第11講  旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)  【板塊一】利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)求角度方法技巧1．利用等腰求角度；2．通過旋轉(zhuǎn)“化散為聚”求角度．題型一  利用旋轉(zhuǎn)角求角度【例1】如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，使得//AB，則∠的度數(shù)是（    ）A．70° B．35° C．40° D．50°答案：C【解析】由//AB得∠＝∠CAB＝70°，又＝AC，故∠＝∠＝70°，可得∠＝40°；由∠＝∠CAB得∠＝∠＝40°，故選C． 題型二   利用旋轉(zhuǎn)的位置關(guān)系求角度【例2】如圖，把Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°，得到Rt△，點恰好落在邊AB上，連接，則∠＝      ．答案：【解析】＝AB，∠＝＝70°，∠＝90°－∠＝20°． 【例3】一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點B，C，D在一條直線上，點C，F重合），將三角尺DEF繞著點F按順時針方向旋轉(zhuǎn)n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n 的值為      ．答案：【解析】當//AB時，∠＝∠BAC＝45°，n＝45．題型三   利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等求角度【例4】如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到點A，B和D的距離分別為1，，，求∠BPQ的度數(shù)．答案：【解析】將△APD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△；結(jié)合邊的隱含關(guān)系()＋()＝()，利用勾股定理逆定理可得到△是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°． 【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中點，連接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度數(shù)．答案：【解析】將△CDM繞點M旋轉(zhuǎn)180°得△FEM，則△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，證△AEF≌△ABC，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，又MF＝MC＝AM，∴△ACF為等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，又∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．【點評】這一類題型具有的特點是：等線段、共端點以及特殊角．通過旋轉(zhuǎn)“使相等的邊重合，得出特殊圖形”． 【例6】如圖，點P為等邊△ABC內(nèi)一點，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數(shù)．答案：【解析】將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得△ADB，連接DP，得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°，從而可證△ADP為等邊三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°，在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°，從而可得∠APB＝120°．針對練習11．如圖，點P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△．（1）求點P與點之間的距離；（2）求∠APB的度數(shù)．答案：解：（1）連接，由題意可知＝AP，∠PAC＝∠，PC＝，又∵∠PAC＋∠BAP＝60°，∴∠＝60°．∴△為等邊三角形，∴＝AP＝＝6．（2）∵＋BP＝，∴△為直角三角形，且∠＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°．  2．如圖，點P為等邊△ABC內(nèi)一點，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求證：以AP，BP，CP為邊可以構(gòu)成一個三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)．答案：解：將△APC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得△BCP1，∴AP＝BP1，∠BP1C＝∠APC＝123°，由CP＝CP1，∠PCP1＝60°得△PCP1為等邊三角形，∴PP1＝CP，∠CPP1＝∠CP1P＝60°，這時，△BPP1就是以BP，AP，CP為三邊構(gòu)成的三角形，∠BP1P＝∠BP1C－∠CP1P＝∠APC－60°＝63°，又∠BPC＝360°－113°－123°＝124°，∴∠BPP1＝∠BPC－∠CPP1＝64°，∠PBP1＝180°－63°－64°＝53°．   3．如圖，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數(shù)．答案：解：將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△，易證△為等腰直角三角形，∴＝，＝PC＝，在△中，AP＋＝，∴∠＝90°，∴∠APB＝45°． 【板塊二】利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)求線段長或面積題型一   利用旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)求線段長【例1】如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至△ADE，AE，DC交于點F，當F為CD的中點時，求AF的長．答案：【解析】過點D作DM⊥AE于點M，過點C作CN⊥AE于點N，DM＝AE＝4，由△DMF≌△CNF得CN＝DM＝4，在Rt△ANC中，AN＝＝，AM＝DM＝4，MN＝－4，MF＝MN＝－2，故AF＝AM＋MF＝4＋－2＝＋2． 題型二   利用旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)求面積【例2】如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，求四邊形AB1OD的面積．答案：【解析】AC＝，AB1＝1，故B1C＝－1，在Rt△OB1C中，∠OCB1＝45°，故OB1＝CB1＝－1，＝OB1·B1C＝，S△ADC＝DA·DC＝，故S＝S△ADC－＝－＝＝－1． 【例3】在正方形ABCD中，點P是對角線AC上一點，連接DP，將DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段DE，連接PE，點C關(guān)于直線PE的對稱點是，連接，，，若四邊形是平行四邊形，PC＝2，則平行四邊形的面積是            ．答案：【解析】過點P作PQ⊥CD于點Q，延長交AD于點G，設(shè)交DC于點H，則△PQD≌△DHE，∵PC＝2，∴PQ＝GD＝DH＝＝，∵點與點C關(guān)于PE對稱，∴＝PC＝QH＝2，∴CD＝AD＝2＋2，∴＝AD·DH＝4＋2． 針對練習21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點與點A是對應(yīng)點，點與點B是對應(yīng)點，連接，且點A，，在同一條直線上，則的長為（    ）A．6 B．4 C．3 D．3答案：解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝2，故AB＝4，AC＝＝2，＝AC，∠＝∠＝30°，故∠＝120°，過點C作CH⊥于點H，則HC＝AC＝，＝＝3，＝2＝6，故選A． 2．如圖．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E為線段BC上的兩點，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，則BD的長為         ．答案：解：將△ABC沿BA向上翻折至△BAF，連接AF，EF，FC，可得∠BAF＝∠BAC＝150°，∠FAC＝60°，△AFC為等邊三角形，可證△ADC≌△AEF，∠AFE＝∠ACD，可得∠FEC＝∠FAC＝60°，過點F作FH⊥BC于點H，EH＝EF＝8×＝4，HC＝1，FH＝4，設(shè)BD＝x，則BF＝BC＝x＋8，在Rt△BFH中，BF2－BH2＝FH2即(x＋8)2－(x＋7)2＝48，x＝，故BD＝． 3．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC．答案：解：在AC右側(cè)取點D，使∠DAP＝60°且DA＝PA，連接PD，則△APD為等邊三角形，可證△ABP≌△ACD（SAS），DC＝BP＝4，PD＝3，PC＝5，PC2＝PD2＋DC2，∠PDC＝90°，過點A作AE⊥DC于點E，AE＝AD＝，DE＝，EC＝4＋，AC2＝AE2＋EC2＝＋16＋＋12＝25＋12，過點A作AF⊥BC于點F，在Rt△AFC中，FC＝AC，AF＝＝AC，S△ABC＝×BC×AF＝AC2＝＋9． 【板塊三】旋轉(zhuǎn)圖形中線段關(guān)系的探究方法技巧利用旋轉(zhuǎn)“化散為聚”解決線段關(guān)系．題型一   旋轉(zhuǎn)圖形中線段數(shù)量關(guān)系的探究【例1】如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點O，試證明：OA＋OB＞OC．答案：【解析】把△AOC以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后，到△的位置，則△AOC≌△，∴AO＝，OC＝，∠OAC＝∠，∴∠＝60°，∴△為等邊三角形，∴AO＝，在△中，＋OB＞，即OA＋OB＞OC． 【例2】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，若∠ADB＝90°，DE的延長線交BC于點F，交AB于點G．①求證：點F是BC中點；②若DA＝DB，BF＝，直接寫出AG的長為           ．答案：【解析】（1）證△ABD≌△ACE即可；（2）連EC，在DF上截取DN＝EF，連BN，由（1）知BD＝CE，可證∠BDN＝∠CEF＝30°，∴△DNB≌△EFC，∴BN＝FC，∠DNB＝∠EFC，∴∠BNF＝∠BFN，∴BN＝BF，∴BF＝FC，即F為BC的中點；（3）AG＝－，由題知BC＝2BF＝，∴AB＝，∴DA＝DB＝2，過G作GH⊥AD于H，∵∠GDH＝60°，∴設(shè)DH＝a，則GH＝AH＝a，AG＝a，又AD＝a＋a，∴a＝－1，∴AG＝(－1)＝ －．     題型二 旋轉(zhuǎn)圖形中圖形形狀的確定【例3】如圖，在正方形ABCD中，點E，F是對角線BD上兩點，且∠EAF＝45°，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到△ABQ連接EQ(1)求證:EA是∠QED的平分線;(2)探求以EF，BE，DF為三邊的三角形的形狀【解析】(1)∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，由∠EAF＝45，得∠DAF＋∠BAE＝45°，故∠QAE＝45°.故∠QAE＝∠FAE可證△AQE≌△AFE(SAS)∴∠AEQ＝∠AEF ∴EA是∠QED的平分線(2)由(1)得△AQE≌△AFE，QE＝EF.又∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，故∠QBE＝90°在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2∴EF2＝BE2＋DF2，即以EF，BE，DF為三邊的三角形是直角三角形 針對練習31.如圖，△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，連接DE.(1)求證:△BDE≌△BCE;(2)試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由解:(1)∵△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°∵AB⊥BC，;∠ABC＝90.∴∠DBE＝∠CBE＝30，∴△BDE≌△BCE(SAS)(2)四邊形ABED為菱形，理由如下:由(1)得△BDE≌△BCE∵△BAD是由△BEC旋轉(zhuǎn)而得，∴△BAD≌△BEC∴BA＝BE，AD＝EC＝ED又BE＝EC，故AB＝BE＝ED＝AD，故四邊形ABED為菱形 2.給出定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形。(1)在你學過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱;(2)如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE.已知∠DCB＝30°①求證:△BCE是等邊三角形;②求證:DC2＋BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形.解:(1)正方形、矩形、直角梯形(任寫兩個);(2)①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等邊三角形;②∵∠ABC≌△DBE，∴AC＝DE.∵△BCE是等邊三角形，BC＝CE，∠BCE＝60°∵∠DCB＝30°，∴DCE＝90°∴在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，DC2＋BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形 板塊四 旋轉(zhuǎn)圖形中的多解問題方法技巧 當運動的點或線的位置不確定時，要注意分類討論題型一 旋轉(zhuǎn)圖形中角度的多解問題【例1】如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點D在邊BC上，BD＝2CD，把△ABC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)角度m(0°＜m＜180°)后點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，則m＝80°或120°【解析】m＝80°或120°注意分為點B落在斜邊AB上或落在直角邊AC上兩種情況討論 【例2】將一副三角板按如圖所示的方式重疊在一起，若△ABC不動，將△DCE繞著C點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°＜a＜180°)，旋轉(zhuǎn)過程中，若兩個三角形有一組邊平行，則a＝15°或60°或105°或135°【解析】a＝15°或60°或105°或135°四種情況的圖如下： 題型二 旋轉(zhuǎn)圖形中畫圖的多樣性問題【例3】如圖，在平面直角坐標系中，A(0，2)，B(2，0)在圖中畫出點P，使△PAB為等邊三角形，求出滿足條件的點P的坐標【解析】可作等邊△ABP1和等邊△ABP2，因P1A＝P1B，OA＝OB，故點O，點P均在AB的垂直平分線y＝x上，過點P1作P1H⊥x軸于點H，因OB＝OA＝2，故AB＝.設(shè)OP1交AB于點C，在Rt△P1CB中，BC＝＝OC，P1C＝＝＝，OP1＝，在Rt△OP1H中，∠POH＝45°，故P1H＝OH＝，P1同理可求P2，故點P的坐標為或 針對練習41.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度m得到線段AD.若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，連接BD，DC，直接寫出△BDC為等腰三角形時，m所有可能的取值30°，120°，210°，300°2.如圖，點A，B的坐標為(2，3)，(4，0)，將線段AB繞點P(m，n)旋轉(zhuǎn)180°得到線段CD(點A的對應(yīng)點為C，點B的對應(yīng)點為D)，若點C，D都落在坐標軸上，則m＝2或1解:由中心對稱圖形性質(zhì)得C'D∥AB，有如圖兩種情況，當D1在y軸上，C在x軸上時，D(0，3)，此時點P1為DB的中點，其坐標為(2，)，m＝2;當D2在x軸負半軸時，D2(－2，0)，此時點P2為D2B中點P2(1，0)，m＝1，故m＝2或1      

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