2021-2022學(xué)年廣西欽州市第四中學(xué)高二下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知是方程的實根，則關(guān)于實數(shù)的判斷正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)的單調(diào)性和零點的存在定理得到的實根，構(gòu)造新函數(shù)，得到在上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合，可判定A正確，B不正確；再令，結(jié)合零點的存在定理，得到C、D不正確.【詳解】設(shè)，其中，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)，且，可得方程的實根，則，又由，可得，即，構(gòu)造新函數(shù)，可得，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，因為實數(shù)是方程的實根，則，即，所以，即，所以A正確，B不正確.令，可得，為單調(diào)遞增函數(shù)，由，即，所以，又由，且，所以，所以C、D不正確.故選：A.2．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則等于（    ）A． B．C． D．以上都不對【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】．故選：A.3．已知函數(shù)，，若方程有兩個不相等的正實根，則實數(shù)m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由方程有兩個不相等的正實根，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實根，進而得到函數(shù)的圖象與直線在上有兩個不同的交點，根據(jù)當(dāng)時，若直線與的圖象相切，得到切點坐標(biāo)為和切線方程，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】因為函數(shù)，，且方程有兩個不相等的正實根，所以方程有兩個不相等的正實根，即方程有兩個不相等的正實根，即函數(shù)的圖象與直線在上有兩個不同的交點，因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，作出在上的大致圖象，如圖所示，當(dāng)時，若直線與的圖象相切，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，可得切線過點，所以，解得或(舍去)，所以該切線的斜率為，因為函數(shù)的圖象與直線在上有兩個不同的交點，所以數(shù)形結(jié)合可得.故選：D.【點睛】方法點撥：把方程有兩個不相等的正實根，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實根，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線在上有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵.4．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖像如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求解．【詳解】由圖象知在和上單調(diào)遞減，所以不等式的解集為．故選：A．5．已知直線與曲線有3個不同交點，，，且，則（    ）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，，令，得到曲線的對稱中心為，由，得出點一定是對稱中心，且，兩點關(guān)于對稱，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，，令，即，解得，所以曲線的對稱中心為，因為直線與曲線的交點，，，滿足，故點一定是對稱中心，即點坐標(biāo)是，且，兩點關(guān)于對稱，可得，，所以.故答案為：.6．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得函數(shù)，把在上有兩個極值點轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上由兩個不等式的實數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，等價于關(guān)于的方程在區(qū)間上由兩個不等式的實數(shù)根，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，要使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則滿足，即a的取值范圍是.故選：D.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點，難度較大.7．已知函數(shù)，若，使成立，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時，求得函數(shù)的值域為，當(dāng)時，求得，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，可得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為值域包含的值域，得出不等式，求得；②當(dāng)時，求得的值域為，滿足題意，進而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)，所以函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)，可得，①當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因為對，使成立，轉(zhuǎn)化為值域包含的值域，所以，即，解得，所以；②當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，此時值域為，滿足對，使成立，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點，難度較大.8．若存在實數(shù)x，y滿足，則（    ）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，再令，結(jié)合基本不等式，求得，進而得到，求得的值，即可求解.【詳解】令函數(shù)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，可得，令函數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又由，所以，所以，所以．故選：C.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點，難度較大.9．已知，則過點P(-1，0)且與曲線相切的直線方程為（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設(shè)切點為則切線方程為，將點代入解，即可求切線方程.【詳解】設(shè)切點為，則，切線斜率為 所以切線方程為，因為過點 則 解得或，所以切線方程為或故選：C10．已知函數(shù)，若在R上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)是遞增函數(shù)可得在R上恒成立，再分離參數(shù)，由取值范圍即得結(jié)果.【詳解】在R上為增函數(shù)，故在R上恒成立，即恒成立，而，故.故選：D.11．已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和在處的切線斜率，再由與直線垂直斜率乘積為可得答案.【詳解】，，切線的斜率為，因為切線與直線垂直，所以，解得. 故選：D.12．一個矩形鐵皮的長為，寬為，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，若記小正方形的邊長為，小盒子的容積為，則（    ）A．當(dāng)時，有極小值 B．當(dāng)時，有極大值C．當(dāng)時，有極小值 D．當(dāng)時，有極大值【答案】B【解析】求出小盒子的容積，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的極值情況可得答案.【詳解】小盒子的容積為，所以，令得，或舍去，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時有極大值為144.故選：B. 二、填空題13．試寫出一個實數(shù)a的值，使得關(guān)于x的不等式恒成立：___________.【答案】答案不唯一，可填區(qū)間[0，1]內(nèi)任意實數(shù).【分析】令，求得，分，和三種討論，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】令，可得，①當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以不能恒成立，即關(guān)于x的不等式不能恒成立，舍去；②當(dāng)時，恒成立，即關(guān)于x的不等式不能恒成立；③當(dāng)時，令，即，解得，令，即，解得，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，要使得恒成立，則滿足，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：答案不唯一，可填區(qū)間[0，1]內(nèi)任意實數(shù).14．是定義在R上的函數(shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，且，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為___________.【答案】【分析】根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，然后將不等式變形成形式，結(jié)合已知可解.【詳解】記，則因為，所以，所以在R上單調(diào)遞增.由知，，所以原不等式，又因為，所以，所以原不等式，即，解得.故答案為：15．已知函數(shù)，對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，把問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分別求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，得出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得；令，解得或，所以在遞減，在遞增，在遞減，而，所以，若對任意的，都有成立，則只需即可，由函數(shù)，可得，（1）當(dāng)時，，在遞增，，故，解得（舍去）；（2）當(dāng)時，令，解得；令，解得，所以在遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16．已知不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)和的圖象，分、和三種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，即可求解.【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，當(dāng)時，函數(shù)和的圖象必有交點，此時不等式在不能恒成立；當(dāng)時，由，顯然不等式在恒成立；當(dāng)時，由函數(shù)，可得，可得，即函數(shù)在處的切線的斜率為，要使得不等式恒成立，可得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是 三、解答題17．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有三個零點，求a的取值范圍．(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見詳解 【分析】（1）令換元得函數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)求極值，根據(jù)與函數(shù)圖象有三個交點可得；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究在區(qū)間上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性結(jié)合已知可證.【詳解】（1）令，則，記令，得當(dāng)時，，時，，時，所以當(dāng)時，取得極大值，時，取得極大值，因為函數(shù)有三個零點與有三個交點，所以，即 a的取值范圍為.（2）記記則記則易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增因為，記所以由（1）可知，所以，即又，所以因為，所以由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即所以【點睛】本題第二問屬于極值點偏移問題，關(guān)鍵點在于構(gòu)造一元差函數(shù)，通常構(gòu)造成或，本題由于采取了換元法轉(zhuǎn)化問題，因此構(gòu)造函數(shù)為.18．已知函數(shù)，（其中a為非零實數(shù)）(1)討論的單調(diào)性：(2)若函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】(1)求導(dǎo)，分類討論可得；(2)將變形成，然后取對數(shù)、換元轉(zhuǎn)化為，再利用相應(yīng)方程進行整體代換，最后換元將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題可解.【詳解】（1）的定義域為，若，則時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）由已知得有兩個不等的正實根，所以方程，即，即有兩個不等正實根.要證，只需證，即證.令，所以只需證.由得，所以，消去得，只需證設(shè)，令，則，所以只需證.令，則，所以，即當(dāng)時，成立.所以，即，即.【點睛】該題破題的關(guān)鍵在于：1、利用兩根滿足的方程進行整體代換進行化簡；2、巧妙變形，通過換元將雙變量化為單變量.19．已知.證明：(1)若函數(shù)有極大值，則；(2)若函數(shù)沒有極值點，則對任意的，都有；(3)若，則在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù)，使得.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析 【分析】（1）求得，結(jié)合單調(diào)性和題意得到，結(jié)合，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和，即可求解.（2）令，得到，根據(jù)沒有極值點，得到，令，求得，得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最值，即可求解；（3）令，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為證明，，即證和，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）解：因為函數(shù)，可得，由，解得，設(shè)，其中，又因為，所以，記，可得，故當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，所以即.（2）解：由因為，令，可得，又因為函數(shù)沒有極值點，可得，所以，令，則，所以，令，其中，且，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即.（3）解：，，令，其中.又，所以只需證明，，欲證，即證，又，令，，所以，得證，同理可證：，綜上，當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù)，使得.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點，難度較大.20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值點；（2）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極小值點是，無極大值點；（2）．【分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，列表，根據(jù)函數(shù)極值的定義進行求解即可；（2）對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，利用常變量分離法進行求解即可.【詳解】解析：（1）定義域，令，得，列表如下：－＋遞減極小值遞增 所以，的極小值點是，無極大值點；（2），在上單調(diào)遞減在上恒成立在恒成立，令，在上恒成立在上單調(diào)遞減實數(shù)的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點睛：運用常變量分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵. 

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