人教版九年級上冊期末復習：第14講旋轉(zhuǎn)圖形綜合探究-解題技巧訓練（含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

第14講旋轉(zhuǎn)圖形綜合探究考點一軸對稱與中心對稱圖形1. 如果一個圖形沿一條直線對折，對折后的兩部分能重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.2. 把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形完全重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．3. 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.4. 兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號嫌煩，即點關于原點的對稱點為. 考點二以等邊三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題舉例：如圖，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC為邊向三角形外作等邊△ABC，把△ABM繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△CAN的位置.舉例：如圖，已知△ABC為等邊三角形，M為三角形外任意一點舉例：已知：如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點求相應的度數(shù). 考點三以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉(zhuǎn)問題舉例：舉例：如圖，在正方形ABCD中，∠EDF=45°舉例：如圖，D為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上一點【例1】如圖1，已知等邊△ABC，過點B作BG⊥AC于點G，D為AB上一點，ED∥BC交BG的延長線于點E.如圖2，將△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，取AE的中點M，連接DM，CM，試確定DM與CM的關系.【解析】DM⊥MC且MC＝DM.理由如下：方法一：延長CM至點N，使MN＝MC，連接AN，DN，DC，NE，四邊形ACEN為平行四邊形，設AC交DE于點O，則∠DEN＝∠EOC，在四邊形BDCO中∠BDO＝120°，∠BCO＝60°，故∠DOC＝360°－120°－60°－∠DBC＝180°－∠DBC，故∠DEN＝∠EOC＝∠DBC，又NE＝AC＝BC，BD＝DE.故△BDC≌△EDN.∴DN＝DC，∠NDC＝∠BDE＝120°.∵DM為NC邊上的中線，得Rt△DMC，且∠DCM＝30°，故DM⊥MC，MC＝DM；方法二：延長DM至點P，使MP＝MD，連接AD，PE，AP，DC，則四邊形ADEP為平行四邊形，同法一有∠PAC＝∠COE＝∠DBC，△ACP≌△BCD；DC＝PC.可得∠DCP＝60°，CM為等邊△DCP的邊DP的中線，DM⊥MC，MC＝DM；方法三：延長ED至T，使DT＝DE，連接TA，TB，DC，證△BTA≌△BDC，DC＝TA＝2DM，設∠ATD＝∠MDE＝α，則∠BTA＝60°＋α＝∠BDC，∠MDC＝∠BDE－∠BDC＋∠MDE＝120°－(60°＋α)＋α＝60°，倍長DM至P，△DCP為等邊三角形，得證.【例2】在△ADC中，DA＝DC＝4，∠ADC＝120°.（1）如圖1，求AC的長；（2）如圖2，M為AC上一動點（M不與點A，C重合），將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AN，連接NC，DM，Q為NC的中點，連接DQ.①求證：DM＝2DQ；②當點M在AC上運動時，直接寫出AM＋4DQ的最小值為 .【解析】（1）AC＝4；（2）①倍長CD至點H，則△AHD為等邊三角形，可證△ANH≌△AMD，∴DM＝HN，又點D，點Q分別為CH，CN的中點，故2DQ＝HN＝DM；②作∠BAC＝30'＝∠DAM.使AB＝AD＝4.連接BM，MN，BH，可證△AMD≌△ABM，BM＝DM＝HN＝2DQ.AM＝AN＝MN，故HN＋MN＋MB＝4DQ＋AM≥HB，在△AHB中，AH＝AB＝4.∠HAB＝120°，△AHB≌△DAC，HB＝AC＝4，故AM＋4DQ≥4，∴AM＋4DQ的最小值為4.【例3】如圖.在△ABC中，∠ACB＝30°.（1）如圖1，AB＝AC＝2，求BC的長；（2）如圖2，AB＝AC，點P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝2，PB＝，PC＝3.求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，點P為△ABC內(nèi)一點，AC＝4，AB＝7（CB＞CA），求PA＋PB＋PC的最小值.【解析】（1）取BC的中點D，連接AD，∵AB＝AC＝2，∴AD⊥BC，DB＝DC.又∵∠C＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝AC＝1，BD＝DC＝，∴BC＝2；（2）∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，使點B落在C點處，點P落在Q點處，∴PA＝QA＝2，PB＝QC＝，又∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2＋PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，又∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝120°；（3）.提示：把△BPC繞點C遂時針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′P′C，則∠ACB′＝90°，當A，P，P′，B′共線時，PA＋PB＋PC最小，由AC＝4，AB＝，∠C＝30°，可得BC＝3，則AB′＝.針對練習1.已知正方形ABCD與正方形CEFG，點M是AF的中點，連接DM，EM.（1）如圖1，點E在CD邊上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數(shù)量關系與位置關系，直接寫出你的結論；（2）如圖2，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中的結論是否仍然成立？請證明你的結論；（3）將圖1中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F三點在一條直線上，若AB＝13，CE＝5，請畫出圖形，并直接寫出MF的長.解：（1）DM⊥EM且DM＝EM，理由：延長EM交AD于點H，則△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM且DM＝EM；（2）結論不變.DM⊥EM且DM＝EM.理由：延長EM交AD的延長線于點H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMHS≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE.∵∠EDH＝90°，DM⊥EM，DM＝ME；（3）過點M作MR⊥DE于點R，在Rt△CDE中，DE＝＝12，∵DM⊥EM，DM＝ME，MR⊥DE＝6，DR＝RE＝6，在Rt△FMR中，FM＝＝＝，如備用圖2，過點M作MR⊥DE于R，在Rt△MRF中，MF＝＝，故MF的長為或.2.在等腰直角△ABC和△DEC中，DE＝CE，AC＝AB，∠CED＝∠CAB＝90°.（1）將ADCE繞點C旋轉(zhuǎn)至如圖1位置，N是BD中點，試探究EN與AN的關系并證明你的結論；（2）如圖2，M是CD的中點，求的值.解：（1）EN＝AN且EN⊥AN.理由如下：延長EN至點F.且使NF＝EN，連接FB，∴△DEN≌△BFN（SAS），∴DE＝BF＝CE，DE∥BF，連接AE，AF，延長CE交BF于點G，∵∠DEC＝90°，∴∠CGB＝90°.由八字型得，∠ACE＝∠ABF，∴△ACE ≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵∠CAB＝90°，∴∠EAF＝90°，∴△AEF為等腰直角三角形，∵N為EF的中點，∴EN＝AN，EN⊥AN；（2）將線段AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AG，連接MG，根據(jù)共頂點等腰三角形的旋轉(zhuǎn)，得△ACM≌△ABG（SAS），∴BG＝MC.連接EM，∵M是CD的中點，∴ME＝CM＝BG，延長ME交BA的延長線于點H，∵∠EMC＝∠CAH＝90°，∴在四邊形ACMH中，∠MHA＋∠MCA＝180.∵∠MCA＝∠ABG，∴∠MHA＋∠ABG＝180°，∴MH∥BG，又∵ME＝BG，∴四邊MEBG為平行四邊形，∴BE＝MG，∵△MAG為等腰直角三角形，∴＝，∴＝.3.如圖，等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，連接BE，P為BE的中點，連接PD，AD.（1）為了研究線段AD與PD的數(shù)量關系，將圖1中的△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)一個適當?shù)慕嵌?，?/span>CE與CA重合，如圖2，請直接寫出AD與PD的數(shù)量關系；（2）如圖1，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面積.解：（1）AD＝2PD；（2）（1）中的結論仍然成立，理由如下：延長ED至點F，使DF＝ED，連接BF，CF，連接BF，CF，∵BP＝EP，∴DP是△BEF的中位線，∴BF＝2PD且BF//PD，∵∠EDC＝120°，∴∠FDC＝60°，∴△CDF是等邊三角形，∵BC＝AC，∠BCF＝∠ACD，CF＝CD，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD，∴AD＝2PD；（3）如圖3，延長ED至點F，使DF＝DE，連接BF，CF，延長BF交AD于點G，由（2）得∠FBC＝∠DAC，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵DP∥GB，∴∠ADP＝∠AGB＝60°，在等腰△CDE中，∵CE＝2，∴CD＝2，過點D作DM⊥AC于點M，過點P作PN⊥AD于點N，∵∠ACD＝45°，∴CM＝DM＝2，AM＝2－2，在Rt△ADM中，AD2＝(2－2)2＋22＝32－8，PN＝PD＝AD，在△PAD中，S△PAD＝?AD?PN＝AD2＝4－3.

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