?江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

一、單選題
1．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，，則（????????）
A． B．
C． D．
2．（2022·江蘇江蘇·二模）已知實(shí)數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（???????）
A． B． C． D．

二、多選題
3．（2022·江蘇·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點(diǎn)、，當(dāng)變化時，記點(diǎn)構(gòu)成的曲線為，點(diǎn)構(gòu)成的曲線為，則（???????）
A．曲線恒在軸上方
B．曲線與有唯一公共點(diǎn)
C．對于任意的實(shí)數(shù)，直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)
D．存在實(shí)數(shù)，使得曲線、分布在直線兩側(cè)
4．（2022·江蘇江蘇·三模）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（???????）
A．是等差數(shù)列 B．
C． D．

三、解答題
5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中m＞0，f '(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，且恒成立．
(1)求m的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x0，函數(shù)f '(x)的極小值點(diǎn)為x1，求證：x0＞x1．
6．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)．
7．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，
(1)判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得在處取得極值？若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請說明理由；
(2)若，當(dāng)時，求證：．
8．（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)=e2x，，m>0，設(shè)
(1)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若直線是曲線=e2x的一條切線，求證："a>b，都有．
9．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求f（x）的最大值；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)m，n滿足－1≤m＜0＜n≤1，且，求證：．
10．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)證明：對于任意正整數(shù)，不等式成立.
11．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上是單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若對于任意，存在正實(shí)數(shù)，使得，試判斷與的大小關(guān)系，并給出證明．
12．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)已知直線是曲線的一條切線，求k的值；
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，，證明：．
13．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，恒成立，求k的最大值；
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，證明：．
14．（2022·江蘇南京·三模）已知函數(shù)＝（x2－x＋1）ex－3，，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)記函數(shù)在（0，＋∞）上的最小值為m，證明：e＜m＜3．
15．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）已知函數(shù)．
(1)證明：；
(2)若，證明：．
16．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)若，證明：存在兩個零點(diǎn)，且．
17．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，證明：.
18．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，
(1)若函數(shù)在定義域上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求證：
19．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．
(1)若函數(shù)在處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若，證明：．
20．（2022·江蘇泰州·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
21．（2022·江蘇省木瀆高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)(a∈R)．
(1)若是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)若，是函數(shù)的兩個不同的零點(diǎn)，求證：．
22．（2022·江蘇江蘇·一模）設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若為函數(shù)的兩個不等于1的極值點(diǎn)，設(shè)，記直線的斜率為，求證：.
23．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
（1）證明：；
（2）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求的最小值.
24．（2022·江蘇·南京市雨花臺中學(xué)模擬預(yù)測）已知．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求證：．

參考答案：
1．D
【分析】構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)，分別利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.
【詳解】令，，
當(dāng)時，，，，單調(diào)遞增，
，即，，即，
令，
，
令，
令，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，，
，在上單調(diào)遞減，
，即，
綜上：.
故選：D.
2．D
【分析】化簡條件后根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷不等式
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)?br /> 所以，所以，即，
又，所以，所以，即，綜上，.
故選：D
3．AD
【分析】求出曲線、對于的方程，數(shù)形結(jié)合可判斷ABC選項(xiàng)；求出函數(shù)在處的切線方程，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，
令可得或，
因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個零點(diǎn)、，則，即.
當(dāng)時，即當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，即當(dāng)時，，則，
則曲線為函數(shù)的圖象以及射線，
且當(dāng)時，，所以，曲線在軸上方，A對；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，即當(dāng)時，，
則，
當(dāng)時，即當(dāng)時，，則
所以，曲線為函數(shù)的圖象以及射線，
由圖可知，曲線、無公共點(diǎn)，B錯；
對于C選項(xiàng)，對于函數(shù)，，
此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，直線與曲線沒有公共點(diǎn)，C錯；
對于D選項(xiàng)，對于函數(shù)，，則，
又因?yàn)?，所以，曲線在處的切線方程為，即.
構(gòu)造函數(shù)，則，
，
令，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
所以，曲線、分布在直線的兩側(cè)，D對.

故選：AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵在于求出兩曲線的方程，作出圖形，利用圖形以及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識求解.
4．ABD
【分析】對于A,求出，再將轉(zhuǎn)化為,即可證明，
對于B,利用A的結(jié)論求出，再利用基本不等式，即可證明.
對于C，求出，即可判斷正誤，
對于D，構(gòu)造函數(shù)，即可判斷正誤
【詳解】，，解得：
時，，
整理得：
故是等差數(shù)列，選項(xiàng)A正確；
，則，，選項(xiàng)B正確；
，選項(xiàng)C錯誤；
令，，
在遞增，，則
即，選項(xiàng)D正確；
故選：ABD.
5．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)可得解析式，即可得解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和最小值，結(jié)合題意，即可得m的范圍.
（2）求得解析式，令，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得存在，使得t(x2)＝0，進(jìn)而可得f '(x)在x＝x2處取得極小值，即x1＝x2，所以，令，分析可得s(x1)＜0，即可得證
(1)
由題設(shè)知，
則，
所以
當(dāng)x＞1時，h'(x)＞0，則h(x)在區(qū)間(1，＋∞)是增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜1時，h'(x)＜0，則h(x)在區(qū)間(0，1)是減函數(shù)，
所以h(x)min＝h（1）＝，解得，
所以m的取值范圍為
(2)

令
則＝恒成立，
所以t(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增．
又，
所以存在，使得t(x2)＝0，
當(dāng)x∈(0，x2)時，t'(x)＜0，即f ''(x)＜0，則f '(x)在(0，x2)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(x2，＋∞) 時，t'(x)＞0，即f ''(x)＞0，則f '(x)在(x2，＋∞)單調(diào)遞增；
所以f '(x)在x＝x2處取得極小值．即x1＝x2，
所以t(x1)＝0，即，
所以，
令，則 s(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增；
所以s(x1)＜0
因?yàn)閒(x)的零點(diǎn)為x0，則，即s(x0)＝0
所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x1
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極（最）值的方法，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于，需結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，再進(jìn)行分析和求解，屬中檔題.
6．(1)證明見解析；
(2)

【分析】（1）方法1：證，即證，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，分別得到，即證；
方法2：令，易得在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)的存在性定理可得存在唯一的，使得，
則結(jié)合基本不等式即可證明；
（2）構(gòu)造，；則，時，在上為單調(diào)增函數(shù)，分別討論，，即可.
(1)
的定義域?yàn)椋?br /> 方法1：要證，即證．
記，，
由于，當(dāng)時，，則在上為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)時，，則在上為單調(diào)增函數(shù)，所以．
又，令，得，
當(dāng)時，，則在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，，則在上為減函數(shù)，
所以，得證．
方法2：，令，因?yàn)椋?br /> 所以在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
又，，所以存在唯一的，使得．
因?yàn)樵趨^(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
且滿足，，
所以
，得證．
(2)
令，則，；
則，時，在上為單調(diào)增函數(shù)
①當(dāng)時，，且，
所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
即，符合題意．
②當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，
所以，且，
所以存在唯一的，使得，
且在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)時，，即不恒成立，不合題意．
③當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)時，，即不恒成立，不合題意．
綜上，．
【點(diǎn)睛】（1）證明單變量不等式時，構(gòu)造兩個函數(shù)，證明其中一個函數(shù)最小值大于另一個函數(shù)的最大值為重要的方法之一；也可以通過“隱零點(diǎn)”達(dá)到證明的目的．
（2）“切點(diǎn)型零點(diǎn)”問題往往通過先猜后證的方式簡化思維量、運(yùn)算量．
7．(1)不存在這樣的實(shí)數(shù)；理由見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，利用求解的值，代入函數(shù)中，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)存在極值點(diǎn)的充要條件判斷是否存在；
（2）因?yàn)椋〈氩坏仁街?，化簡不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可證明不等式.
(1)
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，則有，即．
當(dāng)，，令，
因?yàn)?，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，
所以，即在上為單調(diào)減函數(shù)，
所以不存在這樣的實(shí)數(shù)．
(2)
因?yàn)椋?，所以?br /> 要證，即證．
令，則．
，
令，，，則，
當(dāng)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，故，從而得在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，
所以，得證．
【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對函數(shù)極值點(diǎn)的理解，對可導(dǎo)函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)為0是極值點(diǎn)的必要非充分條件；考查了一個重要的函數(shù)模型和一個典型的構(gòu)造函數(shù)的類型；轉(zhuǎn)化主元證明不等式是不等式證明常考的類型之一．
8．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判定；
（2）根據(jù)題意，求出切線，然后轉(zhuǎn)化所給不等式逐步分析求證.
（1）

當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，

要使有兩個零點(diǎn)，首先必有
當(dāng)時，注意到
在和上各有一個零點(diǎn)，符合題意
綜上：取值范圍為
（2）
證明：，設(shè)與切于

要證：證：
即證：，即證：
令證明：
構(gòu)造在上
，證畢！
【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．
9．(1)1
(2)證明見解析

【分析】（1）分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)在兩個區(qū)間的單調(diào)性，從而可得出答案；
（2）令，則，則條件變?yōu)?，令，則，再結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可得，再進(jìn)行變形即可得證.
(1)
解：當(dāng)時，，
∴在上遞增，此時，
當(dāng)時，，
∴在上遞減，
所以，
∴；
(2)
證明：令，∴，
∴條件變?yōu)椋?br /> 再令，其中，，
由在上遞減且，
∴，，
所證不等式變?yōu)椋?br /> 即證：，
∵，∴，
∴.
10．(1)1
(2)證明見解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出其最小值；
（2）利用（1）中的結(jié)論可知，，再根據(jù)所證不等式中的項(xiàng)的形式對賦值，可得，，即可累加求和證出．
(1)
因?yàn)?br /> 令且當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，
(2)
由（1）知當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）
令



，即原不等式成立．
11．(1)
(2)；證明見解析

【分析】（1）由題意可得當(dāng)時恒成立，則，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算處理；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，通過作差判斷的大小關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)判斷大?。?br /> (1)
則
由題意可得當(dāng)時恒成立
構(gòu)建，則當(dāng)時恒成立
∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時恒成立
則即
(2)
構(gòu)建，則
∵且在區(qū)間連續(xù)
則在區(qū)間上存在極值點(diǎn)
即存在正實(shí)數(shù)，使得，
即

設(shè)，，當(dāng)時恒成立
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
即，則，
由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，即．
【點(diǎn)睛】整理得到，觀察構(gòu)建．
12．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）利用切線的性質(zhì)即可求解；
（2）屬于極值點(diǎn)偏移問題，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可證明.
(1)
，設(shè)切點(diǎn)為 ，則切線斜率為
切線方程為 ，
即 ，
因?yàn)橹本€是曲線的一條切線，所以 ，即 ，
故 ；
(2)
由題可知函數(shù) 有兩個不同的零點(diǎn) ，
即 ，
記 ，則 ，
當(dāng)時， ，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點(diǎn)，
當(dāng)時，令 ，得，
當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，
所以，解得，???????????????????????
所以不妨設(shè)，要證，即證，
因?yàn)?，，又在單調(diào)遞增，
所以即證，即證，
構(gòu)造函數(shù)，
所以 ，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，????????
所以當(dāng)時，，
即，，即，
又在單調(diào)遞增，故；


【點(diǎn)睛】對于極值點(diǎn)偏移問題，傳統(tǒng)的解法是構(gòu)造函數(shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)與原函數(shù)的對稱性，再對所構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
13．(1)2
(2)證明見解析

【分析】（1）求出，然后分、討論的單調(diào)性，結(jié)合可得答案；
（2）首先可得，然后由可得、，即可證明.
(1)
，
①當(dāng)時，由得，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即
所以在上單調(diào)遞增，又，因此恒成立；
②當(dāng)時，令，
則，當(dāng)，得，
所以在上，，單調(diào)遞減，又，所以，
即，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，不滿足要求．
綜上，,最大值為2.
(2)
由

，
要證，即證，
即證明：．
由（1），即，
?。ǎ?，
所以，
累加得：，所以．
14．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)證明見解析.

【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；
（2）求導(dǎo)得到，再求出，再對分類討論得證.
(1)
解：，
，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增；
單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)
解：，，
①，則，
②當(dāng)時，，
所以
所以；
當(dāng)時，
設(shè)所以在單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，
當(dāng)時，，
對任意，均有，則，
綜上：.
15．(1)證明見解析
(2)證明見解析.

【分析】（1）求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞減，進(jìn)而得；
（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
（1）
解：因?yàn)椋?br /> 所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即.
（2）
解：由（1）知，故，
所以，
所以，令，則，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時，，故成立；
②假設(shè)時，，
即成立，
當(dāng)時，，
由于


所以，當(dāng)時，不等式成立.
綜上①②，不等式成立.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考試運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于借助第一問的結(jié)論得，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
16．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為
(2)證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況通過討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由（1）結(jié)零點(diǎn)存在性定理可得在上存在唯一零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，則設(shè)，則，從而可得，所以要證，只要證，設(shè)，只要證，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可
(1)
的定義域?yàn)椋?br /> 若，當(dāng)時，，，所以，遞減；
當(dāng)時，，，所以，遞增
若，當(dāng)時，，，所以，遞減；
當(dāng)時，，，所以，遞增.
綜上，時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為
(2)
由（1）知，時在上遞減，在上遞增，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以在上存在唯一零點(diǎn).
因?yàn)?，?br /> 設(shè)，，則，
所以在上遞增，，即，
所以在上存在唯一零點(diǎn).
綜上，，時，存在兩個零點(diǎn)，
因?yàn)?br /> 設(shè)，則，
即，即.
要證，只要證，只要證，
設(shè)，只要證.
設(shè)，，
因?yàn)?br /> 所以在上遞減，所以，
故原不等式得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是得到零點(diǎn)后，得設(shè)，則得，要證，只要證，令，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題
17．(1)答案見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再對分兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）依題意要證，即證，令，，即證，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值，從而得證；
(1)
解：因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上可得：當(dāng)時在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
證明：當(dāng)時，.
要證，即證，即證，即，令，，即證，
令，，所以，令，解得，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得極小值即最小值，
，即，所以；
18．(1)
(2)證明過程見解析.

【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對a分類討論，結(jié)合單調(diào)性及最小值，列出不等關(guān)系，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）先進(jìn)行簡單放縮，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行證明.
(1)
的定義域?yàn)?，，?dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在定義域上不可能有兩個零點(diǎn)；
當(dāng)時，令得：，令得：，故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，要想函數(shù)在定義域上有兩個零點(diǎn)，則，解得：，又，當(dāng)時，，由零點(diǎn)存在性定理可知：在與范圍內(nèi)各有一個零點(diǎn)，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(2)
證明：當(dāng)時，即證，（）
由于，故，只需證，令，則，因?yàn)?，所以，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，故在上恒成立，結(jié)論得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明不等式，常常需要對不等式進(jìn)行變形放縮，常見放縮有三角函數(shù)有界性放縮，切線放縮，如，，等.
19．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)寫出斜率，表示出切線方程，代入原點(diǎn)即可.
（2）由得出，借助基本不等式將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，求出最小值即可.
(1)
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)椋?br /> 所以在處的切線方程為：．
點(diǎn)代入切線方程可得．
(2)
因?yàn)?，，?br /> 所以，所以，
因?yàn)椋裕?br /> 所以．
因?yàn)?，所以?br /> 所以．
設(shè)，
則．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，．
所以，所以，
所以．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于通過這一條件得到，借助基本不等式將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的代數(shù)式，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)求解.
20．(1)答案見解析；
(2)證明見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再討論或即可作答.
(2)由(1)求出，把所證不等式分成兩部分分別作等價變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性推理作答.
(1)
函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，
當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，的解集為，的解集為，
即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
因?yàn)?，?1)知，，且，解得，
設(shè)，則，要證，即證，即證，
即證，設(shè)，
則，即在上單調(diào)遞減，有，
即，則成立，因此成立，
要證，即證，即證，即證，即證，
而，即證，
令，則，
設(shè)，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞增，
則有，即，在上單調(diào)遞減，而，當(dāng)時，
，則當(dāng)時，成立，故有成立，
所以，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式造價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
21．(1)；
(2)證明見解析.

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值恒大于等于0，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求最值即可作答.
(2)根據(jù)給定條件可得，，再分別作差、求和分析推理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討最值作答.
(1)
函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時，，
因是單調(diào)增函數(shù)，則時，，令，
，即有在上單調(diào)遞增，，，則，
所以a的取值范圍是.
(2)
因，是函數(shù)的兩個不同的零點(diǎn)，則，顯然，有，，
，不妨令，設(shè)，于是得，
要證，只需證，
令，，則在上單調(diào)遞增，
則有，于是得，
又，要證，只需證，
而，即證，
令，，，
從而得在在上單調(diào)遞減，，即有，
綜上得：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明不等式成立問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性、最值作答.
22．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程；
（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上有兩個不等于的正根，即可得到韋達(dá)定理，不妨設(shè)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式得到，即證，根據(jù)對數(shù)平均不等式可得，只需證明，令，依題意即證，，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
(1)
解：因?yàn)椋?，，所以，所以切點(diǎn)為，切線的斜率，所以切線方程為
(2)
解：因?yàn)?br /> 因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個不等于1的極值點(diǎn)，所以在上有兩個不等于的正根，所以，所以，不妨設(shè)，所以，所以




要證即證，
即，
令，則，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，所以在上恒成立，因?yàn)椋?，所以，即?br /> 即，所以，
下面只需證明，令，因?yàn)?，所以，所以，所以?br /> 即證，，
即證，，令，，，所以在上單調(diào)遞減，所以，得證；
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
23．（1）證明見解析；（2）；（3）1.
【分析】（1）由條件轉(zhuǎn)化為證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)（1）可知時，不等式成立，當(dāng)時，不成立，即不等式不恒成立，即可得結(jié)論；（3）先求，再設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）∵，∴證明即證明即證明.
設(shè)，∴，???
∴時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減.
∴，
∴即成立.???
（2）時，即，
由（1）知，當(dāng)時，成立，???
當(dāng)時，顯然時不成立，
綜上，.
（3）.
設(shè)，，
∴在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴存在使，且時即，遞減；
時即，遞增，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵在是單調(diào)遞增，
∴，
∴，???
∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及求函數(shù)的最小值，本題的關(guān)鍵是第三問再求得函數(shù)的最小值是，利用求得.
24．（1）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增．（2）見解析.
【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，令，求出解為，從而可探究、隨自變量的變化，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；
（2）由（1）可知，記，結(jié)合基本不等式可證明，從而可知在上單調(diào)遞增，則可知，結(jié)合 的單調(diào)性可證明.
【詳解】解：（1），記，則．
由， ，解得．
當(dāng)時，，函數(shù)即單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)即單調(diào)遞增．
（2）由題意知有兩個零點(diǎn)，為，不妨設(shè)，
由（1）可知，．所以.
記
，則，因?yàn)椋?br /> 由均值不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以在上單調(diào)遞增．
由，可得，即，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個零點(diǎn)，所以，所以，
又，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，考查了基本不等式，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立.本題的難點(diǎn)在于第二問中，自行構(gòu)造出.

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