得到.令，則，得到，.令利用二次求導判斷出在上遞增.求出，得到的取值范圍是.
(1)
因為，所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，即的取值范圍是.
(2)
.
對函數(shù)，設(shè)上一點為，
過點的切線方程為，
將代入上式得，
所以過的的切線方程為
所以，要使與有兩個交點，則.
此時有兩個極值點，且.
，
令，則，所以，
所以，即，所以，
令，令，
所以在上遞增.
因為，所以在上恒成立.所以在上恒成立.
所以在上遞增.
又，
所以當時，，
所以的取值范圍是.
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：
(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
16．(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(2)證明見解析，的最小值是e．

【分析】（1）求導，根據(jù)的正負判定函數(shù)的增減即可；
（2）根據(jù)導數(shù)的分母正，需要分子有變號零點，轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導數(shù)再次確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.
（1）
（1）當時，，
則
令，得；
令，得；
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
（2）
（2）
令，因為，
所以方程，有兩個不相等的實根，
又因為，
所以，
令，列表如下:





-
0
+

減
極小值
增

所以存在極值點.
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得對任意的有解，因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，
記，
所以，
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增．
所以當時，的最小值為．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因為在上單調(diào)遞增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
17．(1)1；
(2).

【分析】（1）求導，再對分兩個區(qū)間討論得解；
（2）轉(zhuǎn)化條件為函數(shù)恒成立，結(jié)合導數(shù)、及端點效應即可得解.
(1)
解：由題得，
當時，.
當時，，在單調(diào)遞增；
當時，，在單調(diào)遞減.
所以函數(shù)在（，）上極值點的個數(shù)為1.
(2)
解：由題得在上恒成立，
即恒成立，
因為，
①若，在上單調(diào)遞增，，符合題意；
②若令，
則，所以在單調(diào)遞增，且，
（i）若，，
在上單調(diào)遞增，，符合題意；
（ii）若，，
則存在，使得當時，，單調(diào)遞減，
此時，不合題意；
綜上，.
【點睛】方法點睛：求參數(shù)的取值范圍常用的方法有兩種：（1）分離參數(shù)法，分離參數(shù)求最值；（2）分類討論.要根據(jù)具體情況靈活選擇方法求解.
18．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出，即可求出切點坐標，從而求出切線方程；
（2）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意在上有兩個不等于的正根，即可得到韋達定理，不妨設(shè)，所以，根據(jù)兩點斜率公式得到，即證，根據(jù)對數(shù)平均不等式可得，只需證明，令，依題意即證，，再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
(1)
解：因為，所以，，所以，所以切點為，切線的斜率，所以切線方程為
(2)
解：因為
因為為函數(shù)的兩個不等于1的極值點，所以在上有兩個不等于的正根，所以，所以，不妨設(shè)，所以，所以




要證即證，
即，
令，則，所以當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，所以在上恒成立，因為，所以，所以，即，
即，所以，
下面只需證明，令，因為，所以，所以，所以，
即證，，
即證，，令，，，所以在上單調(diào)遞減，所以，得證；
【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
19．（1）；（2）①；②.
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求處的切線方程即可.
（2）①由題意知，有兩個不相等的正根，即可求的取值范圍；②由①得到的單調(diào)區(qū)間，可知要使時，恒有成立，只需滿足，而，結(jié)合①的結(jié)論得，則，構(gòu)造中間函數(shù)并應用導數(shù)研究單調(diào)性，確定的范圍，即可比較的大小，進而求的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，則，
∴，，即所求的切線方程為.
（2）①，
設(shè)在上的極值點為，，則，是方程的兩正根，
∴，解得.
②由①知：當時，，所以單調(diào)遞增；
當時，，所以單調(diào)遞減；
當時，，所以單調(diào)遞增.
∴要使時，恒有成立，只需滿足.
由，，則，又，
∴，.
設(shè)，，則.
∴，在上單調(diào)遞減，即，從而.
由，得，又，
∴，得.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，①求的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的正根求參數(shù)范圍；②由①判斷的區(qū)間單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造中間函數(shù)并應用導數(shù)求的范圍，并比較的大小關(guān)系.
20．（I）；（II）證明見解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：

所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，
當時，，則，單調(diào)遞增，
當時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
（III）由（II）知，此時，
所以，
令，
若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，
，，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實數(shù)b的取值范圍.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
21．（1）（2）{1，2}．
【解析】（1）求解導數(shù)，表示出，再利用的導數(shù)可求m的取值范圍；
（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
則，
由題意可知，解得；
（2）由（1）可知，，
所以
因為
整理得，
設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，
又因為，
所以存在，使得，
設(shè)，是關(guān)于開口向上的二次函數(shù)，
則，
設(shè)，則，令，則，
所以單調(diào)遞增，因為，
所以存在，使得，即，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，所以，
又由題意可知，所以，
解得，所以正整數(shù)k的取值集合為{1，2}．
【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導數(shù)的零點問題，恒成立問題要逐步消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題求解，適當構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，本題綜合性較強，難度較大，側(cè)重考查數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).
22．（1）；（2）
【分析】（1）求出導函數(shù)，f（x）在x=2處取得極值，求出a，然后求解函數(shù)的極值，通過關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求解實數(shù)m的取值范圍；
（2）求出函數(shù)的最大值，利用最大值大于0，即可滿足條件，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合a的取值討論，求解即可．
【詳解】(1)f'(x)=-3x2+2ax,由題意得f'(2)=0,即-12+4a=0,解得a=3,經(jīng)檢驗a=3滿足條件,
則f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
當x在[-1,1]內(nèi)變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f'(x)

-
0
+

f(x)
0
↘
-4
↗
-2

∵關(guān)于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有兩個不同的實數(shù)根,
∴-40,x∈(0,+∞)即可,
f'(x)=-3x2+2ax=-3x,
①若a≤0,則當x>0時,f'(x)0,得a>3.
綜上,a>3.
【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應用，難度比較大．

相關(guān)試卷

高考數(shù)學利用導數(shù)研究函數(shù)的極值練習題：

這是一份高考數(shù)學利用導數(shù)研究函數(shù)的極值練習題，共4頁。試卷主要包含了設(shè)函數(shù)f，若x＝﹣2是函數(shù)f，已知a為函數(shù)f，已知函數(shù)f，已知a為常數(shù)，函數(shù)f，設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-利用導數(shù)研究不等式恒成立問題：

這是一份江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，共50頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性：

這是一份江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性，共39頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-利用導數(shù)函數(shù)的零點

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-利用導數(shù)函數(shù)的零點
江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-利用導數(shù)證明不等式

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-利用導數(shù)證明不等式
江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-用導數(shù)研究函數(shù)的最值

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-用導數(shù)研究函數(shù)的最值
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部