?第06講 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系
1.空間直角坐標(biāo)系
從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)
空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).
知識(shí)點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)
1.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法
通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).
特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
2.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是.
知識(shí)點(diǎn)三、 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）空間兩點(diǎn)的距離公式
若，則
①
即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。
②，
或.
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝牲c(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。
（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)
空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算
若，則
①;
②;
③;
（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
若，則

即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。
（5）空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式
若，則
(1).
(2).
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> ①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：
，其中的范圍是
②.
③用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。
（6）空間向量平行和垂直的條件
若，則
①
②
規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直
作用：證明線線平行、線線垂直.

【題型歸納目錄】
題型一：空間向量的坐標(biāo)表示
題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
題型三：空間向量的共線與共面
題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示
題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示
題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示
題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示
【典型例題】
題型一：空間向量的坐標(biāo)表示
1．（2022·江蘇常州·高二期中）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空間向量的坐標(biāo)表示，即得.
【詳解】
設(shè)，
∵，又，
∴，
解得，即.
故選：B.
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間向量的一個(gè)基底，是空間向量的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)出在基底下的坐標(biāo)為，利用對(duì)照系數(shù)，得到方程組，求出結(jié)果.
【詳解】
∵在基底下的坐標(biāo)為
∴
設(shè)在基底下的坐標(biāo)為
則
對(duì)照系數(shù)，可得：
解得：
∴在基底下的坐標(biāo)為
故選：C
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，若點(diǎn)是側(cè)面的中心，則在基底下的坐標(biāo)為（???????）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量運(yùn)算求得，從而確定正確選項(xiàng).
【詳解】
由題可知，為的中點(diǎn)，
∴，
∴坐標(biāo)為.
故選：D

4．（多選題）（2022·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（???????）

A．點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0，2） B．
C．的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1） D．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（－2，2，－2）
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可求點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷A;求出的坐標(biāo)，可判斷B;
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷C;根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷D.
【詳解】
根據(jù)題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；
由空間直角坐標(biāo)系可知： ,故B正確；
由空間直角坐標(biāo)系可知：,故的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1），故C正確；
點(diǎn)坐標(biāo)為，關(guān)于于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（－2，2，－2），故D正確，
故選：BCD
5．（多選題）（2022·河北·武安市第三中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（???????）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出等邊三角形的高的長(zhǎng)，根據(jù)三棱柱的棱長(zhǎng)可得各點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得向量的坐標(biāo)即可判斷．
【詳解】
在等邊中，，所以，則，，則.
故選：ABC
6．（2022·全國(guó)·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
由坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】

故答案為：
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，的起點(diǎn)坐標(biāo)是，則的終點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)向量坐標(biāo)的求解方法，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求解即可.
【詳解】
設(shè)的終點(diǎn)坐標(biāo)為，由題可得：，
故可得，即的終點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
8．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】##0,0.5,1
【解析】
【分析】
先求出向量的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，得出的坐標(biāo)，根據(jù)條件得出方程組可得答案.
【詳解】
點(diǎn)，，則
設(shè)點(diǎn)，則
由，則 ，即x=0y=12z=1，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：
9．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長(zhǎng)為1，則的坐標(biāo)為_(kāi)___，的坐標(biāo)為_(kāi)___，的坐標(biāo)為_(kāi)______．

【答案】???? ???? ????
【解析】
【分析】
由題設(shè)確定的空間坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求、、的坐標(biāo).
【詳解】
如題圖示，，
∴，
，
.
故答案為：，，.
10．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知、，設(shè)點(diǎn)、在平面上的射影分別為、，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得、，進(jìn)而得解.
【詳解】
點(diǎn)、在平面上的射影分別為、，
∴向量的坐標(biāo)為．
故答案為：.
11．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，用表示出，即可得．
【詳解】
設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn).由點(diǎn)滿足，得，可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，掌握向量的坐標(biāo)表示，是坐標(biāo)原點(diǎn)，的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)．
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，．求：

(1)向量，，的坐標(biāo)；
(2)，的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法和減法即可.
(1)
由已知，
則，，
(2)
,
.
13．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長(zhǎng)為1，分別求，，的坐標(biāo)．
【答案】見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
利用正方體的幾何特征建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可求出向量坐標(biāo).
【詳解】
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
∴，，.
14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，求向量的坐標(biāo)．
【答案】
【解析】
【分析】
用向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).
【詳解】

15．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，，的坐標(biāo)．

【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【解析】
【分析】
以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示．

則B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．

題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
1．（2022·浙江寧波·高一期中）已知向量，，則的坐標(biāo)為（??????????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可
【詳解】
，，∴．
故選：B．
2．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是正方形，平面，且，若，則點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為（???????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算.
【詳解】
由題意得，，所以，
所以，所以的坐標(biāo)為．
故選：B．
3．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由正六邊形的性質(zhì)可知，再根據(jù)空間向量數(shù)列積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，

由正六邊形的性質(zhì)可得，，
設(shè)，其中，
所以，，
所以，所以的取值范圍.
故選：A.
4．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（???????）
A．4 B． C．2 D．不確定
【答案】A
【解析】
【分析】
畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是面的中心，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，
所以，，
，

故選：A

5．（2022·廣西河池·高二期末（理））已知，則等于（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算即可.
【詳解】
由，
得，
所以，
故選：D
6．（2022·吉林白山·高二期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示向量，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨令，則，，，，，.因?yàn)?，所以，則，，，，則解得，，，故.
故選：C
（多選題）7．（2022·湖南益陽(yáng)·高二期末）已知四面體的所有棱長(zhǎng)都是分別是棱的中點(diǎn)，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】
以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
所以，
，
，，
，.
故選：ACD

8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，即可得到方程組，解得即可求得的坐標(biāo)．
【詳解】
解：點(diǎn)?，為線段上一點(diǎn)，且，
所以，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
則，即，
解得，即；
故答案為：．
9．（2022·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體，在正方體的12條棱上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.
【詳解】
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，
，設(shè)（且只在正方體的條棱上運(yùn)動(dòng)），
則，
，
由于，所以.
當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值.
故答案為：

10．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】
解：因?yàn)橄蛄浚?br /> 所以，
所以
故答案為：
11．（2022·吉林白山·高二期末）已知，，則___________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br /> 所以.
故答案為：
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，．求：

(1)向量，，的坐標(biāo)；
(2)，的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法和減法即可.
(1)
由已知，
則，，
(2)
,
.
13．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，求，，．
【答案】，，
【解析】
【分析】
直接根據(jù)向量的加減數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.
【詳解】
，
，
．
14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是長(zhǎng)方體，，且E為側(cè)面的中心，F(xiàn)為的中點(diǎn)，分別求.
【答案】16，0，2.
【解析】
【分析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，，，，，，，的坐標(biāo)，再由向量的坐標(biāo)公式，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算可得所求向量的數(shù)量積．
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
即有，0，，，0，，，4，，，0，，
，0，，，4，，，4，，
，0，，，2，，
（1），4，，4，；
（2），2，，0，；
（3），2，，2，．

15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P為上一點(diǎn)，且.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
【解析】
【分析】
由圖可得，設(shè)，然后根據(jù)求解即可.
【詳解】
由圖可得，設(shè)
因?yàn)?，所以，所?br /> 所以，解得，即

題型三：空間向量的共線與共面
1．（2022·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知空間三點(diǎn)，，，若三點(diǎn)共線，則（???????）．
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
求出向量與向量的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，可得向量與向量共線，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，，且三點(diǎn)共線，
所以向量與向量共線，
所以，得．
故選：C.
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若、、三點(diǎn)共線，則（???????）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根據(jù)求解即可.
【詳解】
∵，，
由題意得，則，
∴、，∴，
故選:A．
3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）向量，，，中，共面的三個(gè)向量是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)向量共面滿足的坐標(biāo)關(guān)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】
A：若共面，則，即，
即，顯然不存在滿足題意，故不共面；
同理，B，C中的三個(gè)向量也不共面；
D：若共面，則，即，
即，故存在滿足題意，則共面.
故選：D.
4．（2022·陜西榆林·高二期末（理））已知，， ，若、、三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)
A．3 B．5
C．7 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
由空間向量共面原理得存在實(shí)數(shù)，，使得，由此能求出實(shí)數(shù)．
【詳解】
解：，， ， 、、三個(gè)向量共面，
存在實(shí)數(shù)，，使得，即有：
，
解得，，
實(shí)數(shù)．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查空間向量共面原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2022·云南省瀘西縣第一中學(xué)高二期中）已知空間向量，若共面，則(???????)
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)共面向量，得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出的值即可．
【詳解】
若、、共面，則，
即，1，，，，
故，故，
故選：B．
6．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)高二期中）（1）設(shè)，，則______；
（2）若與，，（，，三點(diǎn)不共線）四點(diǎn)共面，且對(duì)于空間任一點(diǎn)，都有，則______．
【答案】???? ????
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可求的坐標(biāo)，
（2）由已知可得：，利用四點(diǎn)共面的充要條件列方程即可求解.
【詳解】
（1）因?yàn)?，，所以?br /> 所以.
（2）對(duì)于空間任一點(diǎn)，都有，
則即，
因?yàn)辄c(diǎn)與，，（，，三點(diǎn)不共線）四點(diǎn)共面，
所以，可得，
故答案為：；.
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點(diǎn)共線，則m＋n＝________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，分別求出的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線，可建立方程組，從而
可求m+n的值.
【詳解】
由題意，∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（ m+3，n﹣3，9）
∴
∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（ m+3，n﹣3，9）三點(diǎn)共線，
∴
∴（m﹣1，1，m﹣2n﹣3）=λ（2，﹣2，6）
∴
∴
∴m+n=0
故答案為0
【點(diǎn)睛】
本題以點(diǎn)為載體，考查三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是求向量的坐標(biāo)，利用向量共線的條件．
8．（2022·浙江·平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，，若，，共面，則___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由，，共面，設(shè)，由坐標(biāo)運(yùn)算列出方程求解即可.
【詳解】
因?yàn)?，，共面，設(shè)，則，則，解得.
故答案為：2.
9．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知，，．若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得，存在實(shí)數(shù)x，y，使，列出方程組，即可求得答案.
【詳解】
因?yàn)椴黄叫?，且、、三向量共面?br /> 所以存在實(shí)數(shù)x，y，使，
所以，解得，
故答案為：
10．（2022·湖北襄陽(yáng)·高二期末）若向量，，，且向量，，共面，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.
【詳解】
因?yàn)?，，共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使得，得，
解得
∴?????．
故答案為：
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空間向量共面的條件，設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，列出方程組求出的值.
【詳解】
，，共面，
存在實(shí)數(shù)，滿足，
則， ，，．
故答案為：
12．（2022·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，．
(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；
(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由向量的坐標(biāo)表示確定、，再由三點(diǎn)共線，存在使，進(jìn)而求出m、n，即可得結(jié)果.
（2）由向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)鈍角可得，討論的情況，即可求范圍.
(1)
由題設(shè)，，又，，三點(diǎn)共線，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)
由，
由（1）知：當(dāng)時(shí)，有；
而，又，的夾角是鈍角，
所以，可得；
又時(shí)、，故，滿足題設(shè)；
綜上，.
13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）證明，，，四點(diǎn)共面，你能給出幾種證明方法？
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
方法一、根據(jù)即可證明；方法二、根據(jù)即可證明.
【詳解】
證明：方法一、因?yàn)椋?，，?br /> 所以，，，
所以，
所以四點(diǎn)共面；
方法二、因?yàn)?，，，?br /> 所以，，
所以，
所以，
所以四點(diǎn)共面.
14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz．

（1）寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（2）求證：A1F⊥C1E；
（3）若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：．
【答案】（1） E(a，x，0)，F(xiàn)(a－x，a，0)；（2）證明見(jiàn)解析 ；（3） 證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
( 1 )在空間直角坐標(biāo)中結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征，能求出E, F的坐標(biāo)；
(2)求出，利用向量法能證明A1F⊥C1E；
(3)由 A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，得到,從而E, F,分別AB, BC的中點(diǎn)，由此能證明.
【詳解】
（1）在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)且，其中以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，
所以E(a，x，0)，F(xiàn)(a－x，a，0)．
（2）證明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，
∴A1F⊥C1E．
（3）證明：∵A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，
共面．
選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，

解得λ1＝，λ2＝1．
于是＝＋．
15．（2022·遼寧·遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二期中）已知向量，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)x的值；
(2)若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)x的值．
【答案】(1)或.
(2).
【解析】
【分析】
（1）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立方程，求解即可；
（2）設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算建立方程組，求解即可．
(1)
解： ，
因?yàn)椋?，即，解得或?br /> (2)
解：因?yàn)橄蛄颗c向量，共面，所以設(shè)．
因?yàn)?，，所以所以?shí)數(shù)x的值為.
16．（2022·河北·藁城新冀明中學(xué)高二階段練習(xí)）解答：
(1)已知，.若，分別求與的值；
(2)已知三個(gè)向量、、不共面，并且，，，向量、、是否共面？
【答案】(1)，.
(2)共面，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于、的方程組，即可解得、的值；
（2）設(shè)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解方程組即可得出結(jié)論.
(1)
解：因?yàn)椋?，且?br /> 設(shè)，則，解得；
(2)
解：不妨設(shè)向量、、共面，可設(shè)，
所以，，解得，，即，
因此，向量、、共面.

題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，則在的方向上的數(shù)量投影為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接由數(shù)量投影的公式求解即可.
【詳解】
由題意知：在的方向上的數(shù)量投影為.
故選：C.
2．（2022·江蘇南通·高二期中）設(shè)、，向量，，且，，則（??????????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，則，解得，則，
因?yàn)椋瑒t，解得，即，
所以，，因此，.
故選：D.
3．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，則（???????）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求，再利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式求模長(zhǎng).
【詳解】
由題設(shè)，則.
故選：C
4．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長(zhǎng)的最小值為（???????）

A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.
【詳解】
依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，
設(shè)，則，設(shè)，有，
線段EF長(zhǎng)最短，必滿足，則有，解得，即，
因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以線段EF長(zhǎng)的最小值為.
故選：B
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題可求在方向上的投影數(shù)量，進(jìn)而點(diǎn)到直線的距離為，即求.
【詳解】
∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影數(shù)量為，
∴點(diǎn)到直線的距離為.
故選：C.
6．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（　?。?br /> A． B． C．5 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出B（3，4，0），由此能求出||．
【詳解】
解：∵點(diǎn)B是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），
則||＝＝5．
故選：C．
（多選題）7．（2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；計(jì)算空間向量的模長(zhǎng)可判斷BC；根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D.
【詳解】
，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：BD.
8．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，再根據(jù)投影向量的模的公式求解即可
【詳解】
由題，，故在上的投影向量的模
故答案為：
9．（2022·江蘇常州·高二期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，即可求解.
【詳解】
如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，
所以，，
故．
故答案為：.
10．（2022·江蘇宿遷·高二期中）設(shè)空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對(duì)任意的的最小值是2，則的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
以方向?yàn)檩S，垂直于方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由的表達(dá)式即可求得最小值.
【詳解】
以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè) 則，
當(dāng)時(shí)的最小值是，

取 則

又因?yàn)槭侨我庵担缘淖钚≈凳?
取 則

又因?yàn)槭侨我庵?，所以的最小值?
故答案為：.
11．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若向量，，且，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】
，，
解得：或，又，.
故答案為：.
12．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得的最小值.
【詳解】
因?yàn)?、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，
所以，，因?yàn)椋瑒t，
不妨設(shè)，，
設(shè)，則，，解得，則，
因?yàn)椋傻茫?br /> 則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.
故答案為：.
13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平行于x軸，求直線l上滿足的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】或
【解析】
【分析】
由題意知直線l上的點(diǎn)，設(shè)并應(yīng)用空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示求參數(shù)x，即可確定P的坐標(biāo)．
【詳解】
由題意，直線l上的點(diǎn)有，故可設(shè)，
由，即，可得，解得或，
所以或.
14．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）下圖是一個(gè)機(jī)器人手臂的示意圖．該手臂分為三段，分別可用向量，，代表．

(1)若用向量代表整條手臂，求；
(2)求所代表的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離．
【答案】(1)
(2)．
【解析】
【分析】
（1）由向量的線性運(yùn)算求解．
（2）由向量模的定義計(jì)算．
(1)
由題意
(2)
由題意．
15．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，求其余各頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)角線的長(zhǎng)．
【答案】，，，，面對(duì)角線長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為.
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的相等關(guān)系，求出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)模長(zhǎng)公式求出面對(duì)角線與體對(duì)角線的長(zhǎng).
【詳解】
由題意得：設(shè)，則由得：，即，所以，又由，求得：，，，其中，故，所以面對(duì)角線長(zhǎng)度為，，所以
16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，若，求．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，用坐標(biāo)表示，可得，利用向量的模長(zhǎng)公式求解即可
【詳解】
設(shè)
故
由，可得
解得：
故


題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示
1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）向量，若，則的值為（???????）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
由題意可得知，則，因此，所以，
故選：C.
2．（2022·江蘇南通·高二期中）設(shè)、，向量，，且，，則（??????????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，則，解得，則，
因?yàn)椋瑒t，解得，即，
所以，，因此，.
故選：D.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若四邊形ABCD是平行四邊形，且，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)為平行四邊形，得到，設(shè)，將向量用坐標(biāo)表示后，代入上式即可求解.
【詳解】
為平行四邊形，,設(shè)，則，
，解得.
故選：D.
4．（2022·福建·廈門(mén)一中高二階段練習(xí)）設(shè)x，,向量，且，則的值為（　?。?br /> A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的垂直和平行列出相應(yīng)的方程組，解得的值，可得答案.
【詳解】
由得： ，解得，
故，
故選：A.
5．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知，，，若，則（???????）
A． B． C．11 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量共線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
，，
因?yàn)椋裕?br /> 解得，，故.
故選：B
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如果，，三點(diǎn)在同一直線上，那么__________，__________．
【答案】???? 3???? 4
【解析】
【分析】
由且，利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)a、b即可.
【詳解】
由題設(shè)，且，而，
所以，可得.
故答案為：3，4.
7．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知向量 ， 若 ，則實(shí)數(shù)________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列方程，即可求解.
【詳解】
因?yàn)橄蛄浚遥?br /> 所以，
解得：.
故答案為：.
8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線OA上移動(dòng)，則點(diǎn)P坐標(biāo)可設(shè)為_(kāi)__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根據(jù)向量共線設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】
由于在直線上移動(dòng)，
所以.
故答案為：
9．（2022·福建省同安第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.
【詳解】
由題意，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得.
故答案為：2.
10．（2022·湖北·高二期末）已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若，與同向，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出坐標(biāo)，根據(jù)給條件表示出坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.
【詳解】
因，，則，
因與同向，則設(shè)，因此，，
于是得，解得，則，
所以向量的坐標(biāo)為.
故答案為：
11．（2022·全國(guó)·高二期末）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，四邊形框架為正方形，為矩形，且，且它們所在的平面互相垂直，N為對(duì)角線上的一個(gè)定點(diǎn)，且，活動(dòng)彈子M在正方形對(duì)角線上移動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為_(kāi)___________.

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件建立以直線BA，BE，BC分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可計(jì)算，求其最小值即可．
【詳解】
解：因ABCD為正方形，則AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD?平面ABEF＝AB，
于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF為矩形，即BE⊥AB，
以射線BA，BE，BC分別為x，y，z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F(xiàn)（1，3，0），
因點(diǎn)N在BF上，且2FN＝BN，則，
又M在線段AC上移動(dòng)，則有，
于是得點(diǎn)，
?
，
因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，
此時(shí)，，.
故答案為：
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，且與平行，求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)向量平行的性質(zhì)求解即可.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br /> 所以，
因?yàn)榕c不平行，所以，
所以.
13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).
【答案】.
【解析】
【分析】
由空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得答案.
【詳解】
設(shè)，則，所以，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn)、、，點(diǎn)M是直線OC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)M、O、C三點(diǎn)共線可設(shè)，從而表示出M的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求其最小值時(shí)λ的值，從而求得M的坐標(biāo)．
【詳解】
由題意，設(shè)，則，即，
則，，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

【答案】λ＝－4.
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，求出的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a，1)和Q的坐標(biāo)為(b，b，0)，結(jié)合已知向量共線和向量垂直即可求出未知數(shù)的值，從而求出Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出λ.
【詳解】
以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a，1)，
因?yàn)?＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b，0)，因?yàn)镻Q⊥AE，
所以＝0，所以·＝0，即，解得 ，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以＝λ?br /> 所以，故λ＝－4.

【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛:
本題的關(guān)鍵是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，由向量共線和垂直求出Q的坐標(biāo).

題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示
1．（2022·四川省綿陽(yáng)普明中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知空間向量，，，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．且 B．且
C．且 D．以上都不對(duì)
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量垂直平行的性質(zhì)判斷即可
【詳解】
由題，因?yàn)椋?，又，?br /> 故選：C
2．（2022·廣東·潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，若，則m的值為（???????）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量垂直時(shí)，數(shù)量積等于0，列出相應(yīng)方程，求得答案.
【詳解】
由題意可得，
故 ，則 ，
故選：A
3．（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高二期中）已知向量，，，且向量與互相垂直，則的值是（???????）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積為0可求的值.
【詳解】
，
因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，故，故，
故選：B
4．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段即可得結(jié)果.
【詳解】
分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，，
則，，
由得，即，
由于，所以，，
所以點(diǎn)的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，
由圖知：，
故選：B.

5．（2022·江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（???????）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算．
【詳解】
由題意，，，
，
因?yàn)椋?br /> 所以，．
故選：A．
6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若.則△BCM面積的最小值為（　?。?br />

A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法確定M的軌跡滿足，求出的最小值，可求出面積的最小值.
【詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則 ，，，，
設(shè) ，則 ，，
因?yàn)?，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
當(dāng) 時(shí)， 取最小值 ，
易知，且平面，平面
故，故
所以的最小值為．
故選：D.
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是底面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段AM的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再由可得的軌跡方程，從而由平面知識(shí)得到長(zhǎng)的最小值.
【詳解】
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，


則，，，設(shè)，
則，，
，，
即點(diǎn)的軌跡方程為，
線段AM的長(zhǎng)的最小值為.
故答案為：.
8．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知，．設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)，若，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】
由題知，，進(jìn)而根據(jù)空間向量的垂直關(guān)系求解即可.
【詳解】
解：因?yàn)樵谥本€上，且，
所以
所以，，
因?yàn)?br /> 所以，解得.
故答案為：
9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，．當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合空間向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式和空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br /> ，
因?yàn)榕c垂直，
所以.
故答案為：
10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，然后利用空間向量表示出的關(guān)系，從而可求得結(jié)果
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，（）
則，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
因?yàn)閠 >0
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是，
故答案為：

11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求證：.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可證得結(jié)論成立.
(1)
解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、.
(2)
證明：依題意可得、，則，，
所以，，所以.
12．（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)，，，設(shè)，．
(1)求，夾角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
【答案】(1)
(2)或.
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用夾角公式可求夾角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐標(biāo)形式可求參數(shù)的值.
（3）利用共線向量定理可求參數(shù)的值.
(1)
，，
故.
(2)
由（1）可得
，，
因?yàn)橄蛄?，垂直，故?br /> 整理得到：，故或.
(3)
由（1）可得不共線，故，均不為零向量，
若向量，平行，則存在非零常數(shù)，使得，
整理得到：，
因?yàn)椴还簿€，故，故或，
故.
13．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，點(diǎn)，.
(1)求；
(2)若直線AB上存在一點(diǎn)E，使得，其中O為原點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)5
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示的線性運(yùn)算求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)公式即可得解；
（2）設(shè)，根據(jù)求出，再根據(jù)可得，從而可求得，即可求出，從而可得出答案.
(1)
解：因?yàn)椋?br /> 所以，
所以；
(2)
解：設(shè)，
由，，得，
則，
故，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，解得，
所以，
設(shè)，
則，
所以，解得，
所以.
14．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，，是圓柱底面的圓心，，，均為圓柱的母線，是底面直徑，E為的中點(diǎn)．已知，．

(1)證明：；
(2)若，求該圓柱的體積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）通過(guò)線面垂直證明線線垂直
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)垂直條件解出圓柱的高
(1)

連結(jié)，可知
平面
平面

(2)
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)圓柱的高為
可得

由題意得，解得
故圓柱的體積
15．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在直線AB上．
(1)若，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由點(diǎn)在直線上得，表示出P的坐標(biāo)，根據(jù)求出即可.
(2)根據(jù)求出即可.
(1)
，
∵點(diǎn)在直線上，∴，，.
由得，
，或.
(2)
，
，，，.

題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示
1．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則在上的投影向量為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br /> 所以，
所以在上的投影向量為
故選：B
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，、分別為、的中點(diǎn)，是正方形的中心，則的大小為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求的大小即可解決.
【詳解】
由題意可得平面，，則兩兩垂直
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

又，則
故選：B
3．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，與的夾角為，則的值為（???????）
A．1 B． C．或 D．17或
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和空間向量的夾角公式，列出方程，即可求解.
【詳解】
由題意，向量，，
可得，，，
因?yàn)榕c的夾角為，可得，即，
整理得，解得或.
故選：D.
4．（2022·河北石家莊·一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且，則的最大值為（???????）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得余弦值，即可求出的最大值.
【詳解】
由題意可知三棱柱為直三棱柱，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

因?yàn)椋瑒t，
由于動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則存在實(shí)數(shù)使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化簡(jiǎn)可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以的最大值為.
故選：B.
（多選題）5．（2022·江蘇·馬壩高中高二期中）若，，與的夾角為120°，則的值為（???????）
A． B．17 C．1 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由空間向量夾角的坐標(biāo)表示求解
【詳解】
由題意得
解得或
故選：BD
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、、，則______.
【答案】60°##
【解析】
【分析】
先求出，，再由向量夾角公式求解即可.
【詳解】
由題意知：，，
則，故.
故答案為：.
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、、，與的夾角為 ，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.
【詳解】
由題意得，，
故 ，
解得 ，
故答案為：
8．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若空間兩個(gè)單位向量、與的夾角都等于，則______．
【答案】.
【解析】
【分析】
利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以有?br /> 因?yàn)榕c的夾角都等于，
所以，
所以有，
，
故答案為：
9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，分別是軸、軸、軸正方向上的單位向量，若為非零向量，且，，則______．
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)，由向量數(shù)量積運(yùn)算可求得，，由模長(zhǎng)運(yùn)算可知，由向量夾角公式可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，又，，，
，，
即，，，
解得：，或，
或，
又，或.
故答案為：或.
10．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_(kāi)________.
【答案】
【解析】
【分析】
由與的夾角為銳角，判斷出，且、不同向共線，列不等式組求出k的范圍.
【詳解】
因?yàn)橄蛄咳襞c的夾角為銳角，
所以，且、不同向共線.
只需滿足，解得：或.
所以的范圍為.
故答案為：.
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問(wèn)題：

(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求證：平面.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果；
（2）利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值；
（3）利用空間向量法可證得，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.
(1)
解：因?yàn)槠矫妫?br /> 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，所以，，則.
(2)
解：依題意得、、、，
所以，，，，
又，，
所以，.
(3)
證明：依題意得、、、、，
則，，，
所以，，，
則，，即，，
又因?yàn)椋?，平?
12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)、、，設(shè)，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
(3)求以，為一組鄰邊的平行四邊形的面積S．
【答案】(1)或
(2)
(3)3
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，表示出其坐標(biāo)，根據(jù)模的計(jì)算，求得答案;
（2）表示出的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，求得答案；
（3）求得向量，夾角的余弦，進(jìn)而求得其正弦，根據(jù)三角形面積公式求得答案.
(1)
∵空間中三點(diǎn)，，，，，
∴．
∵，且，∴設(shè)，則，
∴，∴，
∴或．
(2)
由題意得，
∴，
∵向量與互相垂直，∴，解得．
(3)
，，，
，，
故，
∴．
13．（2022·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，．
(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；
(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由向量的坐標(biāo)表示確定、，再由三點(diǎn)共線，存在使，進(jìn)而求出m、n，即可得結(jié)果.
（2）由向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)鈍角可得，討論的情況，即可求范圍.
(1)
由題設(shè)，，又，，三點(diǎn)共線，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)
由，
由（1）知：當(dāng)時(shí)，有；
而，又，的夾角是鈍角，
所以，可得；
又時(shí)、，故，滿足題設(shè)；
綜上，.
14．（2022·福建省長(zhǎng)汀縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)向量，，計(jì)算以及與所成角的余弦值．
【答案】，，，
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算可得.
【詳解】

．
.
∵，，
∴
15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將正三棱柱放在空間直角坐標(biāo)系中，使得棱AB的中點(diǎn)恰為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，若，，寫(xiě)出，的坐標(biāo)，并求它們夾角的余弦值．

【答案】，
【解析】
【分析】
寫(xiě)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量坐標(biāo)，利用夾角公式可得向量夾角的余弦值.
【詳解】
由已知得，
則，
.
16．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，求的面積．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，求得，的坐標(biāo)及其夾角的余弦值和正弦值，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，，，故可?
不妨設(shè)，的夾角為，故可得，
則，則.
故答案為：.



相關(guān)試卷

第14講 雙曲線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）：

這是一份第14講 雙曲線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）

第15講 拋物線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）：

這是一份第15講 拋物線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019），文件包含第15講拋物線解析版docx、第15講拋物線原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共81頁(yè)， 歡迎下載使用。

第10講 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）：

這是一份第10講 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019），文件包含第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式解析版docx、第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共71頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第11講 圓的方程-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）

第11講 圓的方程-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）
第13講 橢圓-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）

第13講 橢圓-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）
第04講 空間向量及其運(yùn)算-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）

第04講 空間向量及其運(yùn)算-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）
第03講 概率的綜合運(yùn)用-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）

第03講 概率的綜合運(yùn)用-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部