教學(xué)目標(biāo)
1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；
2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題．
教學(xué)重難點
重點：數(shù)學(xué)歸納法證明的原理及基本步驟．
難點：基本步驟的第二步推演過程．
教學(xué)過程
一. 情境引入
問題1：已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=12?ann∈N?，計算a2，a3，a4，猜想其通項公式，并證明你的猜想．
答案：已知反映相鄰兩項關(guān)系的遞推公式，又已知首項，那么就可以求出該數(shù)列的每一項． 令n=1，就有a2=12?a1，把a(bǔ)1=1代入，可得a2=1． 同理，令n=2，就有a3=12?a2，把a(bǔ)2=1代入，可得a3=1． 看上去這個數(shù)列的每一項都是1，由此猜想，該數(shù)列的通項公式就是an=1n∈N?．
追問1：僅通過前幾項能得出所有的結(jié)果嗎？這樣得出的猜想一定正確嗎？
答案：僅通過前幾項不能得出所有的結(jié)果，這樣得出的猜想不一定正確. 如：17世紀(jì)，法國大數(shù)學(xué)家費馬發(fā)現(xiàn)，對于22n+1這個數(shù)，分別驗證n=1，2，3，4，這個數(shù)均為質(zhì)數(shù)，從而猜測：對于任意的自然數(shù)，這個數(shù)都是質(zhì)數(shù)．半個世紀(jì)后歐拉舉出了反例：當(dāng)n=5時，該數(shù)可以拆成兩個數(shù)的乘積．通過以上反例，可看出從某種意義上說，僅通過前幾項不能得出所有的結(jié)果，這樣得出的猜想未必是正確的．
追問2：該如何證明這個猜想呢？
答案：一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時可以逐個驗證. 但當(dāng)n較大時，驗證起來會很麻煩. 尤其是我們這里要證明n取所有正整數(shù)都成立，這是一個無限的問題，逐一驗證是不可能的，我們無法用常規(guī)方法嚴(yán)格證明. 因此，我們很有必要尋求一種新的方法，這種方法能讓我們通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立.
二、新知探究
問題2：將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？
答案：可通過動手操作發(fā)現(xiàn)將骨牌保持適當(dāng)?shù)拈g距，碰倒第一塊骨牌，骨牌都會倒下．
追問1：如果碰倒第一塊骨牌，是不是其余的骨牌都將被依次推倒呢？
答案：若骨牌間距過大，導(dǎo)致前一塊骨牌無法推倒后一塊骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下． 因此要讓相鄰兩個骨牌之間保持合適的間距，這個間距要能保證任意相鄰兩塊骨牌，前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下．
追問2：如果保證了前一塊一定能把后一塊推倒，那么它們倒了嗎？
答案：如果第一塊骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不會倒． 所以第一塊骨牌倒下，給所有骨牌倒下提供了基礎(chǔ)，這個條件必不可少．進(jìn)而歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩個：（1）第一塊骨牌已倒；（2）前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下．
追問3：條件（1）與條件（2）有何聯(lián)系？
答案：如果要從第一塊開始所有骨牌都倒下，就要保證“，如果前一塊倒下，那么后一塊也能跟著倒下．”為了表示起來更方便，引入一個字母k，表述上把“前一塊”給換成“第k塊”． 條件（2）就是若第k塊倒，則第k+1塊也一定能倒． 關(guān)于k的取值，首先它是正整數(shù)，其次，還必須保證k能取從1開始的正整數(shù)，所以k≥1．
類似的，如果要求從第二塊開始后面的骨牌都倒下，那么需要滿足的條件是第二塊骨牌已經(jīng)倒下，并且從第二塊開始，前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下，即k≥2．
一般的，如果要求從第n0n0∈N?塊開始，后面的骨牌都倒下，那么需要滿足的條件是：第n0塊骨牌已經(jīng)倒下，并且從第n0塊開始，前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下，也就是k≥n0．因此，條件（2）中k的最小值就是條件（1）中骨牌倒下的初始值．
追問4：多米諾骨牌游戲與證明猜想“數(shù)列an的通項公式是an=1n∈N?”有相似性嗎？
答案：一方面，為了保證所有骨牌都倒下，兩個條件缺一不可. 而問題1中“a1=1”和“an+1=12?ann∈N?”這兩個條件但凡有一個不知道，就無法寫出任意一項．另一方面，問題1中之所以可以順利地依次根據(jù)前一項寫出后一項，“an+1=12?ann∈N?”這個遞推關(guān)系至關(guān)重要. 而多米諾骨牌游戲中的條件（2）實際上也是給出了一個遞推關(guān)系：“第k塊骨牌倒下”能推出“第k+1塊骨牌倒下” ． 假設(shè)有無限多塊骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動作將永遠(yuǎn)進(jìn)行下去．也就是說，無論有多少塊骨牌，只要保證這兩個條件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下． 這就是骨牌原理．這二者有一定的相似性，可以試著將多米諾骨牌游戲的兩個條件類比、遷移到證明問題1中．
問題3：類比骨牌原理，證明問題1中的猜想需要幾步？
答案：需要分成兩步．
追問1：多米諾骨牌游戲的條件（1）是確保第一塊已經(jīng)倒下．那么猜想的證明中第一步應(yīng)該是什么呢？
答案：第一步應(yīng)該證明猜想在n=1時成立．
追問2：骨牌原理的條件（2）是確?！叭绻趉塊骨牌倒下，那么第k+1塊骨牌也能倒下．”類似的，猜想的證明中就是要證明什么呢？
答案：第二步應(yīng)該證明若n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立. 如果能證明這一點，那么就可以由“n=1時猜想成立”推出“n=2時猜想成立”，再由“n=2時猜想成立”推出“n=3時猜想成立”，依此類推，就可以使這個猜想成立的范圍從1開始，向后一個數(shù)接一個數(shù)地傳遞到1以后地每一個數(shù)，從而完成證明．
問題4：你能從這個具體問題的解決辦法中，抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎？
答案：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）證明當(dāng)n=n0n0∈N?時命題成立；（2）以“當(dāng)n=k（k∈N?，k≥n0）時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時命題也成立” ．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．特別地，當(dāng)n0=1時，命題就對從1開始的正整數(shù)成立，也就是對所有正整數(shù)都成立．
追問1：所有命題都是從n=1開始成立嗎？
答案：證明起點的選擇不一定要取1，而是取證明命題成立的最小正整數(shù). 如：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“凸多邊形的內(nèi)角和為(n-2)180?！睉?yīng)從n=3開始驗證． 所以，證明的第一步是：證明當(dāng)n=n0n0∈N?時命題成立．
追問2：第二步中的k是怎樣的正整數(shù)？
答案：k應(yīng)該是大于或等于n0的正整數(shù)，不能把“k≥n0”改成“k＞n0” ．
追問3：數(shù)學(xué)歸納法適用于怎樣的數(shù)學(xué)問題?
答案：數(shù)學(xué)歸納法用于證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可以將這個關(guān)于正整數(shù)n的命題記為P(n) ．
追問4：數(shù)學(xué)歸納法這兩個步驟之間有關(guān)系嗎？
答案：這兩個步驟之間既相互依存，又彼此聯(lián)系，是一個有機(jī)的整體. 第一步驗證了當(dāng)n=n0時這個命題成立，即Pn0為真. 第二步是假設(shè)假設(shè)Pkk∈N?，k≥n0為真，由“Pk為真”推出“Pk+1也為真”. 第二步的Pk→Pk+1這個關(guān)系所關(guān)注的不是Pk和Pk+1是否分別成立，而是命題“若Pk為真，則Pk+1也為真”是否成立，強(qiáng)調(diào)的是這二者之間是否有遞推關(guān)系．
三、應(yīng)用舉例
例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：若等差數(shù)列an中，a1為首項，d為公差，則通項公式為an=a1+n?1d①
證明：(1)當(dāng)n=1時，等式左邊=a1，等式右邊=a1+0×d=a1，等式①成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，等式①成立，即ak=a1+k?1d，那么，當(dāng)n=k+1時，有
ak+1=ak+d=a1+k?1d+d=a1+k+1?1d．
這就是說，當(dāng)n=k+1時等式①也成立．
根據(jù)(1)和(2)可知，對任何n∈N?，等式①都成立．
想一想：數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟都必要嗎？
答案：第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，確定了n=n0時命題成立，n=n0成為后面遞推的出發(fā)點，沒有它，遞推就成為無源之水．就好比多米諾骨牌，只有推倒其中一塊骨牌，后面的骨牌才有可能倒．我們把第一步稱為是歸納奠基． 而第二步是命題遞推的依據(jù)，即確認(rèn)一種遞推關(guān)系，好比是多米諾骨牌游戲中，如果第k塊骨牌倒下，那么要保證第k+1塊骨牌也能倒下，再加之k的任意性，即保證了骨牌倒下去的傳遞性．類似地，借助第二步，命題成立的范圍就能從正整數(shù)n0開始，向后一個數(shù)接一個數(shù)地?zé)o限傳遞到n0以后的每一個正整數(shù)，從而完成證明． 所以，我們把第二步稱為是歸納遞推．“歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個步驟缺一不可．只有把兩步的結(jié)論結(jié)合起來，才能命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
例２ 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N?時，1+3+5+?+2n?1=n2．
證明：(1)當(dāng)n=1時，等式左邊=1，等式右邊=1，等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即1+3+5+?+2k?1=k2，
那么，當(dāng)n=k+1時，有
1+3+5+?+2k?1+2k+1?1=k2+2k+1?1=k2+2k+1=k+12．
這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)可知，對任何n∈N?，等式①都成立．
例３ 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N?時，12+22+32+?+n2=nn+12n+16．
證明：(1)當(dāng)n=1時，12=1，1×1+1×2×1+16=1，等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即12+22+32+?+k2=kk+12k+16，
那么，當(dāng)n=k+1時，有12+22+32+?+k2+k+12=kk+12k+16+k+12=k+12k2+k+6k+66=k+12k2+7k+66=k+1k+22k+36=k+1k+1+12k+1+16．
所以當(dāng)n=k+1時等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)可知，對任何n∈N?，等式都成立．
四、課堂練習(xí)
1.求證：1?12+13?14+?+12n?1?12n=1n+1+1n+2+?+12n(n∈N?)．
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4+2×7+3×10+?+n3n+1=nn+12(其中n∈N?)．
參考答案：
１.證明：(1)當(dāng)n=1時，左邊＝1?12=12，右邊＝11+1=12．左邊=右邊，等式成立．
假設(shè)當(dāng)n=kk≥1時等式成立，即1?12+13?14+?+12k?1?12k=1k+1+1k+2+?+12k，
則當(dāng)n=k+1時，1?12+13?14+?+12k?1?12k+12k+1?12k+2=1k+1+1k+2+?+12k+12k+1?12k+2=1k+2+1k+3+?+12k+1+12k+2=1k+1+1+1k+1+2+?+1k+1+k+12k+1，
即當(dāng)n=k+1時等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)可知，對任何n∈N?，等式都成立．
2.證明：(1)當(dāng)n=1時，左邊＝1×4=4，右邊＝1×22=4．左邊=右邊，等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n=kn∈N?時等式成立，即1×4+2×7+3×10+?+k3k+1=kk+12，
則當(dāng)n=k+1時，1×4+2×7+3×10+?+k3k+1+k+13k+1+1=kk+12+k+13k+1+1=k+1k2+4k+4=k+1k+1+12，
即當(dāng)n=k+1時等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)可知，對任何n∈N?，等式都成立．
五、課堂小結(jié)
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）證明當(dāng)n=n0n0∈N?時命題成立；（2）以“當(dāng)n=k（k∈N?，k≥n0）時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時命題也成立” ．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．
六、布置作業(yè)
教材第159頁第1，3，4題．

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