2022年新高考數(shù)學二輪提升數(shù)列專題第5講《通項公式的求解策略構(gòu)造法》（2份打包，解析版+原卷版）-試卷下載-教習網(wǎng)

第5講通項公式的求解策略:構(gòu)造法參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．已知數(shù)列中，，，求通項公式　　．【解答】解：數(shù)列中，，，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為7，公比為3．，，故答案為：，2．已知數(shù)列中，，，則求的通項公式　　．【解答】解：，，，，，，是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，，，故答案為：3．（2021秋?殷都區(qū)校級月考）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式　　．【解答】解：數(shù)列滿足，，數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列；，．故答案為：．4．（2021?岳麓區(qū)校級二模）已知數(shù)列中，，且，數(shù)列滿足，則的通項公式是　　．【解答】解：因為，所以，因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以．故答案為：．5．（2021秋?清遠期中）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式　　．【解答】解：數(shù)列滿足，，可得，是以2為首項，6為公比的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：．6．已知，求通項公式　　．【解答】解：因為，所以，，可得，所以是以25為首項，3為公差的等差數(shù)列，．可得．故答案為：．7．（2021?南關(guān)區(qū)校級四模）已知在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為　　．【解答】解：在數(shù)列中，，，，，，由此猜想：．下面用數(shù)學歸納法進行證明：①當時，，成立．②假設(shè)時，成立，即，當時，，成立．由①②得．數(shù)列的通項公式為．8．已知數(shù)列，滿足，，且（其中，則數(shù)列的通項公式為　　．【解答】解：，又，數(shù)列是首項為3、公差為2的等差數(shù)列，，又，且，數(shù)列是首項為1、公比為的等比數(shù)列，，，故答案為：．9．已知數(shù)列的首項為9，且，若，則數(shù)列的前項和　　．【解答】解：數(shù)列的首項為9，且，所以：，所以兩邊取對數(shù)得：，整理得：（常數(shù)），所以：數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以：，所以：，由于，所以：，故：兩邊取倒數(shù)得到：，所以數(shù)列的前項和．故答案為：10．（2021?蚌埠三模）已知數(shù)列滿足，若，則的最大值為　　．【解答】解：數(shù)列滿足，．，，變形為：，．數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為．．則．，只考慮為偶數(shù)時，時，．時，．因此（4）取得最大值．最大值為．故答案為：．二．解答題（共22小題）11．（2021秋?黃浦區(qū)期末）已知數(shù)列滿足，．（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求通項公式；（2）已知，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式．【解答】解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列，，，設(shè)數(shù)列的公差為，則．，即對成立，于是．，且，解得．；證明：（2），，．，數(shù)列是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列．．．12．已知數(shù)列中，，，且，求通項公式．【解答】解：，兩邊同加，得，又，，是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，①；，兩邊同減，得，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，②，由①②得．13．已知數(shù)列滿足下列條件，求通項公式：（1），，；（2），，．【解答】解：（1）由，得，，，，則，即，又，數(shù)列是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則；（2）由，得，，，，，則數(shù)列是以9為首項，以3為公比的等比數(shù)列，．．則．當為奇數(shù)時，，，，，．累加得：，驗證時上式成立；當為偶數(shù)時，，，，，．累加得：．綜上，．14．在數(shù)列中，，，當，，求通項公式．【解答】解：，，即數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，則，即，即數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，則．即．故通項公式．15．（2021?廣東）設(shè)，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)，．【解答】解：（1），，當時，，數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，，即，當，且時，，即數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，，即，數(shù)列的通項公式是（2）證明：當時，不等式顯然成立當，且時，，要證對于一切正整數(shù)，，只需證，即證所以不等式成立，綜上所述，對于一切正整數(shù)，有，16．（2021春?襄陽期末）在數(shù)列中，已知，．（1）求，，的值；（2）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，比較與的大?。?/span>【解答】解：（1），，可得；；（2）證明：，可得，數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列；（3），可得，設(shè)，則，相減可得，化簡可得，則為，，當時，；當時，；當，，．17．（2021?道里區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式：（2）數(shù)列的前項和為，設(shè)，求數(shù)列的前80項和．【解答】解：（1）證明：，可得，則，即，可得數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；則，即，可得，；（2），，．18．（2021秋?東莞市校級月考）已知數(shù)列中，已知，，（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．【解答】解：（1）數(shù)列中，已知，，可得，可得．所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列的通項公式：．19．（2021秋?七星區(qū)校級月考）在數(shù)列中，已知；．（Ⅰ）求，及；（Ⅱ）求證：．【解答】解：（Ⅰ），，，，，，于是是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，即；（Ⅱ），當時，，；時，成立，．20．（2021?沙坪壩區(qū)校級二模）在數(shù)列中，已知．（1）求，的值；（2）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）求證：．【解答】解：（1）（2分）（2）由得：所以數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為，公比為（6分）所以即為數(shù)列的通項公式．（9分）（3）證明：當時，所以原不等式成立．（12分）21．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）已知數(shù)列中，，．（1）求證：是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．（2）設(shè)，且恒成立，求整數(shù)的最小值．【解答】（1）證明：，，又，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，則；（2）解：由（1）知，，，恒成立，，故整數(shù)的最小值為0．22．（2021春?洛陽期末）已知數(shù)列首項，且滿足，令．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最小項．【解答】解：（1）證明：，，即．又，是首項為，公差為1的等差數(shù)列．（2）由，得．又，，，當時，．數(shù)列中的最小項為．23．（2021春?九龍坡區(qū)校級期中）已知在數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）因為，所以，所以，所以，所以．（2）記，所以，①，②①②得：，所以．24．已知數(shù)列滿足：，且．證明：為一個等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．【解答】證明：，兩邊取倒數(shù)得，，兩邊乘以，并裂項得，，兩邊減1得，，因此，，故數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，，其中，解得，．25．（2021?全國模擬）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，，求的通項公式．【解答】證明：（1）各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足，得，，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列；（2）因為，，所以，由（1）知數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是，，所以，即，也符合．故．26．（2021?全國）在數(shù)列中，，，，2，3，，（Ⅰ）求，，．（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式．【解答】解：（Ⅰ）在數(shù)列中，，，，2，3，，可得，，；（Ⅱ），可得，兩邊除以，可得即為，則，則．27．（2021?香坊區(qū)校級二模）已知數(shù)列中，，．（1）求證：是等差數(shù)列；（2）若，且數(shù)列，數(shù)列的前項和為，求的取值范圍．【解答】（1）證明：，，，，是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．；（2）解：，，，．，是遞增數(shù)列，的最小值為，又，．28．（2021春?碑林區(qū)校級期中）已知數(shù)列中，，（1）求、的值；（2）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）求通項公式．【解答】解：（1）數(shù)列中，，根據(jù)遞推關(guān)系式求出：（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，則：，則：解得：（3）由（2）的結(jié)論：數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列．解得：當時，數(shù)列的通項公式為：29．（2015春?禪城區(qū)校級月考）定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點，在函數(shù)的圖象上．其中為正整數(shù)．（1）求，，，并求證：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)．求數(shù)列的通項公式及關(guān)于的表達式；（3）記，的前項和為．求證：對恒成立．【解答】解：（1），點，在函數(shù)的圖象上．其中為正整數(shù)．，，同理可得，．，數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，，．數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，首項為．（2）由（1）可得：，．．．（3）證明：，時，，故．．時，．故對恒成立．30．（2021?虹口區(qū)一模）（1）定義：若數(shù)列滿足，則稱為“平方遞推數(shù)列”．已知：數(shù)列中，，．①求證：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”；②求證：數(shù)列是等比數(shù)列；③求數(shù)列的通項公式．（2）已知：數(shù)列中，，，求：數(shù)列的通項．【解答】解：（1）①由條件，得．數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”；②令，．則．，．數(shù)列是等比數(shù)列；③由②知，，，（2）兩邊同乘以得，，，兩邊取對數(shù)得：數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列31．已知數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式．【解答】解：，，化為：，，，化為：，．數(shù)列是等比數(shù)列，首項為4，公比為2．，可得．32．（2021秋?凌源市期末）已知首項為1的正項數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【解答】解：，即，即，所以，所以數(shù)列為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以．（2）因為，所以，，所以．

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