題型20   利用等高線求范圍【方法點(diǎn)撥】函數(shù)在兩點(diǎn)或兩點(diǎn)以上點(diǎn)處的函數(shù)值相等,我們稱之為等高線,此類題常以求取值范圍的形式出現(xiàn),其基本方法是”減元”,即充分利用函數(shù)值相等這一條件實(shí)施”消元”.對于函數(shù)，若存在正數(shù)，滿足，則，且.等高線問題重在”減元”,要充分利用“函數(shù)值相等”，樹立目標(biāo)意識，預(yù)設(shè)“消誰留誰”， 利用“函數(shù)值相等”的逆向使用，探究出自變量間的等量關(guān)系. 【典型題示例】例1     已知函數(shù)，方程有四個不相等的實(shí)數(shù)根，，，，則的最小值為　      　．【答案】50【分析】設(shè)<<<，則，，，且令則故當(dāng)時，所以的最小值為50.例2    已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為________.（公眾號：鉆研數(shù)學(xué)）【答案】【分析】由得（），即，代入，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為求取值范圍問題，利用導(dǎo)數(shù)知識易得.【解析】作出函數(shù)的圖像如下圖所示：      若存在實(shí)數(shù)滿足，根據(jù)圖像可得，所以，即，則，令，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，所以，即. 例3    設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，不妨令，則．結(jié)合圖象可得，從而可得結(jié)果．【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示．不妨令，則，則．結(jié)合圖象可得，故．∴．故選：D．
【鞏固訓(xùn)練】1. (多選題)已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是　　A． B． C． D．2. 已知函數(shù)，若存在，使得（a）（b）（c），則的最小值為　　A．    B．1     C． D．無最小值3.已知函數(shù)存在三個互不相等的正實(shí)數(shù)a,b,c且a<b<c時有f(a)= f(b)= f(c)，則取值范圍是           .4.已知函數(shù)，若，且 ，則              .  5.已知函數(shù)若且，則的取值范圍是_________.6.已知函數(shù)若存在，當(dāng)時，，則的取值范圍是      .7.已知函數(shù)若存在，當(dāng)時，，    則的取值范圍是                 ．8. 已知函數(shù)f(x)＝若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c滿足f(a)＝f(b)＝f(c)，則2a＋2b＋2c的取值范圍為________．9.已知函數(shù) 若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是      ．10.已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是                ．11. 已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x1，x2滿足0≤x1＜x2≤3，且f（x1）＝f（x2），則x2－2x1的取值范圍為　    　．
【答案與提示】1. 【分析】作出函數(shù)的圖象分析出，，；再對答案進(jìn)行分析．【解答】解：由函數(shù)，作出其函數(shù)圖象：由圖可知，，；當(dāng)時，，有；所以；由有，即； 所以；則；故選：．2. 【答案】．【解析】由圖及（a）（b）（c），可知，且，．則．．設(shè)．．，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．．故選：．3.【答案】（0,8）【提示】易知，且所以∈（0,8）4.【答案】25.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】（18,34）9.【答案】2e2－1210.【答案】  【提示】不妨設(shè)，則，，故，只需確定的范圍即可，利用圖象立得解.11.【答案】[0，1﹣ln2]【分析】利用已知f（x1）＝f（x2）進(jìn)行減元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問題.            【解答】由f（x1）＝f（x2）得: ，所以x2﹣2x1＝x2﹣2 e，易知1<x2≤2，設(shè)（1<x≤2），則由，得當(dāng)x∈(1，2-ln2)，則g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（2-ln2，2）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝2-ln2時，g（x）取極大值也是最大值，即g（x）max＝g（2-ln2）＝1﹣ln2，又g（1）＝1－2e-1<0， g（2）＝0．故g（x）的值域為[0，1﹣ln2]．即x2－2x1的取值范圍為[0，1﹣ln2]． 

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