題型42   拋物線過焦點(diǎn)的弦【方法點(diǎn)撥】設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為弦AB的傾斜角．則(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝，|BF|＝ (其中點(diǎn)A在x軸上側(cè)，點(diǎn)B在x軸下側(cè)) .(3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝.(4)＋＝.(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． 【典型題示例】例1   已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，圓，過的直線與拋物線和圓從上到下依次交于，，，四點(diǎn)，則的最小值為         .【答案】13【分析】易知，圓心即為焦點(diǎn)，故，再利用拋物線的定義，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用、基本不等式即可.【解析】易知，圓心即為焦點(diǎn)所以根據(jù)拋物線的定義，所以又所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)直線的方程是所以的最小值為13.例2    已知斜率為k的直線l過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)M（－1，－1）滿足·＝0，則｜AB｜＝     （     ）   A．        B．           C．5               D．6【答案】C【分析】將·＝0直接代入坐標(biāo)形式，列出關(guān)于A，B中點(diǎn)坐標(biāo)的方程，再利用斜率布列一方程，得到關(guān)于A，B中點(diǎn)坐標(biāo)的方程組即可.這里需要說明的是，·＝0轉(zhuǎn)化的方法較多，如利用斜邊中線等于斜邊一半等，但均不如上法簡單.（公眾號：鉆研數(shù)學(xué)）【解析】易知p=2設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2=1，y1y2=－4，，∵·＝0∴，化簡得設(shè)A、B中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則              ①又由直線的斜率公式得，∴，即     ②由①、②解得∴，答案選C.點(diǎn)評：     本題的命題的原點(diǎn)是阿基米德三角形，即從圓錐曲線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向圓錐曲線引切線，則兩個切點(diǎn)與該點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是以該點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.以此為切入點(diǎn)解決此題，方法則更簡潔.例3   過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于(　　)A.4   B.   C.5   D.6【答案】B【解析】　由對稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝＝.
【鞏固訓(xùn)練】 1.設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　)A.   B.   C.   D.2.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為y＝－1B.線段PQ的長度最小為4C.點(diǎn)M的坐標(biāo)可能為(3，2)D.·＝－3恒成立3.已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為P，Q.若|AF|＝3|BF|，則|PQ|＝________.4.已知拋物線C的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則符合條件的拋物線C的一個方程為__________．5.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則=        . 6.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則 =______.
【答案與提示】1.【答案】D【解析一】　由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，因此直線AB的方程為y＝，即4x－4y－3＝0.與拋物線方程聯(lián)立，化簡得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.【解析二】　由2p＝3，及|AB|＝得|AB|＝＝＝12.原點(diǎn)到直線AB的距離d＝|OF|·sin 30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.2.【答案】　BCD【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，所以拋物線C的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，A錯誤.當(dāng)線段PQ垂直于x軸時(shí)長度最小，此時(shí)|PQ|＝4，B正確.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x＝my＋1.聯(lián)立得方程組消去x并整理，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，則y1＋y2＝4m，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，所以M(2m2＋1，2m).當(dāng)m＝1時(shí)，可得M(3，2)，C正確.可得y1y2＝－4，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，D正確.故選BCD.3.【答案】　【解析】F(1，0)，不妨設(shè)A在第一象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3|BF|得y1＝－3y2①設(shè)lAB：y＝k(x－1)與拋物線方程聯(lián)立得ky2－4y－4k＝0，y1＋y2＝，y1·y2＝－4，②結(jié)合①②解得y2＝－，|PQ|＝|y1－y2|＝|－3y2－y2|＝－4y2＝.4.【答案】滿足焦準(zhǔn)距為1即可，如.【解析】由公式得，解得，滿足焦準(zhǔn)距為1即可，如等.5.【答案】【解析一】設(shè)AF=m，BF=n，則有  ，解得或(舍).【解析二】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，則設(shè)，則所以有，解得或，所以.6.【答案】【解析】直接由立得（其中m，n是焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)所分得的兩線段長，p就是焦準(zhǔn)距）.  

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