(通用版)高考數(shù)學(xué)選填考點(diǎn)壓軸題型36《構(gòu)造形求最值類問(wèn)題》(含答案詳解)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型36   構(gòu)造形求最值類問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】一般地，對(duì)于以下結(jié)構(gòu)的問(wèn)題需要注意其式子的幾何意義：(1)表示兩點(diǎn)間的距離或向量的模；(2)k＝表示過(guò)點(diǎn)(a，b)與(x，y)的直線的斜率；(3)Ax＋By與直線Ax＋By＋C＝0的截距有關(guān)；(4)P(cosθ，sinθ)表示單位圓x2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)；(5)a2±ab＋b2與余弦定理有關(guān)，在解題過(guò)程中可以利用這些式子的幾何意義構(gòu)造一些特殊的函數(shù). 【典型題示例】例1   已知，，，是橢圓上兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足，則的最大值為　　A． B．4 C． D．【答案】C【解析】已知，，，是橢圓上兩個(gè)不同點(diǎn)，則，設(shè)，，，，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，且，、兩點(diǎn)均在圓的圓上，且，為等邊三角形且，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知為、兩點(diǎn)到直線的距離、之和．設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離，則，的最大值為，，的最大值為，故選：．例2     已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2對(duì)任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．【答案】[1，＋∞)【分析】由于條件“(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2”中平方和的特征，可聯(lián)想到兩點(diǎn)(m，m＋λ)，(n，lnn)的距離公式，而點(diǎn)(m，m＋λ)，(n，lnn)分別是直線y＝x＋λ和曲線f(x)＝lnx上動(dòng)點(diǎn)，故可轉(zhuǎn)化為直線y＝x＋λ和曲線f(x)＝lnx上點(diǎn)之間的距離大于等于.【解析】條件“不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2對(duì)任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“直線y＝x＋λ以及曲線f(x)＝lnx上點(diǎn)之間的距離恒大于等于”．如圖，當(dāng)與直線y＝x＋λ平行的直線與曲線f(x)＝lnx相切時(shí)，兩平行線間的距離最短，f′(x)＝＝1，故切點(diǎn)A(1,0)，此切點(diǎn)到直線y＝x＋λ的距離為≥，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此時(shí)直線與曲線相交)．   例3    若實(shí)數(shù)、、、滿足，則的最小值為             .【答案】【分析】由平方結(jié)構(gòu)特點(diǎn)產(chǎn)生了結(jié)構(gòu)聯(lián)想：類似兩點(diǎn)間的距離公式，【解析】∵,    ∴ 分別為兩個(gè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn).，所以，所以過(guò)點(diǎn)且斜率為3的切線方程為：，即:3x-y-2-2ln2=0,:y=3x-4兩直線的距離即為之距的最小值，即為，但是所求為距離的平方，所以結(jié)果為.         點(diǎn)評(píng)：這種平方和結(jié)構(gòu)從形的角度常想到兩點(diǎn)的距離，從數(shù)的角度常想到基本不等式.例4    設(shè)，其中，則的最小值是__________.【答案】【解析】的幾何意義是：曲線上點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離和再加2，而點(diǎn)到軸的距離利用拋物線的定義，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到拋物線（第一象限部分）的焦點(diǎn)F（1,0）的距離減去1，故所求即為F到曲線上點(diǎn)距離的最小值再加1，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易求得.
【鞏固訓(xùn)練】1.已知，若實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（    ）A． B． C． D．2.已知a－ln b＝0，c－d＝1，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值是(　　)A．1 B.C．2 D．23. 已知對(duì)于一切x，y∈R，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是         ．4.已知函數(shù)，若，且，則的最小值是_____.5.若實(shí)數(shù)、、、滿足，則的最小值為             .6.（多選題）已知，，記M＝，則（        ）   A．M的最小值為                   B．當(dāng)M最小時(shí)，   C．M的最小值為                   D．當(dāng)M最小時(shí)，
【答案與提示】1.【答案】C【解析】點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，的幾何意義就是曲線上的點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離最小值的平方，如下圖所示：考查曲線平行于直線的切線，，令，解得或（舍去），所以，切點(diǎn)為，該切點(diǎn)到直線的距離就是所要求的曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)之間的最小距離，故的最小值為，故選：C．2.【答案】C【解析】設(shè)(b，a)是曲線C：y＝ln x上的點(diǎn)，(d，c)是直線l：y＝x＋1上的點(diǎn)，則(a－c)2＋(b－d)2可看成曲線C上的點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的距離的平方．對(duì)函數(shù)y＝ln x求導(dǎo)得y′＝，令y′＝1，得x＝1，則y＝0，所以曲線C上到直線y＝x＋1的距離最小的點(diǎn)為(1,0)，該點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為＝.因此(a－c)2＋(b－d)2的最小值為()2＝2.故選C.3.【答案】      【解析】將已知整理為則左邊的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的距離平方.4.     【答案】【分析】根據(jù)幾何意義，滿足條件的點(diǎn)在曲線上，該點(diǎn)處切線與平行.【解析】設(shè)為曲線上一點(diǎn)，當(dāng)該點(diǎn)處切線與平行時(shí)，滿足題意.     令得滿足題意，即     把代入得     把代入得，即     ∴即為所求.5.【答案】【解析】∵,    設(shè)分別為雙曲線與圓的任意一點(diǎn)∴ 的幾何意義就是兩曲線上點(diǎn)的距離∴的最小值即（1,1），兩點(diǎn)間距離的平方，為.6.【答案】AB【分析】看到所求式子的結(jié)構(gòu)特征，立即聯(lián)想“距離公式”，運(yùn)用“形”知M的幾何意義，為函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的最小值的平方，再使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，轉(zhuǎn)化為與直線平行的切線間距離.【解析】由，得，的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的最小值的平方，由得，因?yàn)榕c直線平行的直線斜率為，所以，解得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以到直線上的距離，即函數(shù)上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離最小值為，所以的最小值為，又過(guò)且與垂直的直線為，即，聯(lián)立，解得，即當(dāng)最小時(shí)，．故選：AB．

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高考題型36 構(gòu)造形求最值類問(wèn)題試卷

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