3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）(選擇性必修第一冊第三章)一、教學(xué)目標(biāo)1.根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情景，理解橢圓的定義.2.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，在化簡中提高學(xué)生的運算能力.3.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．二、教學(xué)重難點1.重點：①理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．②掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2.難點：理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，領(lǐng)會坐標(biāo)法的應(yīng)用.三、教學(xué)過程1.橢圓的概念生成1.1生活中的橢圓問題1:當(dāng)我們用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面和圓錐側(cè)面的交線）是一個圓.如果改變圓錐的軸和截平面所成的角，那么會得到怎樣的曲線呢？如果，用一個不垂直于圓錐的軸平面截圓錐，當(dāng)截面與軸所成角度不同時，得到的截口曲線也不同。它們分別是橢圓，雙曲線，拋物線，統(tǒng)稱為圓錐曲線。橢圓是圓錐曲線的一種，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用.在生活中，哪些地方有橢圓的身影呢？【預(yù)設(shè)答案】橢圓形桌子，盤子，火腿腸的斜切面【設(shè)計意圖】先直觀感受橢圓的形狀，在生活中尋找例子，建立數(shù)學(xué)和實際的聯(lián)系.1.2繪制橢圓，生成概念【數(shù)學(xué)活動】取一條細繩，用圖釘把繩子兩端固定，用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在圖紙上慢慢移動，看看能畫出什么圖形？這一過程中，移動的筆尖（動點M）滿足的幾何條件是什么?（請三名同學(xué)上黑板共同參與實驗活動，其他同學(xué)分組進行）【活動預(yù)設(shè)】第一幕：細繩兩端相距特別近，圖形很接近圓第二幕：細繩兩端相距適中，圖形扁一些，橢圓形狀更直觀.第三幕：細繩兩端相距較遠，筆尖繞著細繩轉(zhuǎn)動那么順暢，圖形更扁長.第四幕：細繩一端固定后，固定另一端時之前的一端被拉掉了學(xué)生總結(jié)畫圖變化中的不變量，師生一起總結(jié)得出：橢圓的定義：平面內(nèi)，與兩個定點F1 、F2 的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。在歸納橢圓定義的過程中，根據(jù)實驗中同學(xué)們出現(xiàn)的現(xiàn)象，如第三幕和第四幕情形，結(jié)合學(xué)生回答的情況，突出體現(xiàn)“常數(shù)”及“常數(shù)的范圍”等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.同時強調(diào)平面內(nèi)的大前提.問題2：在定義中，如果，動點的軌跡又是什么？當(dāng)時點M的軌跡為:線段當(dāng)時點M的軌跡不存在【設(shè)計意圖】改變單一、被動的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，給他們提供一個自主探索學(xué)習(xí)的機會，讓他們通過觀察、討論，歸納概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維、歸納概括的能力.) 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求（1）建系：（思考：如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？）學(xué)生回答，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)建系的基本原則. (關(guān)注對稱性，方程的最簡性)（2）設(shè)點：設(shè)為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距2c(c>0), M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a (2a>2c) ，則F1，F2的坐標(biāo)分別是(-c,0)、(c,0) .（3）動點的幾何特征：（4）坐標(biāo)化：（5）化簡：（通過設(shè)問、點撥“怎么化簡帶根式的式子”突破難點學(xué)生會提出兩種方案：一、是直接將根式平方。二、是將其中一個根式平移再平方.這時教師讓學(xué)生進行小組討論，對比、分析這兩種方法的優(yōu)缺點.教師引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)以上同學(xué)們提出的這兩種方法都需要進行兩次平方，只是方法二計算較方法一較簡單.）先讓學(xué)生各自在練習(xí)本上自行化簡，在此過程中，教師一邊巡視，一邊給予指導(dǎo)和提示，然后選出1—2位學(xué)生的推導(dǎo)過程展示出來，并請學(xué)生本人作簡要陳述．問題3：①怎么能讓方程 更簡潔？②怎么能讓方程更簡潔？不妨設(shè),再化簡方程得：該方程叫做焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【設(shè)計意圖】暴露自然思維，通過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受教材或老師強加給的方法，使學(xué)生完全成了學(xué)習(xí)的主人，由被動的接受變成主動的獲取。在師生互動的過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，使他們的觀察能力、運算能力、推理能力得到訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。并感受橢圓方程、圖形的對稱美，簡潔美，獲得成功的喜悅！)問題4：你能在圖中找出表示的線段嗎？讓點運動到軸正半軸上，由學(xué)生觀察圖形自行獲得的幾何意義，讓學(xué)生在講解的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想，引出特征三角形，也為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.【設(shè)計意圖】對照圖形加以引導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生明白方程中字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用.問題5：如果橢圓的焦點在軸上，那橢圓的方程又如何？（讓學(xué)生猜想方程，并說明如何驗證？）方法1：焦點坐標(biāo)變?yōu)?/span>，重復(fù)推導(dǎo)過程，布置為作業(yè).方法2：引導(dǎo)學(xué)生回答，如果橢圓的焦點在軸上（選取方式不同，調(diào)換軸）,只要將方程中的調(diào)換，可得 這個方程叫焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【設(shè)計意圖】利用類比對稱，化歸的思想讓學(xué)生體會問題的本質(zhì)所在，只是位置不同，圖形是一致的，得出焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免繁雜計算.2.2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點焦點在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程： （）                   焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程：  （）其中        觀察：橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程有什么異同點？思考：如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓焦點的位置？（小組討論，教師引導(dǎo):看形式，看細節(jié)）【預(yù)設(shè)答案】學(xué)生總結(jié)方程特征：①形式上：平方+平方=1，且                                  ②細節(jié)上：x和y順序交換（焦點位置不同）                              ③哪個變量下的分母大,焦點就在哪個軸上.3.學(xué)以致用例1 平面內(nèi)，動點P到兩定點F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是10 ，則動點P的軌跡為（ A ）A.橢圓          B.線段F1F2        C.直線F1F2          D.無軌跡  變式1平面內(nèi)，動點P到兩定點F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是8 ，則動點P的軌跡為（ B）A.橢圓          B.線段F1F2        C.直線F1F2          D.無軌跡變式2平面內(nèi)，動點P到兩定點F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是7，則動點P的軌跡為（ D ）A.橢圓          B.線段           C.直線              D.無軌跡   【設(shè)計意圖】強調(diào)橢圓定義中常數(shù)的范圍.   例2 請完成下列表格：橢圓方程圖象焦點坐標(biāo)        同2    【設(shè)計意圖】鞏固標(biāo)準(zhǔn)方程a,b,c的含義，焦點位置的判斷方法. 例3 (1)已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. （2）求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：【預(yù)設(shè)答案】(1)(2)   【方法總結(jié)】用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，若兩個坐標(biāo)軸都有可能，則需分類討論．(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程()或()(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c的方程組．兩個關(guān)鍵點：先定型，再定量.    常用方法：待定系數(shù)法【設(shè)計意圖】讓學(xué)生學(xué)會用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 分析解答中注意發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃觀點，注重不同思維、方法的碰撞.   .   4.課堂小結(jié)問題6：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識是什么?       （2）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法是什么？（3）本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？活動過程:（師）提問 ----- （生）小結(jié) ----- （師生）補充完善.一動二定求和常：兩個方程大對焦；三個字母勾股弦；四個想法留心間：求美，求簡，定義，待定系數(shù)法 【設(shè)計意圖】歸納小結(jié)由學(xué)生來完成，讓學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)知識與方法,以逐步提高學(xué)生自我獲取知識的能力，他們及時發(fā)現(xiàn)并糾正自己學(xué)習(xí)中存在的問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.） 5.課外作業(yè)【基礎(chǔ)練習(xí)】1．下列說法正確的是(　　)A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到兩點F1，F2的距離之和大于8的點的軌跡是橢圓B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到兩點F1，F2的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C．到點F1(－4,0)，F2(4,0)的距離之和等于從點(5,3)到F1，F2的距離之和的點的軌跡是橢圓D．到點F1(－4,0)，F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓2．設(shè)F1，F2為定點，|F1F2|＝6，動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動點M的軌跡是(　　)A．橢圓           B．直線            C．圓              D．線段3．設(shè)定點F1(0，－3)，F2(0,3)，動點P滿足條件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，則點P的軌跡是(　　)A．橢圓或線段     B．線段            C．橢圓            D．不存在4．橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)是(　　 )   A．(±4,0)　          B．(0，±1)          C．(±3,0)            D．(0，±2) 5．若橢圓＋＝1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為(　 　)   A．5　　　          B．6               C．4                D．106．已知點F1，F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，點P在此橢圓上，則△PF1F2的周長等于(　　)   A．20               B．18              C．16               D．147．已知，動點滿足 當(dāng)時的軌跡是               ，方程是                 ； 當(dāng)時的軌跡是               ，方程是                 .8．方程化簡結(jié)果為              ．9．若方程－＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是____________．10．方程表示橢圓，則的取值范圍是             .11.若橢圓＋＝1的一個焦點坐標(biāo)為（0 , 1），則m的值是________． 12. 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1) 兩個焦點的坐標(biāo)分別為(－4,0)和(4,0)，且橢圓過點(5,0)．     (2) 焦距為8，經(jīng)過P(0,2)點；       【拓展提高】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1) 與橢圓＋＝1有相同焦點，且過點M(3，－2)；         (2) 過兩點，；     

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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