第25講 數(shù)列與函數(shù)的交匯問題 參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2021?龍泉驛區(qū)校級(jí)一模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則　　A． B． C．2 D．3【解答】解：函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，有，則，即，為周期為3的函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，，，，（1）（3）（5），，，（1），（1）（3）（5），（1）（3）（5）（1）（3），故選：．2．（2021?日照模擬）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則　　A．150 B．162 C．180 D．210【解答】解：，可得當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，時(shí)，數(shù)列遞增，可得．故選：．3．（2021?新鄭市校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，下列為真命題的序號(hào)為　　①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：由，可得，即，，故可得等差數(shù)列的公差，選項(xiàng)③正確；把已知的兩式相加可得整理可得結(jié)合上面的判斷可知故有，，故選項(xiàng)②正確；由于，，則，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；由公差 可得，結(jié)合等差數(shù)列的列的性質(zhì)，可得，從而可得，故，即選項(xiàng)④錯(cuò)誤．故選：．4．（2021秋?仁壽縣月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論中正確的是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：由，可得，，即，，從而可得等差數(shù)列的公差，把已知的兩式相加可得整理可得結(jié)合上面的判斷可知所以，而故選：．5．（2021?瓊海校級(jí)模擬）已知函數(shù)．項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差，若，當(dāng)時(shí)，則的值為　　A．14 B．13 C．12 D．11【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象過原點(diǎn)．而等差數(shù)列有27項(xiàng)，．若，則必有，所以．答案為：14，故選：．6．（2021秋?江蘇期中）已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)滿足，當(dāng)，時(shí)，，設(shè)在，上的最大值為則數(shù)列的前項(xiàng)和的值為　　A． B． C． D．【解答】解：由題設(shè)易知：當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，又函數(shù)滿足，在，上的最大值為，，，，，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故選：．7．（2021?浙江）已知，，，成等比數(shù)列，且，若，則　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，，設(shè)公比為，當(dāng)時(shí)，令，，即，故，不成立，即：，，，，不成立，排除、．當(dāng)時(shí)，，，等式不成立，所以；當(dāng)時(shí)，，，不成立，當(dāng)時(shí)，，，并且，能夠成立，故選：．二．多選題（共1小題）8．（2021秋?淄博月考）已知，，，成等比數(shù)列，滿足，且，下列選項(xiàng)正確的是　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)公比為，則，則，則，，即，即，令，，故，，時(shí)，，時(shí)，，故在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．且，，故作的圖象如右圖，結(jié)合圖象可知，，，則，即，同理可得，，，，故選：．三．填空題（共6小題）9．（2021?江西模擬）若函數(shù)滿足、，都有，且（1），（4），則　4033　．【解答】解：（a）（b），令，，（3）（1）（4），解得（3），令，，（2）（4）（1），解得（2），由（1），（2），（3），（4），可以猜想故答案為：403310．（2021秋?雨城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，，有，且（1），（4），則　4027　．【解答】解：函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，，有，由（1），（4），令，，得（2），令，，得（3），猜想：．①證明：當(dāng)，2，3，4時(shí)①成立．假設(shè)且為整數(shù)），①都成立．令，，得，，即對(duì)．成立．對(duì)任意正整數(shù)，都成立．．故答案為：4027．11．（2021?上海模擬）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列滿足，且（其中為的前項(xiàng)和），則　3　．【解答】解：函數(shù)是奇函數(shù)，是以3為周期的周期函數(shù)．，，．兩式相減并整理得出，即，數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，，，，，（2）（2）故答案為：3．12．（2021?紅橋區(qū)二模）已知定義在，上的函數(shù)滿足，當(dāng)，時(shí)，．設(shè)在，上的最大值為，且的前項(xiàng)和為，則　　．【解答】解：定義在，上的函數(shù)滿足，，，，設(shè)，，則，當(dāng)，時(shí)，．．，，，時(shí)，的最大值為表示以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．故答案為：．13．（2021秋?9月份月考）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為．點(diǎn)，均在函數(shù)的圖象上，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為．直線的斜率為，若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和　　．【解答】解：數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比設(shè)為，，由題意可得，由可得，即；又可得，解得，則，即，，可得前項(xiàng)和，，相減可得，化簡(jiǎn)可得．故答案為：．14．（2021?浦東新區(qū)三模）函數(shù)，數(shù)列，，，，滿足，，若要使，，，成等差數(shù)列．則的取值范圍　，　．【解答】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．對(duì)任意，．即，即為無窮遞增數(shù)列．又為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，，從而，由于為等差數(shù)列，因此公差．①當(dāng)時(shí)，則，又，故，即，從而，當(dāng)時(shí)，由于為遞增數(shù)列，故，，而，故當(dāng)時(shí)，為無窮等差數(shù)列，符合要求；②若，則，又，，得，應(yīng)舍去；③若，則由得到，從而為無窮等差數(shù)列，符合要求．綜上可知：的取值范圍為，．故答案為：，．四．解答題（共12小題）15．（2010?廣東模擬）已知函數(shù)，且對(duì)任意的、都有．（1）若數(shù)列．（2）求的值．【解答】解：（1）．（3分）而．（5分）是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故（7分）（2）由題設(shè)，有（8分）又，得，故知在上為奇函數(shù)（10分）由得，于是故．（12分）16．（2008?湖北校級(jí)模擬）已知函數(shù)在上有意義，，且對(duì)任意的，，都有．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若數(shù)列．（3）求證：．【解答】解：（1）令，則，即（1分）又令，，則（3分）即，故是奇函數(shù)．（4分）（2），而．（7分）（8分）是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故（9分）（3）（11分）又故（14分）17．（2021秋?永定區(qū)校級(jí)月考）已知在上有定義，且滿足，時(shí)，有（1）證明：在上為奇函數(shù)．（2）數(shù)列滿足，，，求的通項(xiàng)公式．（3）求證：．【解答】（1）證明：令得：所以令得：所以又的定義域?yàn)?/span>所以在上為奇函數(shù)（2）解：所以為以2為公比為首項(xiàng)的等比數(shù)列．故（3）證明：所以：所以以上等式相加得：18．（2009?鹽都區(qū)校級(jí)模擬）已知：函數(shù)在上有定義，，且對(duì)、有．（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）對(duì)于數(shù)列，有，試證明數(shù)列成等比數(shù)列；（Ⅲ）求證：．【解答】解：（Ⅰ）在中，令，得再令，得，，即函數(shù)為奇函數(shù)（Ⅱ）證明：由得函數(shù)為奇函數(shù)，，否則與矛盾，或，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（Ⅲ）證明：又（Ⅱ）可得又19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，函數(shù)一（其中，均為常數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖象上．（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令，得或，，，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：處取得極小值，即．（2）依題意，，點(diǎn)，均在函數(shù)圖象上，，則，由求得當(dāng)時(shí)，兩式相減求得，，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，， （3）由（2）得，，解得，，則③又④，且由（2）知，，③④得，．20．（2021秋?市南區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，．（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求證：．【解答】證明：（1）由題意可得，，數(shù)列為等差數(shù)列，，，，；（2），．21．（2021?陜西）設(shè)是等比數(shù)列1，，，，的各項(xiàng)和，其中，，．（Ⅰ）證明：函數(shù)在，內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為，且；（Ⅱ）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較和的大小，并加以證明．【解答】證明：（Ⅰ）由，則（1），．在，內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又，在，內(nèi)單調(diào)遞增，在，內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，，即，故；（Ⅱ）由題設(shè)，，設(shè)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．若，．若，．在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，（1），即．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，．22．（2021春?青羊區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)列，，點(diǎn)在軸上的射影是，，且且，．（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）設(shè)四邊形的面積是，求證：．【解答】（1）證明：由且得且，，，且，是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．．，．（2）解：，，，又，，故數(shù)列單調(diào)遞減，（此處也可作差證明數(shù)列單調(diào)遞減）當(dāng)時(shí)，取得最大值為．要使對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，則須使，即，對(duì)任意，恒成立，，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．（3）證明：，而，四邊形的面積為，，，．23．（2021?深圳二模）設(shè)是定義在，上的函數(shù)，若存在，使得在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則稱為，上單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)．（1）已知為，上的單峰函數(shù)，求的取值范圍及的最大值；（2）設(shè)，其中，．①證明：對(duì)任意，為，上的單峰函數(shù)；②記函數(shù)在，上的峰點(diǎn)為，，證明：．【解答】解：（1），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，方程的判別式△，當(dāng)△時(shí)，即或時(shí)，恒成立，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，不是單峰函數(shù)，當(dāng)△，即，方程的兩根，，則則，列表如下，，，遞減遞增遞減遞增在，上單峰函數(shù)，1為峰點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上若為，上的單峰函數(shù)，的取值范圍，，的最大值2；（2）①，，設(shè)，則，，，，時(shí)，，，在，上單調(diào)遞減，又，，函數(shù)在，內(nèi)存在零點(diǎn)，記為．，時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，對(duì)任意，為，上的單峰函數(shù)；②，，故，而為的峰點(diǎn)，，，又，，由①知在，上單調(diào)遞減，24．（2021?深圳二模）設(shè)是定義在，上的函數(shù)，若存在，使得在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，則稱為，上單谷函數(shù)，為谷點(diǎn)．（1）已知，判斷函數(shù)是否為區(qū)間，上的單谷函數(shù)；（2）已知函數(shù)且的導(dǎo)函數(shù)．①證明：為區(qū)間，上的單谷函數(shù)：②記函數(shù)在區(qū)間，上的峰點(diǎn)為，證明：．【解答】解：（1），分當(dāng)時(shí)，有，故在，上單調(diào)遞減，有，在，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上的單谷函數(shù)；分當(dāng)時(shí)，有，在，上單調(diào)遞增，不是區(qū)間，上的單谷函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有，故在，上單調(diào)遞增，不是區(qū)間，上單谷函數(shù)；分綜上所述，當(dāng)時(shí)，是區(qū)間，上的單谷函數(shù)；時(shí)，不是區(qū)間，上的單谷函數(shù)；分（2）①證明：記，，分當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，分又，且時(shí)，，，，分函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，記為，有，即在區(qū)間，上單調(diào)遞減；，有，即在區(qū)間，上單調(diào)遞增；，是區(qū)間，上的單谷函數(shù)，分②證明：，  分由可得；，代入得，即，分，，，又，，由①知單調(diào)遞增，．分25．（2021秋?黃州區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，且同時(shí)滿足以下①②③三個(gè)條件：①（1）；②對(duì)一切，恒成立；③若，，，則（a）（b）．（1）求；（2）設(shè)，，，且，試證明并利用此結(jié)論求函數(shù)的最大值和最小值；（3）試比較與的大小，并證明對(duì)一切，，都有．【解答】（1）解：令，，，又對(duì)一切，恒成立，（2）證明：設(shè)，，，，則，則當(dāng)時(shí)，（1），（3）證明：在③中令，得（Ⅰ）對(duì)，，總存在，滿足由（2）及（Ⅰ）得：又，．綜上所述，對(duì)任意，，恒成立26．（2007?四川）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線與軸的交點(diǎn)為，，其中為正實(shí)數(shù)．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）若，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明．【解答】解：（Ⅰ）由題可得．所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程是：．即．令，得．即．顯然，．（Ⅱ）由，知，同理，故．從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列．故．即．從而所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，顯然．當(dāng)時(shí)，．綜上，．

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