題型33   與導數(shù)相關的極值、最值【方法點撥】極值問題轉(zhuǎn)化為(二次)方程根的問題,為求某個表達式的范圍,其難點在于消元、新元的范圍.【典型題示例】例1     (2021·江蘇天一三檢)已知在上恰有兩個極值點，，且，則的取值范圍為（    ）A.  B. C.                     D.【答案】D【分析】由題意得導函數(shù)在區(qū)間有兩個零點，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，由根與系數(shù)的關系可得以及，求出的表達式，將用表示，表示為關于的函數(shù)，利用導數(shù)與單調(diào)性的關系即可求出結(jié)果.【解析】由題意得，令，得，由題意知在上有兩個根，，∴，得．由根與系數(shù)的關系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．則，令，則．設，則，易知在上單調(diào)遞增，∴，∴當時，函數(shù)為減函數(shù)，∴，且，∴，故選：D.點評：1.根據(jù)極值點的概念，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關系和二次函數(shù)的性質(zhì)得到參數(shù)的取值范圍，以及與之間的關系；2.將題意轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)，構(gòu)造出，利用導數(shù)判斷單調(diào)性.例2   已知，是函數(shù)，的兩個極值點，若， 則的取值范圍為　        　．【答案】【分析】先由題得所以，化簡得=，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的值域即得解.【解析】（）∵，是函數(shù)的兩個極值點∴是兩個根，由韋達定理得，且故，所以令，則由，所以在單調(diào)遞減，又當時，， ，所以函數(shù)g(x)的值域為.即的取值范圍為.點評：解決以極值為背景的范圍問題，關鍵點有二，一是減元，二是構(gòu)造函數(shù)，最終轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問題.例3    已知函數(shù)(aR)的最小值為2，則實數(shù)的值是_________.     【答案】或【解析】∵，        當a≤0時，，∴是(0，)上的減函數(shù)，        ∴函數(shù)無最小值，舍去；        當a＞0時，由得，，        ∴在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，        ∴函數(shù)的最小值為，        由，得，        解得或.
【鞏固訓練】1. 設函數(shù)有兩個極值，實數(shù)的取值范圍是____________.   2.若函數(shù)在和兩處取得極值，且，則實數(shù)a的取值范圍是       ．3.已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是             ．4.已知函數(shù)（其中a為常數(shù)），設函數(shù)有兩個極值點，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．5.已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b為常數(shù)且a≠0)在x＝1處取得極值，若f(x)在(0，e]上的最大值為1，則a的值為          ．6.設函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是　　A． B．， C． D．，
【答案與提示】1.【答案】(，0)【解析】 ∵，        若函數(shù)有兩個極值，則，解得，        故a的取值范圍是(，0).2.【答案】 [，)【解析】∵函數(shù)在和兩處取得極值，且∴方程有兩個根和，且考慮函數(shù)和的圖象，利用導數(shù)，不難得到時，方程 有兩個根進一步的，由構(gòu)造函數(shù)，可知在區(qū)間上減，在區(qū)間上增，且∴，即，解之得∴，故綜上得：實數(shù)a的取值范圍是．         3.【答案】【解析】不難得出：，，（下略）.4.【答案】 【解析】 ，若有兩個極值點，則是方程的兩個不等正實根，易知．則，故，要使恒成立，只需恒成立．因為 令，則，當時，，為減函數(shù)，所以．由題意，要使恒成立，只需滿足．所以實數(shù)的取值范圍．5.【答案】a＝或a＝－2【解析】因為f(x)＝ln x＋ax2＋bx，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋b，因為函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1處取得極值，所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，b＝－2a－1f′(x)＝＝(x＞0)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，因為f(x)在x＝1處取得極值，所以x2＝≠x1＝1.①當a＜0，即＜0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2.②當a＞0，即x2＝＞0時，若＜1，f(x)在，[1，e]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值可能在x＝或x＝e處取得，而f＝ln＋a2－(2a＋1)·＝ln－－1＜0，令f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝.若1＜＜e，f(x)在區(qū)間(0,1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值可能在x＝1或x＝e處取得，而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，令f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝，與1＜x2＝＜e矛盾．若x2＝≥e，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，e]上單調(diào)遞減，所以最大值可能在x＝1處取得，而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，矛盾．綜上所述，a＝或a＝－2.6.【答案】【解析】求導得有兩個零點等價于函數(shù)有一個不等于1的零點，分離參數(shù)得，令，，在遞減，在遞增，顯然在取得最小值，作的圖象，并作的圖象，注意到，，（原定義域，這里為方便討論，考慮，當時，直線與只有一個交點即只有一個零點（該零點值大于；當時在兩側(cè)附近同號，不是極值點；當時函數(shù)有兩個不同零點（其中一個零點等于，但此時在兩側(cè)附近同號，使得不是極值點不合．故選：． 

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