A．4 B．5 C．7 D．8
答案 D
解析 由題意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>10－m>0，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－m)))＝\f(4,2)，))解得m＝8.
2．對拋物線y＝eq \f(1,8)x2，下列描述正確的是( )
A．開口向上，焦點為(0,2)
B．開口向上，焦點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,32)))
C．開口向右，焦點為(2,0)
D．開口向右，焦點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)，0))
答案 A
解析 由題知，該拋物線的標準方程為x2＝8y，則該拋物線開口向上，焦點坐標為(0,2)．
3．若ab≠0，則ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲線只可能是下圖中的( )
答案 C
解析 方程可化為y＝ax＋b和eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1.從選項B，D中的兩橢圓可知a，b∈(0，＋∞)，但由選項B中直線的位置可得a0，矛盾，應(yīng)排除；由選項C中雙曲線的位置可得a>0，b0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且|PF1|＝7，則|PF2|等于( )
A．1 B．13
C．17 D．1或13
答案 B
解析 由題意知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，可知eq \f(4,a)＝eq \f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝5.又由F1，F(xiàn)2分別是曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且|PF1|＝7，可得點P在雙曲線的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝13.
5．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))，則此雙曲線的方程為( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
答案 C
解析 以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝c2，又因為點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))在圓上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq \f(b,a)x，且點(3,4)在這條漸近線上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以雙曲線的方程為eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
6．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的焦點在x軸上，且橢圓C的離心率為eq \f(\r(7),4)，面積為12π，則橢圓C的方程為( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D
解析 由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，
因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1.
7．(2022·湖南五市十校聯(lián)考)已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為eq \f(\r(2),2)，則實數(shù)m等于( )
A．2 B．2或eq \f(8,3)
C．2或6 D．2或8
答案 D
解析 若焦點在x軸上，a2＝eq \f(1,m)，b2＝eq \f(1,4)，根據(jù)e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，則eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，則eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)，則eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即eq \f(1,m)＝eq \f(2,4)，則m＝2；若焦點在y軸上，a2＝eq \f(1,4)，b2＝eq \f(1,m)，即eq \f(1,4)＝eq \f(2,m)，解得m＝8，所以m＝2或m＝8.
8．設(shè)橢圓eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1，雙曲線eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1，拋物線y2＝2(m＋n)x(其中m>n>0)的離心率分別為e1，e2，e3，則( )
A．e1e2>e3
B．e1e20)的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C及其準線分別交于P，Q兩點，eq \(QF,\s\up6(→))＝3eq \(FP,\s\up6(→))，則直線l的斜率為________．
答案 eq \r(15)或－eq \r(15)
解析 如圖，過點P作拋物線C：y2＝2px的準線的垂線，垂足為P1，
設(shè)|FP|＝t，則|QF|＝3t，|QP|＝4t，
由拋物線的定義可得|PP1|＝|FP|＝t，
在Rt△PP1Q中，cs∠QPP1＝eq \f(|PP1|,|QP|)＝eq \f(t,4t)＝eq \f(1,4)，
所以sin∠QPP1＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(\r(15),4)，
所以tan∠QPP1＝eq \r(15)，
所以直線l的斜率可以為eq \r(15)或－eq \r(15).
13．已知拋物線y2＝2x，直線l的方程為x－y＋3＝0，點P是拋物線上的一動點，則點P到直線l的最短距離為________，此時點P的坐標為____________．
答案 eq \f(5\r(2),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 設(shè)點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，y0))是y2＝2x上任意一點，則點P到直線x－y＋3＝0的距離d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－y0＋3)),\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y\\al(2,0)－2y0＋6)),2\r(2))
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－1))2＋5)),2\r(2))，
當(dāng)y0＝1時，dmin＝eq \f(5,2\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，
此時x0＝eq \f(1,2)，所以點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
14．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq \f(y2,24)＝1的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，則△PF1F2的面積等于________．
答案 24
解析 雙曲線的實軸長為2，焦距為eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2×5＝10.由題意，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(4,3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝6，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝8，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))2，
∴PF1⊥PF2，
∴＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(1,2)×8×6＝24.

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