題型40   圓的“雙切線”問題【方法點撥】1.涉及從圓外一點向圓引兩條切線的相關(guān)線段長計算問題，根據(jù)對稱性,常將雙切線問題轉(zhuǎn)化為一條切線問題，抓住“特征直角三角形”(切點、圓心、圓外點為頂點)，向點與圓心的距離問題轉(zhuǎn)化.2.圓上存在一點、圓心與圓外一點（或圓上存在兩點與圓外一點）的張角有最大值，張角最大時，直線與圓相切，轉(zhuǎn)化為點與圓心的距離問題.【典型題示例】例1    （2020·新課標(biāo)Ⅰ·理科·11）已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線的方程．【解析】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時，，，此時最?。?/span>∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．例2    在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l:y=kx+6上存在點P，過點P作圓O: x2+ y2=4的切線，切點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 x2+ y1y2=－2，則實數(shù)k的取值范圍為          .【答案】(－∞，－]∪[，＋∞)        【分析】由x1 x2+ y1y2=－2的結(jié)構(gòu)聯(lián)想“數(shù)量積”的定義，“算兩次”得∠ACB=1200，雙切線問題利用對稱性，轉(zhuǎn)化為特征直角△PAC，易得∠APC=300，PC=4，故當(dāng)直線l:y=kx+6上的點P 只需滿足PC=4即滿足題意.而點C與直線上點間的距離，以垂線段最短，故只需C到直線的距離不大于4.【解析】由x1 x2+ y1y2=－2得：，則，在△PAC，∠APC=300，PC=4，當(dāng)直線l上的點 P滿足PC=4即滿足題意.又因為點C與直線上點間的距離，以垂線段最短，故只需C到直線的距離不大于4.由點到直線的距離公式得：，解之得所以k的取值范圍為(－∞，－]∪[，＋∞). 例3   過點作圓: 的切線,切點分別為,則 的最小值為__________.【答案】【分析】為了求出的最小值，需建立目標(biāo)函數(shù)，這里選擇使用數(shù)量積的定義作為突破口，選擇線段長為“元”.設(shè)∠APC=?，則，，故又點在直線，故即所以故 的最小值為.   點評：（1）求最值問題要牢固樹立建立目標(biāo)函數(shù)的意識；（2）涉及從圓外一點向圓引兩條切線的相關(guān)線段長計算問題，常將雙切線問題轉(zhuǎn)化為一條切線問題，抓住“特征直角三角形”，向點與圓心的距離問題轉(zhuǎn)化.例4    已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a為實數(shù))．若圓O與圓M上分別存在點P，Q，使得∠OQP＝30?，則a的取值范圍為        ．【答案】[－，0]【分析】雙動點問題先轉(zhuǎn)化為一點固定不動，另一點動.這里，先將Q固定不動，則點P在圓O運動時，當(dāng)PQ為圓O的切線時，∠OQP最大，故滿足題意，需∠OQP≥30?，再將角的范圍轉(zhuǎn)化為O、Q間的距離問題，即需OQ≤2.再固定P不動，易得只需OM≤3即可，利用兩點間距離公式(a＋3)2＋(2a)2≤9，解得－ ≤a≤ 0.點評：圓上存在一點（或兩點）與圓外一點的張角問題，張角最大時，直線與圓相切，轉(zhuǎn)化為點與圓心的距離問題.例5   平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P在x軸上，從點P向圓C1：x2＋(y－3)2＝5引切線，切線長為d1，從點P向圓C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝7引切線，切線長為d2，則d1＋d2的最小值為_____．【答案】5【分析】求切線長問題再利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題.【解析】設(shè)點P(x，0)，則d1＝，d2＝，d1＋d2＝＋，幾何意義：點P(x，0)到點M(0，2)，N(5，－3)的距離和．當(dāng)M，P，N三點共線時，d1＋d2有最小值5，此時P(2，0).
【鞏固訓(xùn)練】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋(y－3)2＝2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ的長的取值范圍是________．2.已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l：x＋y－6＝0，A為直線l上一點．若圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC＝60°，則點A橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．3.已知橢圓C1：（a＞b＞0）與圓C2：，若在橢圓C1上不存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是_______4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O: x2+ y2= r2 (r＞0) 與圓C: (x－6)2+ (y－8)2=4，過圓O上任意一點P作圓C的切線，切點分別為A，B，，則實數(shù)r的取值范圍為          .5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，若對于直線 上的任意一點P，在圓C上總存在Q使∠PQC＝，則實數(shù)m的取值范圍為       ．6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝1，直線l：x＋ay－3＝0(a>0)，過直線l上一點P作圓O的兩條切線，切點分別為M，N.若·＝，則正實數(shù)a的取值范圍是________．7. 過直線l：y＝x－2上任意一點P作圓C：x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)切線最短時，△PAB的面積為________．8. 已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10上存在兩點A，B，P為直線x＝5上的一個動點．且滿足AP⊥BP，那么點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是________．
【答案與提示】1.【答案】 [,2)【提示】直線與圓相切時，利用所得到的直角三角形，向點與圓心的距離問題轉(zhuǎn)化.2．【答案】[1，5]【提示】∠BAC最大時，直線與圓相切，轉(zhuǎn)化為點與圓心的距離問題.3.【答案】【分析】如圖，設(shè)過點的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，可知，由題知，解得，又即可得出結(jié)果.【解析】    如圖，設(shè)過點的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，可知，又因為在橢圓C1上不存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，所以，即得，所以，所以橢圓C1的離心率，又，所以.4.【答案】5.【答案】6.【答案】[，+∞]【解析】如下圖，設(shè)∠MPO＝α，由切線的性質(zhì)知∠NPO＝α，PM＝PN，則·＝||·||·cos 2α＝||2(1－2sin 2α)＝，即(PO2－1)＝，解得PO＝，故點P的軌跡為x2＋y2＝3.因為點P在直線l：x＋ay－3＝0(a>0)上，所以直線l與圓x2＋y2＝3有交點，即圓心到直線l的距離為d＝≤，解得a≥.      7.【答案】8.【答案】[2,6] 

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