第8講 數(shù)列求和:裂項相消法參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?赫山區(qū)校級月考）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，求使不等式成立的最小正整數(shù)　　A．2016 B．2021 C．2017 D．2015【解答】解：，，，，即為，解得，即的最小值為2017．故選：．二．填空題（共1小題）2．（2021?河南模擬）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項和為　　．【解答】解：由，得，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是，所以，因為，所以的前項和．故答案為：．三．解答題（共12小題）3．已知，求其前項和．【解答】解：，其前項和：．4．（2021春?石城縣校級月考）已知數(shù)列是遞增等比數(shù)列，為其前項和，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求其前項和．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：，又，解得或，數(shù)列是遞增等比數(shù)列，，，設(shè)的公比為，則，．；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．5．（1）若數(shù)列的通項公式為，求其前項和；（2）已知為數(shù)列的前項和且，求：①，；②通項公式．【解答】解：（1），前項和，（2），①可得；；②時，，上式對也成立，綜上可得，．6．已知，求其前項和．【解答】解：，．7．（2021春?庫爾勒市校級期末）已知是等差數(shù)列，其前項和為，已知，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明：是等比數(shù)列，并求其前項和．（3）設(shè)，求其前項和．【解答】解：（1）是等差數(shù)列，，，，，其公差，；（2），，，且，是以32為首項，8為公比的等比數(shù)列，其前項和；（3），，．8．（2021春?武清區(qū)校級期末）已知等差數(shù)列中，前項和為，，為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，且滿足，．（1）求與；（2）設(shè)，，求的前項和．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，，，，，，即，解得（舍去），或，，，，．（2）由（1），可得，則，．9．（2021春?溫州期末）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項，前項和為，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足：．（1）求數(shù)列，的通項公式：（2）設(shè)，求證：．【解答】（1）解：因為，，成等比數(shù)列，所以，則，所以，又，所以或（舍，則，因為，則，故；（2）證明：由題意，，所以，故．10．（2021?鄞州區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，且滿足，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，，求證：．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由滿足，．分別取，2，3，可得：，，，解得，，，，．（2）證明：，，．11．（2021秋?雁峰區(qū)校級月考）已知數(shù)列滿足：，；數(shù)列是等比數(shù)列，并滿足，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和是，數(shù)列滿足，求證：．【解答】解：（1）數(shù)列滿足：，；所以，故數(shù)列為常數(shù)列，，所以．數(shù)列是等比數(shù)列，并滿足，且，，成等差數(shù)列．所以，所以，解得，故．證明：（2）由（1）得：，，所以．12．（2021秋?和平區(qū)校級月考）設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前項和為，是等差數(shù)列．已知，，，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求；求數(shù)列的前項和．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為．由，，可得．因為，可得，故．設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得．由，可得，從而，，故．所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為．由，有，故．證明：因為，所以．13．（2021?梁園區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）因為，所以，即，整理得，又因為，所以，即，所以；（2）由（1）知，所以，，所以．14．（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列前項和為，已知當(dāng)時，，且為，的等比中項．求數(shù)列的首項的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）由，得，所以是以2為公差的等差數(shù)列，又為，的等比中項．得，即，所以，解得或（舍去），（2）由（1）可知，所以，所以．

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