2.4.1圓的標準方程(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章第四節(jié))一、教學(xué)目標1．根據(jù)圓的標準方程寫出圓的半徑和圓心坐標，掌握待定系數(shù)法、幾何性質(zhì)法求出圓的標準方程；2．會判斷任意點與圓的位置關(guān)系；3．體會形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運算能力．二、教學(xué)重難點1．掌握圓的標準方程的建立與應(yīng)用；2．根據(jù)不同的已知條件，求圓的標準方程．三、教學(xué)過程1．提出問題，形象概括問題1：在平面中，圓的定義是什么？如何用集合語言描述？【預(yù)設(shè)的答案】平面上，到定點的距離等于定長的點的集合，稱為圓；其中，定點稱為圓心，定長稱為半徑．設(shè)圓心為點，半徑為，則圓就是以下點的集合：．【設(shè)計意圖】開門見山，引出課題“圓”．這是完成圓的標準方程的數(shù)學(xué)抽象第一階段，即完成對現(xiàn)實世界中圖形的抽象，得到圓的圖形，獲得圓的基本概念，此時是從感性具體上升到理性思維的過程，并引導(dǎo)學(xué)生用符號化的集合語言表示圓．2．探究問題，生成新知問題2：在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？【預(yù)設(shè)的答案】設(shè)圓心的坐標為，半徑為，為圓上任意一點，則根據(jù)兩點間的距離公式有，兩邊平方得到(1)．顯然，若點在圓上，則點的坐標就滿足方程(1)；反過來，若點的坐標滿足方程(1)，就說明點與圓心間的距離為，點就在圓上．如此，我們就可以通過方程(1)，在平面直角坐標系中確定一個圓．問題3：圓的特征是什么？通過哪些要素刻畫圓？【預(yù)設(shè)的答案】圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小，通過圓心和半徑這兩個要素來刻畫圓．所以，在平面直角坐標系中，確定一個圓的方程，核心就是確定它的圓心坐標以及半徑大小．我們把方程(1)稱為圓心為，半徑為的圓的標準方程．【設(shè)計意圖】問題2和問題3是完成圓的標準方程的數(shù)學(xué)抽象第二階段．第二階段是基于邏輯的抽象，通過問題2和問題3，引導(dǎo)學(xué)生用符號化的語言表示圓的標準方程，從理性具體上升為理性一般的思維過程．這兩個階段同時也是學(xué)生完成直觀想象的過程．3．典例分析，深化理解問題4：例1．（1）判斷下列方程是否為圓的方程：①；②．（2）求圓心為，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點是否在這個圓上．（3）點在圓內(nèi)的條件是什么？在圓外的條件又是什么？【預(yù)設(shè)的答案】解：（1）①是圓心為、半徑為2的圓的方程；②當時，不是圓的方程；當時，是圓心為、半徑為的圓的方程．（2）圓心為，半徑為5的圓的標準方程是．把點的坐標代入方程成立，即點的坐標滿足圓的方程，所以點在圓上；把點的坐標代入方程不成立，即點的坐標不滿足圓的方程，所以點不在圓上．（3）根據(jù)圓的定義，點在圓內(nèi)的條件是點到圓心的距離小于半徑，即；點在圓外的條件是點到圓心的距離大于半徑，即．【設(shè)計意圖】例1（1）的設(shè)計有兩個目的，一是加深學(xué)生對圓的方程結(jié)構(gòu)特點的認識，二是已知圓的標準方程能獲取圓心坐標和半徑大??；方程②需要考慮是否為0，考察學(xué)生思維的嚴密性．（2）是課本上的例1，目的是引出（3），讓學(xué)生學(xué)會判斷點與圓的位置關(guān)系．這里有兩種方法可以使用：一是根據(jù)點的坐標與圓的方程的關(guān)系判斷（代數(shù)法），二是根據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系判斷（幾何法）．最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何法與代數(shù)法的內(nèi)在聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想．問題5：例2．寫出下列各圓的標準方程：（1）圓心為，半徑是；（2）圓心為，且經(jīng)過點；（3）以線段為直徑的圓，其中；（4）△的外接圓，其中．【預(yù)設(shè)的答案】解：（1）；（2）解法1（幾何法）：設(shè)圓的半徑為，則，所以圓的標準方程是．解法2（代數(shù)法）：設(shè)圓的標準方程是,將點的坐標代入方程得，所以圓的標準方程是．（3）設(shè)圓的半徑為，則，即；圓心為中點，即，所以該圓的標準方程是．（4）解法1（幾何法）：設(shè)△的外接圓的圓心為，則點是線段的垂直平分線的交點．由線段中點及直線斜率知線段的垂直平分線為；同理可得線段的垂直平分線為．聯(lián)立解得，即圓心坐標為．而半徑，所以△的外接圓的標準方程是．解法2（代數(shù)法）：設(shè)△的外接圓的標準方程為，將三點坐標分別代入方程，聯(lián)立解出參數(shù)的值．此處略，詳見課本P83例2解法．【設(shè)計意圖】例2為已知圓的相關(guān)條件，求圓的標準方程．通過例2的練習(xí)，幫助學(xué)生理解圓的標準方程由兩個要素（圓心坐標、半徑大?。┐_定，由淺入深，符合學(xué)生的認知規(guī)律．(1)直接給出圓心和半徑，(2)需要求出半徑，(3)、(4)需要間接求出圓心及半徑，層層遞進，滲透兩種求法，為例3做鋪墊．問題6：例3．已知圓心為的圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上，求此圓的標準方程．【預(yù)設(shè)的答案】解：解法1（幾何法）：此處略，詳見課本P84-85例3解法．解法2（代數(shù)法）：設(shè)圓的標準方程為，將兩點坐標分別代入得到兩個方程，再將圓心坐標代入直線的方程可得第三個方程．聯(lián)立三個方程解出參數(shù)的值．【設(shè)計意圖】例3在例2的基礎(chǔ)上增加了難度，設(shè)計的目的是使學(xué)生明確求圓的標準方程關(guān)鍵是求出圓心坐標和半徑，主要有兩種方法：①幾何法：借助圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑大?。?/span>②代數(shù)法（待定系數(shù)法）：設(shè)含有參數(shù)的圓的標準方程，建立關(guān)于的方程組，解出參數(shù)，求出圓的標準方程．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)做轉(zhuǎn)化較為簡捷．四、課外作業(yè)（完成課本P85練習(xí)題3、4）練習(xí)3．已知兩點，求以線段為直徑的圓的標準方程，并判斷點在圓上、圓內(nèi)，還是在圓外．練習(xí)4．已知△的三個頂點分別是點，求△的外接圓的標準方程．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.4 圓的方程

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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