4.4數(shù)學(xué)歸納法 蘇教版（   2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）已知，，，，則有(    )A.  B.  C.  D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，從“到”時，左邊應(yīng)增添的式子是(    )A.  B.  C.  D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，可將其轉(zhuǎn)化為證明(    )A.
B.
C.
D. 已知數(shù)列滿足，，則的值是．(    )A.  B.  C.  D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)都成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取(    )A.  B.  C.  D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)都成立”時，第一步證明中的初始值應(yīng)取(    )A.  B.  C.  D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）多選下列說法正確的是(    )A. 與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法
B. 數(shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值一定為
C. 數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可
D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，歸納假設(shè)一定要用上下列四個命題中真命題是(    )A. 已知命題：，；命題：，，則命題“”為真命題
B. 函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)
C. 已知圓：，直線：則圓上到直線的距離等于的點(diǎn)的個數(shù)為
D. 用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，由到時，左邊需增添的一個因式是某個命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時命題成立，則可得當(dāng)時命題也成立，若已知當(dāng)時命題不成立，則下列說法正確的是(    )A. 當(dāng)時，命題不成立
B. 當(dāng)時，命題可能成立
C. 當(dāng)時，命題不成立
D. 當(dāng)時，命題可能成立也可能不成立，但若當(dāng)時命題成立，則對任意，命題都成立多選設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)成立時，總有成立則下列命題總成立的是(    )A. 若成立，則成立
B. 若成立，則當(dāng)時，均有成立
C. 若成立，則成立
D. 若成立，則當(dāng)時，均有成立第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由不等式成立，推證時，不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)共          項(xiàng)下列命題中，真命題的序號是___．
已知函數(shù)滿足，則函數(shù)
從分別標(biāo)有，，，，的個完全相同的小球中不放回地隨機(jī)摸球次，每次摸球個，則摸到的個球上的數(shù)字奇偶性相同的概率是
用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是
的二項(xiàng)展開式中，共有個有理項(xiàng)．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，當(dāng)時，記等式左邊為，則          ．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”的過程中，由“”變到“”時，左邊增加了________項(xiàng)． 四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和．求；試用數(shù)學(xué)歸納法證明：．本小題分用數(shù)學(xué)歸納法證明：本小題分用數(shù)學(xué)歸納法證明：，其中．本小題分用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)為正奇數(shù)時，能被整除．本小題分用數(shù)學(xué)歸納法證明：本小題分在數(shù)列中，，，且，求，，猜想的表達(dá)式，并加以證明．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】略【解答】略  2.【答案】 【解析】【分析】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
從到時左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明時，
從到時左邊需增乘的代數(shù)式是．
故選：．  3.【答案】 【解析】解：對于選項(xiàng)A，，由于，，不能推得不等式成立，故排除選項(xiàng)A，；
對于選項(xiàng)D，可令，當(dāng)時，，故排除．
對于選項(xiàng)B，由于，
即只要證，
當(dāng)時，假設(shè)成立，則，
當(dāng)時，，
即時，不等式也成立．
綜上可得成立．
故原不等式成立．
故選：．
由不等式的傳遞性可判斷，不符題意；對于選項(xiàng)D，檢驗(yàn)，可排除選項(xiàng)D；對于選項(xiàng)B，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，再由不等式的傳遞性即可得證．
本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)，以及數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
 4.【答案】 【解析】【分析】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，屬于中檔題．
利用數(shù)學(xué)歸納法證明，得到 ，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案．【解答】解：由，，
得，，
歸納可得，
證明：當(dāng)時，滿足，
假設(shè)當(dāng)時滿足，即，
當(dāng)時，，滿足．
故，
所以，
．
故選D．  5.【答案】 【解析】【分析】略【解答】略  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解此類問題時，注意的取值范圍．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，結(jié)合本題的題意，是要驗(yàn)證，，，，時，命題是否成立，由此可得答案．【解答】解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗(yàn)證當(dāng)取第一個值時命題成立，
結(jié)合本題，要驗(yàn)證時，左，右，不成立，
時，左，右，不成立，
時，左，右，不成立，
時，左，右，不成立，
時，左，右，成立，
故起始值為，
故選C．  7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解此類問題時，注意的取值范圍．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，結(jié)合本題的題意，是要驗(yàn)證，，，，時，命題是否成立，由此可得答案．
【解答】
解：當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，．  8.【答案】 【解析】【分析】本題考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題，熟悉數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是解題的關(guān)鍵，由題意，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為可得結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)時，左端的第一項(xiàng)為，最后一項(xiàng)為，
當(dāng)時，左端的第一項(xiàng)為，最后一項(xiàng)為，
左邊乘，同時還要除以．
，
故選B．  9.【答案】 【解析】【分析】略【解答】與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明不一定只能用數(shù)學(xué)歸納法，如：證明 時，可用數(shù)學(xué)歸納法，也可使用裂項(xiàng)相消法求和，故 A錯誤數(shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值不一定為如：證明當(dāng)為偶數(shù)時， 能被整除初始值為，故B錯誤數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可，且用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，歸納假設(shè)一定要用上，故 C， D正確．  10.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查含邏輯量詞的命題，復(fù)合命題的真假，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，是中檔題．
根據(jù)命題、的真假來斷定的真假．根據(jù)兩個函數(shù)的增減性來斷定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．由直線到圓的距離得出圓上到直線的距離等于的點(diǎn)的個數(shù)．根據(jù)“”到“”時，等式左邊添加，可判斷的真假．
【解答】
解：命題：，是真命題，恒成立，所以命題“”為真命題．故A正確．
對于函數(shù)，因?yàn)?/span>為增函數(shù)，為減函數(shù)，即與的圖象只有一個交點(diǎn)，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，故B正確．
圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則圓上到直線的距離等于的點(diǎn)的個數(shù)為，故C錯誤．
由數(shù)學(xué)歸納法證明時，從“”到“”的證明，左邊需增添的一個因式是，故D正確．
故選：．  11.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明的歸納假設(shè)、歸納遞推，屬于一般題．
由歸納法的性質(zhì)，我們由對成立，則它對也成立，由此類推，對的任
意整數(shù)均成立，結(jié)合逆否命題與原命題同真同假的原理，即可判斷．【解答】解：由題意可知，若對成立，則也成立，與題設(shè)矛盾所以時，命題不成立
所以的說法正確
如果命題成立則命題成立，可得時，命題成立，與題設(shè)矛盾，所以說法不正確
當(dāng)時，命題可能成立也可能不成立，如果時，命題成立，則時，命題也成立，繼
續(xù)推導(dǎo)可得對任意的時，命題都成立，所以的說法不正確，的說法正確，
故選：．  12.【答案】 【解析】【分析】略【解答】若成立，由題意知成立，故A正確若成立，則，即，結(jié)合，所以當(dāng)時，均有成立，故D正確所以選AD  13.【答案】 【解析】【分析】略【解答】略  14.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查命題真假的判定，函數(shù)解析式求法，概率求法，數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式展開式特定項(xiàng)，屬于中檔題．
換元法求解析式，注意定義域，作出判定；求出事件的概率進(jìn)行判斷；依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是做出判斷；利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)中的指數(shù)為整數(shù)判斷即可．
【解答】
解：
令，，則，，所以，，故錯誤；
從分別標(biāo)有，，，，的個完全相同的小球中不放回地隨機(jī)摸球次，每次摸球個，則摸到的個球上的數(shù)字奇偶性相同的概率是，故正確
用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是故正確；
的二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為
當(dāng)，，，時為有理項(xiàng)，共有四項(xiàng)，故錯誤．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，涉及等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．
觀察從推導(dǎo)時原等式的左邊的變化情況，作差相減即可得解．【解答】解：
，
，
故答案為．  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明問題的第二步，屬于基礎(chǔ)題，項(xiàng)數(shù)增加多少問題，注意表達(dá)式的形式特點(diǎn)，找出規(guī)律是關(guān)鍵．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的方法求解即可．【解答】解：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加，末項(xiàng)為；
由，末項(xiàng)為到，末項(xiàng)為，應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為．
   17.【答案】解：設(shè)的公差為，的公比為，
由，得，．
又由，，得，解得，．
所以，，．
．
當(dāng)時，，結(jié)論成立．
假設(shè)當(dāng)時，成立，
則當(dāng)時，
，
結(jié)論也成立．
綜合，由數(shù)學(xué)歸納法可知，． 【解析】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的公差與公比，然后求解通項(xiàng)公式．
利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，轉(zhuǎn)化求解即可．
 18.【答案】證明當(dāng)時，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立．假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即．則當(dāng)時，   ，即當(dāng)時，等式也成立．由知等式對任何都成立． 【解析】略
 19.【答案】證明當(dāng)時，左邊，右邊．所以左邊右邊，等式成立．假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，那么當(dāng)時， ．即當(dāng)時，等式也成立，綜上，對任何，等式都成立． 【解析】略
 20.【答案】證明當(dāng)時， 顯然能被整除．假設(shè)當(dāng)且為奇數(shù)時命題成立，即能被整除，當(dāng)時，．又根據(jù)假設(shè)能被整除，能被整除．又能被整除，能被整除，當(dāng)時命題成立．由知，命題成立． 【解析】略
 21.【答案】證明當(dāng)時，左邊 ，右邊顯然，所以不等式成立．假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，．所以當(dāng)時，不等式也成立．綜上所述，對任意的正整數(shù)，不等式都成立． 【解析】略
 22.【答案】解 ，且，， ．猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確：當(dāng)，時易知猜想正確．假設(shè)當(dāng)時猜想正確，即．當(dāng)時，   ．當(dāng)時猜想也正確．由可知，猜想對任意都正確． 【解析】略
 

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4.4 數(shù)學(xué)歸納法*

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