題型43   橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比【方法點(diǎn)撥】1. 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，且，則間滿足.2.長短弦公式:如下圖,長弦,短弦（其中是焦參數(shù)，即焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，是直線與軸的夾角，而非傾斜角）.說明：（1）公式1的推導(dǎo)使用橢圓的第二定義，不必記憶，要有“遇過將焦半徑轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離”的意識(shí)即可.（2）雙曲線也有類似結(jié)論.         【典型題示例】例1   已知橢圓方程為，AB為橢圓過右焦點(diǎn)F的弦，則的最小值為　   　．【答案】【解析】由，得，，則橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線方程為如圖，過作于，則，①設(shè)的傾斜角為，則，②聯(lián)立①②，可得，同理可得，．令，，，．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)．的最小值為．故答案為：．例2   （2021·江蘇南京鹽城二調(diào)·7）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，過點(diǎn)F2作傾斜角為θ的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，則雙曲線C的離心率為A．4                B．              C．               D．2【答案】D【解析】，，．例3     已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，與過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線相交于A，B兩點(diǎn)．若＝3，則k＝________.           【答案】【解析】如右圖，設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，過A、B      分別向l作垂線AA/、BB/，A/、B/分別是垂足，過B作AA/垂線BD，D是垂足    設(shè)BF=t ，AF=3t    則，    中，    故    又k>0，所以. 
【鞏固訓(xùn)練】1. 設(shè)F1，F2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的離心率為________．2.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且 ＝2，則C的離心率為________．3. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)，則與的比值等于        ．（公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)）4.已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，若上存在不同兩點(diǎn)，，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍為　　A．， B． C．， D．
【答案與提示】1.【答案】【解析】如右圖，設(shè)直線AB的傾斜角為       則， 所以由|AF1|＝3|F1B|、長短弦公式得：，化簡得：代入得：，即解之得：（負(fù)值已舍），所以.2.【答案】3.【答案】4.【答案】C【解析】延長交橢圓于，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，則，，由，且，，由，所以，整理得，其中，，由，不重合，所以，，解得，所以，橢圓的離心率的取值范圍，．  

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