第7講 數(shù)列求和:錯(cuò)位相減法參考答案與試題解析一．解答題（共11小題）1．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)，可得，即，即為，解得舍去），所以的公比為；（2）若，則，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．2．（2021?天津模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式．（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，恒成立，求的范圍．【解答】解：（1），可得，解得，時(shí)，，即為，可得數(shù)列為首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，即有，；數(shù)列是首項(xiàng)為，公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．可得，即為，解得，又，可得，；（2），，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得，即有，恒成立，可得．即的范圍是，．3．（2021秋?正定縣校級(jí)月考）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)分別是、、．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為由題意，得，即，解之得（舍去而的首項(xiàng)，公比滿足，得綜上所述，數(shù)列與的通項(xiàng)公式分別為、；（2）由（1）得①兩邊都乘以9，得②①②，得數(shù)列的前項(xiàng)和4．（2021?武清區(qū)校級(jí)模擬）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，，，數(shù)列滿足且，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）將和中的所有項(xiàng)按從小到大的順序排列組成新數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，求．【解答】解：（1）由；兩式相減得即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），將代入，得，解得，所以．由，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，令其公差為；又、，則，解得．所以．（2）令的前項(xiàng)和為，易知；均為遞增數(shù)列，且時(shí)，、時(shí)，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和滿足，所以．（3）由，，得．所以①；②，則①②得．所以．5．（2020秋?天津期末）已知等比數(shù)列的公比，且滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和，．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（Ⅰ）依題意，由，，可得，解得，，，，對(duì)于數(shù)列：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，，．（Ⅱ）由題意及（Ⅰ），可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，，則，，，兩式相減，可得，，，，，．6．（2021秋?長春月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故①①，可得②①②得，，所以．7．（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）依題意，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，得，又，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，．（2）由（1），可得，則，，兩式相減，得，．8．（2021秋?長春月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】（Ⅰ）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和為，，可得，，則，所以，有，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，故，①①，，②①②得，，所以．（12分）9．（2021春?湖北期中）設(shè)數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）數(shù)列滿足，．所以：，，，利用累加法：，整理得：，（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），故．（2）由（1）得，所以①，②，①②得：，整理得：．10．（2021秋?光明區(qū)月考）已知數(shù)列滿足．（1）記的前項(xiàng)和為，求；（2）記，求的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以：．（2）已知：，，，，由于所以：①，②，①②得：，整理得：．11．（2021?迎澤區(qū)校級(jí)二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．?dāng)?shù)列滿足．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，又，則，所以；當(dāng)時(shí)，有，得，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，所以，又不滿足上式，所以；（2）證明：根據(jù)題意，，所以，兩式相減得，故．

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