第5講  二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【板塊一】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)方法技巧理解并掌握二次函數(shù)的圖象的形狀(拋物線)、頂點(最高點或最低點)、開口方向(向上或向下)、對稱軸等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題. 題型一 開口方向、對稱軸、頂點坐標及位置 【例1】(1)拋物線y＝2x2＋1的開口方向是      ，對稱軸是      ，頂點坐標是      ；二次函數(shù)y＝－(x＋1)2﹣2的圖象的開口方向是      ，對稱軸是直線      ，頂點坐標是(﹣1.﹣2).(2)拋物線y＝2x2＋1在x軸的      方；當(dāng)x＞0時，圖象自左向右逐漸      ，它的頂點是最低點；拋物線y＝－(x＋1)2﹣2，當(dāng)x       時，它的圖象在x軸的       ，頂點是       。   題型二 拋物線的開口大小【例2】如圖，若拋物線y＝ax2與四條直線x＝1，x＝2，y＝1，y＝2圍成的正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是(　　)A.≤a≤1 B．≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2   【例3】如圖，在同一平面直角坐標系中，作出①y＝x2；②y＝－x2，③y＝－2x2的圖象，則三個圖象I，Ⅱ，Ⅲ對應(yīng)的拋物線的解析式依次是       .   題型三 拋物線的對稱性【例4】拋物線y＝ax2＋bx＋5經(jīng)過A(2,5).B(﹣1,2)兩點。若點C在該拋物線上，則點C的坐標可能是(　　)A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2)   針對練習(xí)11.已知二次函數(shù)y＝－x2＋1，其圖象的開口向      ，對稱軸為       ，頂點坐標為       ，該圖象的頂點是最      點。2.如圖，點A1，A2，…，An。在拋物線y＝x2上，點B1，B2，.…，Bn。在y軸上，若△，△，…，△。都為等腰直角三角形(點為坐標原點)，則△的腰長等于(　　)A.2020 B.2021 C.2020 D.2021  3.如圖，拋物線y＝a(x﹣h)2＋k與x軸的一個交點A在點(－2，0)和(－1，0)之間(包括這兩個點)，頂點C是矩形DEFG區(qū)域內(nèi)(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點，則a的取值范圍是          .  4．拋物線y＝(x﹣h)2＋k過點A(2，6)，且對稱軸與線段BC有交點，B(1，0)，C(4，0)，求k的取值范圍.      5.已知A(x1，2019)，B(x2，2019)是拋物線y＝ax2＋bx＋2018(a≠0)上的兩點，則當(dāng)x＝x1＋x2時，二次函數(shù)的值是(　　)A.＋5 B.﹣＋5 C.2019 D.2018    【板塊二】二次函數(shù)的增減性方法技巧比較二次函數(shù)值的大小的方法：(1)代入比較法：若已知函數(shù)的解析式，則將幾個點的橫坐標分別代入，求出相應(yīng)的函數(shù)值，再比較大??；(2)增減性比較法：當(dāng)點在對稱軸同側(cè)時，直接根據(jù)函數(shù)的增減性比較大?。划?dāng)點不在對稱軸的同側(cè)時，利用二次函數(shù)圖象的對稱性，將點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再比較.(3)根據(jù)點到對稱軸的距離比較大?。寒?dāng)拋物線開口向上時，點到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值大，當(dāng)拋物線開口向下時，點到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值越小。 題型一 運用二次函數(shù)的增減性比較大小【例1】若點A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，y3)為二次函數(shù)y＝(x＋1)2＋k的圖象上的三點，則 y1，y2，y3的大小關(guān)系是(　　)A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2：  【例2】下列關(guān)于函數(shù)y＝(x﹣3)2＋1的四個命題：①當(dāng)x＝0時，y有最小值10；②n為任意實數(shù)，x＝3＋n時的函數(shù)值大于x＝3﹣n時的函數(shù)值；③若n＞3，且n是整數(shù)，當(dāng)n≤r≤n＋1時，y的整數(shù)值有(2n一4)個；④若函數(shù)圖象過點(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，則a＜b，其中真命題的序號是(　　)A.① B.② C.③ D.④ 題型二運用二次函數(shù)的增減性求對稱軸的取值范圍【例3】二次函數(shù)y＝﹣(x﹣h)2＋2的圖象上有兩點A(1，y1)，B(2，y2)，若y1≤y2，則h的取值范圍為＿＿＿＿＿ 題型三 增減性與頂點的聯(lián)系【例4】關(guān)于x的二次函數(shù)y＝(x﹣m)2﹣1，當(dāng)－1≤x≤3時，函數(shù)有最小值－2m＋11，則m的值為__________     針對練習(xí)21.若拋物線y＝ax2(a＜0)經(jīng)過點A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，則(　　)A.y1＞y2＞y3 B.y1＜y3＜y2 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y1＜y2 2.二次函數(shù)y＝(x－h)2＋1(h為常數(shù))，在自變量x的值滿足1≤x≤3時，其函數(shù)y的最小值為5，則h的值為(　　)A.1或－5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 3.已知關(guān)于正整數(shù)x的二次式y＝2x2＋2bx＋c(b，c為實數(shù))，若當(dāng)且僅當(dāng)x＝4時，y有最小值，則實數(shù)b的取值范圍是__________.    【板塊三】拋物線的平移、對稱變換方法技巧  題型一 拋物線沿水平向平移探究【例1】將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位長度得到y＝____________；將二次函數(shù)y＝－(x－1)2的圖象向右平移2個單位長度得到y＝____________   【例2】在平面直角坐標系中，平行于x軸的直線與拋物線y＝ax2相交于A，B兩點(點B在第一象限)，當(dāng)a＝1，點B的縱坐標為2時，向右平移拋物線使該拋物線經(jīng)過點B，與AB的延長線交于點C，求平移后的拋物線的解析式.    題型二  拋物線沿豎直方向的平移探究【例3】將二次函數(shù)y＝(x﹣2)2＋1的圖象沿y軸向上平移得到一個新函數(shù)的圖象，其中點A(1，m)，B(4，n)平移后的對應(yīng)點分別為A'，B'.若曲線段AB掃過的面積為9，則新圖象的函數(shù)解析式是(　　)A.y＝(x﹣2)2﹣2 B.y＝(x﹣2)2＋7 C.y＝(x﹣2)2﹣5 D.y＝(x﹣2)2＋4      題型三拋物線沿斜傾方向平移探究【例4】將二次函數(shù)y＝3(x﹣1)2＋2的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的圖象的解析式是(　　)A.y＝3(x﹣3)2＋5 B.y＝3(x＋1)2﹣1 C.y＝3(x﹣3)﹣1 D.y＝3(x＋1)2＋5  【例5】將拋物線y＝﹣(x＋1)2﹣2沿直線y＝x向右上平移2個單位長度后，得到的拋物線的解析式為__________  題型四拋物線對稱變換探究【例6】將拋物線y＝(x＋1)2＋4沿x軸翻折，得到的新拋物線的解析式為_____________ 【例7】將拋物線y＝(x＋1)2＋4繞點(1，2)旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的解析為y＝﹣(x﹣3).     針對練習(xí)31.拋物線y＝﹣(x﹣4)2＋3通過怎樣平移可得到拋物線y＝﹣x2？   2.將拋物線y＝2x2向右平移3個單位長度，再向下平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為( 　　)A.y＝2(x﹣3)2﹣5 B.y＝2(x＋3)2＋5 C.y＝2(x﹣3)2＋5 D.y＝2(x＋3)2﹣5  3.如圖，拋物線的頂點為P(－2，2)，與y軸交于點A(0，3)，若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到P'(2，－2)，點A的對應(yīng)點為A'，則拋物線上PA段所掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積為       .  4.已知拋物線C:y＝(x﹣1)2＋2.(1)將拋物線C向左平移2個單位長度，再沿x軸作軸對稱變換，得到拋物線C1，求C1的解析式；(2)將拋物線C沿直線x＝3作軸對稱變換，得到拋物線C2，求C2的解析|       5.若將拋物線y＝﹣3(x﹣1)2＋2繞點(－1，－2)旅轉(zhuǎn)180°，求所得新拋物線的解析式       6．將拋物線y＝﹣(x﹣2)2＋1沿直線y＝﹣x＋的方向平移后恰好經(jīng)過點(5，－)，求平移后的拋物線的解析式。  

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