?江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編-用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

一、單選題
1．（2022·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇鹽城·三模）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足：，，則a，b，c大小滿足（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（???????）
A． B． C． D．
4．（2022·江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，當(dāng)最大時(shí)，的值為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍(???????)
A． B． C． D．

二、多選題
6．（2022·江蘇江蘇·一模）已知函數(shù)，若對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)使得，則滿足條件的實(shí)數(shù)的可能值有（???????）
A．-1 B．0 C． D．1
7．（2022·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，，則（???????）
A．函數(shù)在上無極值點(diǎn)
B．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)
C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為
D．若，則的最大值為
8．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在單位圓O：上任取一點(diǎn)，圓O與x軸正向的交點(diǎn)是A，設(shè)將OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為，記x，y關(guān)于的表達(dá)式分別為，，則下列說法正確的是（???????）
A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)
B．在為增函數(shù)，在為減函數(shù)
C．對(duì)于恒成立
D．函數(shù)的最大值為
9．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)二模）已知函數(shù)，則（???????）
A．對(duì)任意正奇數(shù)n，f(x)為奇函數(shù)
B．當(dāng)n=3時(shí)，f(x)在[0，]上的最小值為
C．當(dāng)n=4時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是
D．對(duì)任意正整數(shù)n，f(x)的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱

三、填空題
10．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，設(shè)的最小值為M，若至少有一個(gè)零點(diǎn)，且命題成立，則的取值范圍是__________．
11．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為_______．
12．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.
13．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小值為_____________．
14．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若隨機(jī)變量等可能的在，，中取值，其中，則的最小值為______．
15．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）已知函數(shù)，則的最小值為____________．
16．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，直線l交邊AC，AB分別于點(diǎn)D，E(異于△ABC的頂點(diǎn))，將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，則四棱錐A－BCDE體積的最大值為________．
17．（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) 的圖象上存在點(diǎn) ，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn) ，且、關(guān)于 軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為________

四、解答題
18．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，證明；
(2)若存在極值點(diǎn)，且對(duì)任意滿足的，都有，求a的取值范圍．
19．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知函數(shù) ，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，當(dāng)時(shí)，，求的最小值．
20．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.
21．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)．
22．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）公元1651年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬（Fermat）討論了這個(gè)問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問題如下：設(shè)兩名運(yùn)動(dòng)員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，比賽意外終止．獎(jiǎng)金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．
(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．若，，，，求．
(2)記事件為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)，，時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說明理由．規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件．
23．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個(gè)命題：
①；②；③；
請(qǐng)從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明．
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
24．（2022·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)=e2x，，m>0，設(shè)
(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若直線是曲線=e2x的一條切線，求證："a>b，都有．
25．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值，
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
26．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)證明：對(duì)于任意正整數(shù)，不等式成立.
27．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求b的范圍；
(2)若在處的切線為，且，求整數(shù)m的最大值．
28．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上是單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若對(duì)于任意，存在正實(shí)數(shù)，使得，試判斷與的大小關(guān)系，并給出證明．
29．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)二模）我國(guó)某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)一款芯片進(jìn)行試產(chǎn)，設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p（0＜p＜1），且各個(gè)芯片的生產(chǎn)互不影響．
(1)試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為，．
①求p；
②現(xiàn)對(duì)該款試產(chǎn)的芯片進(jìn)行自動(dòng)智能檢測(cè)，自動(dòng)智能檢測(cè)為次品（注：合格品不會(huì)被誤檢成次品）的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，然后再進(jìn)行人工抽檢已知自動(dòng)智能檢測(cè)顯示該款芯片的合格率為96%，求人工抽檢時(shí)，抽檢的一個(gè)芯片是合格品的概率．
(2)視p為概率，記從試產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取n個(gè)恰含m（n＞m）個(gè)次品的概率為，求證：在時(shí)取得最大值．
30．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
31．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，
(1)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：
32．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
33．（2022·江蘇泰州·一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
34．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
（1）證明：；
（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求的最小值.
35．（2022·江蘇·沭陽如東中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）新型冠狀病毒是一種人傳人，而且隱藏至深、不易被人們直覺發(fā)現(xiàn)危及人們生命的嚴(yán)重病毒．我們把與這種身帶新型冠狀病毒（稱之為患者）有過密切接觸的人群稱為密切關(guān)聯(lián)者．已知每位密切關(guān)聯(lián)者通過核酸檢測(cè)被確診為陽性后的概率為．一旦被確診為陽性后即將其隔離．某位患者在隔離之前，每天有 位密切關(guān)聯(lián)者與之接觸（而這個(gè)人不與其他患者接觸），其中被感染的人數(shù)為．
（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)的概率的表達(dá)式和的數(shù)學(xué)期望；
（2）該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天內(nèi)患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時(shí)間．設(shè)每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與位密切關(guān)聯(lián)者接觸．從某一名患者被帶新型冠狀病毒的第1天開始算起，第天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為．
①當(dāng)，，求的值；
②試分析每位密切關(guān)聯(lián)者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經(jīng)大量臨床數(shù)據(jù)驗(yàn)證佩戴口罩后被感染患病的概率滿足關(guān)系式．當(dāng) 取得最大值時(shí)，計(jì)算所對(duì)應(yīng)的和所對(duì)應(yīng)的 值，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明佩戴口罩的必要性（取）．
（參考數(shù)據(jù)：，，， ，，計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）

參考答案：
1．A
【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.
【詳解】設(shè)
切線：，即
切線：，即，
令

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以
故選：A．
2．D
【分析】首先利用三角函數(shù)恒等變形，判斷；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】由，
又單增，，則，
設(shè),，得，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值
又，∴，
故選：D
3．B
【分析】求導(dǎo)后，根據(jù)單調(diào)遞增和存在最小值可知，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；可知；結(jié)合可解方程組求得的值.
【詳解】，又，
在上單調(diào)遞增，
在上存在最小值，，使得，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
…①，
由得：…②，
②①得：，
，，；
①②得：；
又，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值求解參數(shù)值的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)的單調(diào)性及存在最值確定存在零點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)的零點(diǎn)和的最小值構(gòu)造方程組，利用方程組推導(dǎo)得到參數(shù)值.
4．B
【分析】先令，兩邊取對(duì)數(shù)，再分析的最值即可求解.
【詳解】令，兩邊取對(duì)數(shù)，有，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以時(shí)，取到最大值，從而有最大值，
因此，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
而，因此，當(dāng)最大時(shí)，.
故選：B
5．C
【分析】觀察分析可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)g(x)的單調(diào)性和奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為即對(duì)恒成立.
【詳解】設(shè)，
則，即，
由，解得，即g(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
故g(x)是定義在(－2，2)上的奇函數(shù).
，
y＝在(－2，2)單調(diào)遞增，y＝lnx在(0，﹢∞)單調(diào)遞增，故g(x)在(－2，2)單調(diào)遞增，
則變?yōu)椋?br /> ∴原問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立，
則對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立.
令，
∵在上單調(diào)遞減，
∴，∴；
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴，
∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
6．AB
【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)無最小值，再分類探討函數(shù)在內(nèi)最值情況判斷作答.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?，總使得?br /> 則有函數(shù)在上沒有最小值，對(duì)求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，取最大值，值域?yàn)?，在?nèi)無最小值，因此，，
當(dāng)時(shí)，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，顯然，即，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，不妨令，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
即函數(shù)在，上都單調(diào)遞減，在，都單調(diào)遞增，
函數(shù)在與處都取得極小值，，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，不符合題意，
綜上得：實(shí)數(shù)的取值范圍是：，
所以滿足條件的實(shí)數(shù)的可能值有-1，0.
故選：AB
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者
將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
7．AD
【分析】A選項(xiàng)，二次求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，得到答案；B選項(xiàng)，二次求導(dǎo)，得到在上單調(diào)遞增，從而判斷出無極值點(diǎn)；C選項(xiàng)，根據(jù)A選項(xiàng)得到的的單調(diào)性得到不等式，參變分離后，構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值得到答案；D選項(xiàng)，結(jié)合AB選項(xiàng)求出的函數(shù)單調(diào)性及同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行求解.
【詳解】對(duì)于A：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由A得在上單調(diào)遞增，不等式恒成立，則恒成立，故恒成立.設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，則.由A，B可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∵，∴，，且，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，設(shè)，則，令，解得，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)，故的最大值為，故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，極值，最值，從而證明出結(jié)論，或者求出參數(shù)的取值范圍，經(jīng)常考察，也是難點(diǎn)之一，要能結(jié)合函數(shù)特征，合理構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.
8．ACD
【分析】A，由題可知，，，根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性，可判斷選項(xiàng)A；
B，根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)B；
C，先利用輔助角公式可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得解；
D，，，，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，從而可知函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，結(jié)合正弦的二倍角公式，代入進(jìn)行運(yùn)算即可得解．
【詳解】由題可知，，，
對(duì)于A：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B：在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)；在，上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，，，，，則，，故C正確；
對(duì)于D：函數(shù)，，，
則，
令，則；令，則，
函數(shù)在∈時(shí)單調(diào)遞增，在∈，上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，為，故D正確．
故選：ACD．
9．BD
【分析】通過判斷的值，判斷A的正誤；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最大值，判斷B的正誤；求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間判斷C的正誤；判斷，判斷D的正誤．
【詳解】解：對(duì)于A，取，則，從而，此時(shí)不是奇函數(shù)，則A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
令，則，
所以的遞增區(qū)間為，則C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則D正確；
故選：BD.
10．
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，結(jié)合與圓相切時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式和導(dǎo)數(shù)，求得的最小值為，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，
因?yàn)榈淖钚≈禐?，即，即表示圓及其外部的部分，
又因?yàn)槊}成立，即時(shí)，恒成立，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，
可得
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
可得的最小值為，所以的最大值為，
所以的最小值為，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
11．
【分析】分析可知直線與函數(shù)在上的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，
則，由，可得，列表如下：









增
極大值
減

如下圖所示：

因?yàn)樵趦?nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)?，，所以，?br /> 因此，在上的最大值與最小值的和為.
故答案為：.
12．##
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，可得，恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，然后設(shè)，求出的最大值，從而確定的最小值．
【詳解】因?yàn)閮H在時(shí)取等號(hào)，
故為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
故由設(shè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
當(dāng)時(shí)，，恒成立，
當(dāng)時(shí)，
構(gòu)造函數(shù)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，
即恒成立，故需，
設(shè)，，
在，上遞增，在，遞減，
，故的最小值為 ，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，綜合性強(qiáng)，要注意將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，解答的關(guān)鍵是要對(duì)不等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪?，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而求得最值.
13．
【分析】由題可知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值，討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值
【詳解】由題可知，函數(shù)為偶函數(shù)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，即恒成立.
∴
故答案為：-1.
14．
【分析】根據(jù)題意，求得的表達(dá)式，并設(shè)為，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最值，分析即可得答案.
【詳解】隨機(jī)變量等可能的在，，中取值，故取每個(gè)值的概率均為，
于是，
設(shè)，，
則，
設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞增，結(jié)合，
于是當(dāng)時(shí)，，從而，故在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，從而，故在上單調(diào)遞增，
故．即的最小值為.
故答案為：
15．
【分析】令，求出，再分和兩種情況得到，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值；
【詳解】解：因?yàn)?，令，即，所以?br /> 所以當(dāng)時(shí)，則，
令，則，即在上單調(diào)遞增，
又，
所以，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，
綜上可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
故答案為：
16．
【分析】令，過作，垂足為，由結(jié)合重要不等式得出，利用換元法結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出四棱錐A－BCDE體積的最大值.
【詳解】令
，
過作，垂足為，




令
令

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
，
故答案為：
17．
【分析】設(shè)則，可得，構(gòu)造函數(shù)，，求值域即可.
【詳解】設(shè)則
所以，，聯(lián)立可得，
即對(duì)于有解，
令，則，
由可得：；由可得：，
所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，又，
所以，
所以值域?yàn)椋?br /> 即可得的取值范圍為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即得.
18．(1)證明見解析；
(2)

【分析】（1）利用切線放縮可得，且等號(hào)不同時(shí)成立，則結(jié)論可證；
（2）多次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化問題為，再由即可得解.
（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋O(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，且等號(hào)不同時(shí)成立，所以；
（2）函數(shù)，，若存在極值點(diǎn)，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，不妨設(shè)，若，則；若，由可得，則，所以，即對(duì)恒成立，令，則，則，設(shè)，則，，令，，則，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，存在，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，，，不符合題意；所以，由單調(diào)遞增可得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是通過多次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化不等關(guān)系.
19．(1)分類討論，答案見解析.
(2)1

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)a的符號(hào)分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可；
(2)這個(gè)問題是求函數(shù) 在 區(qū)間的值域，并且由于n，m是整數(shù)，
的值域是（m，n）的子集，求n的最小值和m的最大值.
(1)
函數(shù) 的定義域?yàn)?， ，
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的 ， ，
此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，由 可得，由 可得，
此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
(2)
證明：當(dāng)時(shí)，，
則 ，
令，其中，則 ，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋源嬖谖ㄒ唬?br /> 使得，即，可得，
當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，
，
即，因?yàn)椋?br /> 綜上所述，若，當(dāng)時(shí)，，
即 ，所以的最小值為1；
綜上，的最小值為1.
20．(1)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
(2)或

【分析】（1）直接求導(dǎo)，討論和，求出對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間即可；
（2）將題設(shè)轉(zhuǎn)化為有一個(gè)零點(diǎn)，由知函數(shù)除0之外無其他零點(diǎn)，分，，和依次討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，即可求解.
(1)
易得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
(2)
函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于有一個(gè)零點(diǎn)，，
顯然，即函數(shù)除0之外無其他零點(diǎn)，，令，，
當(dāng)時(shí)，，則，即在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，即除0之外無其他零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又，
則存在使，即在單增，單減，又，時(shí)，，
故在至少存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由上知在單調(diào)遞減，，則在單調(diào)遞增，即，
當(dāng)時(shí)，令，則，即單調(diào)遞減，，即，
令，則，即單調(diào)遞減，，即，
則，即除0之外無其他零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由上知在單調(diào)遞減，又，，，
則存在使，即在單增，單減，
又，時(shí)，，故在存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
綜上：或.
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于將題設(shè)轉(zhuǎn)化為有一個(gè)零點(diǎn)，由知函數(shù)除0之外無其他零點(diǎn)，然后借助分類討論分，，和依次分析函數(shù)的零點(diǎn)情況即可求解.
21．(1)證明見解析；
(2)

【分析】（1）方法1：證，即證，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，分別得到，即證；
方法2：令，易得在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)的存在性定理可得存在唯一的，使得，
則結(jié)合基本不等式即可證明；
（2）構(gòu)造，；則，時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)，分別討論，，即可.
(1)
的定義域?yàn)椋?br /> 方法1：要證，即證．
記，，
由于，當(dāng)時(shí)，，則在上為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則在上為單調(diào)增函數(shù)，所以．
又，令，得，
當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，
所以，得證．
方法2：，令，因?yàn)椋?br /> 所以在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
又，，所以存在唯一的，使得．
因?yàn)樵趨^(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
且滿足，，
所以
，得證．
(2)
令，則，；
則，時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)
①當(dāng)時(shí)，，且，
所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
即，符合題意．
②當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，且，
所以存在唯一的，使得，
且在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，即不恒成立，不合題意．
③當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，即不恒成立，不合題意．
綜上，．
【點(diǎn)睛】（1）證明單變量不等式時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，證明其中一個(gè)函數(shù)最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值為重要的方法之一；也可以通過“隱零點(diǎn)”達(dá)到證明的目的．
（2）“切點(diǎn)型零點(diǎn)”問題往往通過先猜后證的方式簡(jiǎn)化思維量、運(yùn)算量．
22．(1)；
(2)，事件是小概率事件；理由見解析.

【分析】（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，進(jìn)而可得甲贏的概率，即得；
（2）由題可得甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)可得，即得.
(1)
設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則，2．
，，
故，
從而．
(2)
設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則，3．
，，
故，即，
則，
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，從而，
所以，
故事件是小概率事件．
23．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）分，討論，當(dāng)時(shí)，求的最小值，根據(jù)可得；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，先利用導(dǎo)數(shù)研究?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)的范圍，然后由，，作商取對(duì)數(shù)得.若選①，令，構(gòu)造函數(shù)，若選②，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)偏移問題的方法可證；若選③，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證.
(1)
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)不合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
要，只需，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，則由得，
所以，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．
(2)
當(dāng)時(shí)，，，
令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，
若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，
令得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，則，
設(shè)，因?yàn)椋?，則，
因?yàn)?，所以，?br /> 則，取對(duì)數(shù)得，
令，，則，即
①令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，
則，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即?br /> 亦即，
因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增，所以，
則，整理得，
所以，故①成立
②令，則，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，則，在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即，
所以，
即，故②成立．
③令，，則，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，則，
∴，則，
兩邊約去后化簡(jiǎn)整理得，即，
故③成立．
【點(diǎn)睛】雙變量的不等式證明問題，主要通過換元構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明即可.本題屬極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)膶?duì)稱函數(shù).
24．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判定；
（2）根據(jù)題意，求出切線，然后轉(zhuǎn)化所給不等式逐步分析求證.
（1）

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，首先必有
當(dāng)時(shí)，注意到
在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意
綜上：取值范圍為
（2）
證明：，設(shè)與切于

要證：證：
即證：，即證：
令證明：
構(gòu)造在上
，證畢！
【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
25．(1)極大值為，無極小值
(2)

【分析】（1）求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；
（2）令，求得，轉(zhuǎn)化為，
設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理得到存在唯一，使得，進(jìn)而求得的值.
(1)
解：由題意，函數(shù)，可得，令，可得，


1



0


遞增
極大值
遞減

所以函數(shù)的極大值為，無極小值．
(2)
解：令，
可得，
因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，即，
設(shè)，，可得，
若時(shí)，；
若，令，可得
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以，所以，
兩邊取指數(shù)得到，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以在遞減，
又由，
由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一，使得，
x

1



0
-

遞增
極大值
遞減

所以，因?yàn)?，則，所以．
【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
26．(1)1
(2)證明見解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出其最小值；
（2）利用（1）中的結(jié)論可知，，再根據(jù)所證不等式中的項(xiàng)的形式對(duì)賦值，可得，，即可累加求和證出．
(1)
因?yàn)?br /> 令且當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，
(2)
由（1）知當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）
令



，即原不等式成立．
27．(1);
(2)2

【分析】（1）求出當(dāng)時(shí)，只需要；（2）先根據(jù)切線的條件求出參數(shù)，在類似（1）中用恒成立的方式來處理.
(1)
由，當(dāng)時(shí)，得．
當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范圍是．
(2)
由得，且．
由題意得，所以，
又在切線上．
所以，所以，即．
因?yàn)?，所以有?br /> 令，則等價(jià)于，即，從而．
設(shè)，則．
易知在上單調(diào)遞增，且．
所以，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一的使得，
即，則．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．
從而．
而在上是減函數(shù)，所以．
因此的最小值．
從而整數(shù)m的最大值是2．
28．(1)
(2)；證明見解析

【分析】（1）由題意可得當(dāng)時(shí)恒成立，則，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算處理；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，通過作差判斷的大小關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)判斷大小．
(1)
則
由題意可得當(dāng)時(shí)恒成立
構(gòu)建，則當(dāng)時(shí)恒成立
∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)恒成立
則即
(2)
構(gòu)建，則
∵且在區(qū)間連續(xù)
則在區(qū)間上存在極值點(diǎn)
即存在正實(shí)數(shù)，使得，
即

設(shè)，，當(dāng)時(shí)恒成立
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
即，則，
由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，即．
【點(diǎn)睛】整理得到，觀察構(gòu)建．
29．(1)①，②
(2)證明見解析

【分析】（1）①由題意可知兩道生產(chǎn)工序互不影響，利用對(duì)立事件可求；②依題意可利用條件概率公式求抽檢的一個(gè)芯片是合格品的概率；
（2）依題意可知，求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可證明結(jié)論成立.
（1）
①因?yàn)閮傻郎a(chǎn)工序互不影響，
法一：所以．
法二：所以．
答：該款芯片的次品率為；
②記該款芯片自動(dòng)智能檢測(cè)合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，
且．
則人工抽檢時(shí)，抽檢的一個(gè)芯片恰是合格品的概率：．
答：人工抽檢時(shí)，抽檢的一個(gè)芯片恰是合格品的概率為；
（2）
因?yàn)楦鱾€(gè)芯片的生產(chǎn)互不影響，所以，
所．
令，得，
所以當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值．
30．(1)
(2)

【分析】（1）求出，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立.令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，求出，即可求出的取值范圍；
(2)先判斷出時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.得到.令，則，得到，.令利用二次求導(dǎo)判斷出在上遞增.求出，得到的取值范圍是.
(1)
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，即的取值范圍是.
(2)
.
對(duì)函數(shù)，設(shè)上一點(diǎn)為，
過點(diǎn)的切線方程為，
將代入上式得，
所以過的的切線方程為
所以，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，則.
此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.
，
令，則，所以，
所以，即，所以，
令，令，
所以在上遞增.
因?yàn)?，所以在上恒成?所以在上恒成立.
所以在上遞增.
又，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
31．(1)
(2)證明過程見解析.

【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，結(jié)合單調(diào)性及最小值，列出不等關(guān)系，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）先進(jìn)行簡(jiǎn)單放縮，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行證明.
(1)
的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在定義域上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令得：，令得：，故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，要想函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，又，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理可知：在與范圍內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(2)
證明：當(dāng)時(shí)，即證，（）
由于，故，只需證，令，則，因?yàn)?，所以，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，故在上恒成立，結(jié)論得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明不等式，常常需要對(duì)不等式進(jìn)行變形放縮，常見放縮有三角函數(shù)有界性放縮，切線放縮，如，，等.
32．(1)增區(qū)間為和，減區(qū)間為
(2)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)

【分析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）①當(dāng)時(shí)，求得在上為增函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，得到在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，分類討論，即可求解.
(1)
解：當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，則，
所以在上為增函數(shù)．
綜上可得，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為．
(2)
解：①當(dāng)時(shí)，，可知在上為增函數(shù)，
又因?yàn)椋?br /> 所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，，則，
若，則，所以在上為增函數(shù)，
于是，此時(shí)在上沒有零點(diǎn)．
若，則；，
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
所以．
（?。┤?，則，此時(shí)在上沒有零點(diǎn)．
（ⅱ）若，則，此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)．
（ⅲ）若，則，又因?yàn)椋?br /> 所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；
由，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
則，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)．此時(shí)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．
33．(1)答案見解析；
(2)證明見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再討論或即可作答.
(2)由(1)求出，把所證不等式分成兩部分分別作等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性推理作答.
(1)
函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，
即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
因?yàn)?，?1)知，，且，解得，
設(shè)，則，要證，即證，即證，
即證，設(shè)，
則，即在上單調(diào)遞減，有，
即，則成立，因此成立，
要證，即證，即證，即證，即證，
而，即證，
令，則，
設(shè)，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞增，
則有，即，在上單調(diào)遞減，而，當(dāng)時(shí)，
，則當(dāng)時(shí)，成立，故有成立，
所以，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式造價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
34．（1）證明見解析；（2）；（3）1.
【分析】（1）由條件轉(zhuǎn)化為證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)（1）可知時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，不成立，即不等式不恒成立，即可得結(jié)論；（3）先求，再設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）∵，∴證明即證明即證明.
設(shè)，∴，???
∴時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.
∴，
∴即成立.???
（2）時(shí)，即，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，成立，???
當(dāng)時(shí)，顯然時(shí)不成立，
綜上，.
（3）.
設(shè)，，
∴在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴存在使，且時(shí)即，遞減；
時(shí)即，遞增，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵在是單調(diào)遞增，
∴，
∴，???
∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及求函數(shù)的最小值，本題的關(guān)鍵是第三問再求得函數(shù)的最小值是，利用求得.
35．（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性見解析．
【分析】（1）設(shè)事件：被病毒感染的人群，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，…，．得到事件服從二項(xiàng)分布，即可求解．
（2）①根據(jù)題意，第天新增加人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即可求解的值．
②求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到，，分別求得和的人數(shù)，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）根據(jù)題意，因?yàn)槿魏我粋€(gè)與患者密切接觸的關(guān)聯(lián)者，被感染（患?。┑母怕示鶠?，
又每天有位密切關(guān)聯(lián)者與一患者接觸，設(shè)事件：被病毒感染的人群，
隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，…，．顯然事件服從二項(xiàng)分布，
即，顯然．
（2）①根據(jù)題意，最初患者自己被感染，即第1天人數(shù)為1，
第2天被感染人數(shù)增至為：；
第3天被感染人數(shù)增至為：，…，
顯然第天被感染人數(shù)增至為：，第天被感染人數(shù)增至為：，
于是根據(jù)題意中均值定義，第天新增加人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，
即，于是．
②根據(jù)題意函數(shù)，求導(dǎo)得：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，
即單調(diào)遞減，于是．
此時(shí)，，
于是（人），
（人）．
經(jīng)過計(jì)算得知，戴口罩情況下患者與密切接觸的關(guān)聯(lián)者接觸被感染的人數(shù)為16人，
而不戴口罩的情況下患者與密切接觸的關(guān)聯(lián)者接觸被感染的人數(shù)為6480人，
即遠(yuǎn)大于，于是戴口罩是非常必要的．
【點(diǎn)睛】本題以新冠疫情重大突發(fā)事件為背景命題，以病毒人傳人大事件的預(yù)防建立數(shù)學(xué)模型來考查概率的相關(guān)概念、事件的劃分、離散型隨機(jī)變量的期望等概念的應(yīng)用，同時(shí)考查了理性思維、抽象思維及邏輯推理、運(yùn)算求解能力、讀題理解能力、計(jì)算能力．

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