萬有引力定律的應(yīng)用(25分鐘　60分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共6小題,每小題7分,共42分)1.如圖所示,一顆人造衛(wèi)星原來在橢圓軌道1繞地球E運(yùn)行,在P點(diǎn)變軌后進(jìn)入軌道2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是????????????? (　　) A.不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行,衛(wèi)星在P點(diǎn)的速度都相同B.不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行,衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度都相同C.衛(wèi)星在軌道1的任何位置都具有相同加速度D.衛(wèi)星在軌道2的任何位置都具有相同速度【解析】選B。從軌道1變軌到軌道2,需要加速,A錯(cuò);不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行,衛(wèi)星在P點(diǎn)只受萬有引力,根據(jù)公式G=ma可得a=,故只要位置相同,加速度則相同,由于衛(wèi)星在軌道1做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)半徑在變化,所以加速度在變化,B對(duì)、C錯(cuò);衛(wèi)星在軌道2做勻速圓周運(yùn)動(dòng),速度的大小不變,方向時(shí)刻改變,D錯(cuò)。2.航天飛機(jī)在完成對(duì)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后,在A點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ,B為軌道Ⅱ上的一點(diǎn),如圖所示。關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng),下列說法中不正確的有????????????? (　　)A.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于經(jīng)過B的速度B.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的動(dòng)能C.在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期D.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度【解析】選D。航天飛機(jī)在軌道Ⅱ上從遠(yuǎn)地點(diǎn)A向近地點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中萬有引力做正功,所以航天飛機(jī)經(jīng)過A點(diǎn)的速度小于航天飛機(jī)經(jīng)過B點(diǎn)的速度,A正確;航天飛機(jī)在A點(diǎn)減速后才能做近心運(yùn)動(dòng),從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ,所以在軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A點(diǎn)的動(dòng)能,B正確;根據(jù)開普勒第三定律=k,因?yàn)檐壍愧虻陌腴L(zhǎng)軸小于軌道Ⅰ的半徑,所以航天飛機(jī)在軌道Ⅱ上的運(yùn)動(dòng)周期小于在軌道Ⅰ上的運(yùn)動(dòng)周期,C正確;根據(jù)牛頓第二定律F=ma,因航天飛機(jī)在軌道Ⅱ和軌道Ⅰ上A點(diǎn)的萬有引力相等,所以在軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)的加速度等于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A點(diǎn)的加速度,D錯(cuò)誤。3.經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”,“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成,每個(gè)恒星的線度遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離,而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體。兩顆星球組成的雙星,在相互之間的萬有引力作用下,繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得兩顆星球之間的距離為L(zhǎng),質(zhì)量之比為m1∶m2=3∶2。則可知????????????? (　　)A.m1、m2做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為2∶3B.m1、m2做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為3∶2C.m1做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為LD.m2做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為L【解析】選C。雙星系統(tǒng)在相互之間的萬有引力作用下,繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng),角速度相同,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由G=m1ω2r1=m2ω2r2得r1∶r2=m2∶m1=2∶3,由v=ωr得m1、m2做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為v1∶v2=r1∶r2=2∶3,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;m1做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為L,m2做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為L,選項(xiàng)C正確,D錯(cuò)誤。4.在軌運(yùn)行30年的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡,曾拍攝到天狼星A和天狼星B組成的雙星系統(tǒng)在軌運(yùn)行圖像,如圖所示。它們?cè)诒舜碎g的萬有引力作用下同時(shí)繞某點(diǎn)(公共圓心)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知mA=bmB,且b>1,則下列結(jié)論正確的是????????????? (　　)A.天狼星A和天狼星B的繞行方向可能相反B.天狼星A和天狼星B的公共圓心可以不在質(zhì)心連線上C.天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比為b∶1D.天狼星A和天狼星B的線速度大小之比為1∶b【解析】選D。天狼星A和天狼星B角速度相同,之間的距離不變,繞行方向一定相同,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;天狼星A和天狼星B的公共圓心一定在質(zhì)心連線上,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;天狼星A和天狼星B的向心力由它們之間的萬有引力提供,G=mAω2rA=mBω2rB,知mArA=mBrB,即==,根據(jù)a=ω2r知,===,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;根據(jù)v=ωr,有==,選項(xiàng)D正確。5.宇宙中組成雙星系統(tǒng)的甲、乙兩顆恒星的質(zhì)量分別為m、km,甲繞兩恒星連線上一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,根據(jù)宇宙大爆炸理論,兩恒星間的距離會(huì)緩慢增大,若干年后,甲做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑增大為nr,設(shè)甲、乙兩恒星的質(zhì)量保持不變,引力常量為G,則若干年后說法錯(cuò)誤的是????????????? (　　)A.恒星甲做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為GB.恒星甲做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變大C.恒星乙做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為D.恒星乙做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為恒星甲做圓周運(yùn)動(dòng)線速度的【解析】選A。由于雙星靠相互間的萬有引力提供向心力,它們的向心力大小相等,角速度相等,由F=mω2r知,甲、乙的軌道半徑與質(zhì)量成反比,即r乙=,所以若干年后,該雙星系統(tǒng)中甲做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑增大為nr,則乙做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑增大為,根據(jù)萬有引力定律知F=G,L=nr+,所以恒星甲做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為F=G,故A錯(cuò)誤,C正確;對(duì)甲恒星,由F=mr,知F變小,r變大,則T變大,故B正確;由v=rω知,恒星乙做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為恒星甲做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小的,故D正確。6.衛(wèi)星發(fā)射進(jìn)入預(yù)定軌道往往需要進(jìn)行多次軌道調(diào)整。如圖所示,某次發(fā)射任務(wù)中先將衛(wèi)星送至近地軌道,然后再控制衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道。圖中O點(diǎn)為地心,A點(diǎn)是近地軌道和橢圓軌道的交點(diǎn),遠(yuǎn)地點(diǎn)B離地面高度為6R(R為地球半徑)。設(shè)衛(wèi)星在近地軌道運(yùn)動(dòng)的周期為T,下列對(duì)衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的分析,其中正確的是 (　　)A.控制衛(wèi)星從圖中低軌道進(jìn)入橢圓軌道需要使衛(wèi)星減速B.衛(wèi)星通過A點(diǎn)時(shí)的速度是通過B點(diǎn)時(shí)速度的6倍C.衛(wèi)星通過A點(diǎn)時(shí)的加速度是通過B點(diǎn)時(shí)加速度的6倍D.衛(wèi)星從A點(diǎn)經(jīng)4T的時(shí)間剛好能到達(dá)B點(diǎn)【解析】選D。控制衛(wèi)星從圖中低軌道進(jìn)入橢圓軌道需要使衛(wèi)星加速,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律可得:vA·R=vB·(6R+R),則衛(wèi)星通過A點(diǎn)時(shí)的速度是通過B點(diǎn)時(shí)速度的7倍,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;根據(jù)a=,則==49,則衛(wèi)星通過A點(diǎn)時(shí)的加速度是通過B點(diǎn)時(shí)加速度的49倍,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;根據(jù)開普勒第三定律,=,解得T′=8T,則衛(wèi)星從A點(diǎn)經(jīng)4T的時(shí)間剛好能到達(dá)B點(diǎn),選項(xiàng)D正確;故選D。二、非選擇題(18分,要有必要的文字說明和解題步驟,有數(shù)值計(jì)算的要注明單位)7.如圖所示,兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)同方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),地球半徑為R,a衛(wèi)星離地面高度為R,b衛(wèi)星離地面高度為3R,則a、b兩衛(wèi)星周期之比為多大?若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面上同一點(diǎn)的正上方,a衛(wèi)星至少經(jīng)過多少個(gè)周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)?【解析】萬有引力等于向心力,G=m()2r得T=,T∝====某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面上同一點(diǎn)的正上方,相當(dāng)于兩衛(wèi)星從同一半徑上的兩點(diǎn)開始出發(fā),當(dāng)兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度之差φa-φb=π時(shí),兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)。因?yàn)?/span>φ=ωt則ωat-ωbt=π()t-()t=π,所以t=分子分母同除以Tb,得t===Ta=0.77Ta。即經(jīng)過0.77個(gè)周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)。答案:∶4　0.77(15分鐘　40分)8.(7分)“雙星體系”由兩顆相距較近的恒星組成,每個(gè)恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩個(gè)星球之間的距離,而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體。如圖所示,相距為L(zhǎng)的A、B兩恒星繞共同的圓心O做圓周運(yùn)動(dòng),A、B的質(zhì)量分別為m1、m2,周期均為T。若有間距也為L(zhǎng)的雙星C、D,C、D的質(zhì)量分別為A、B的兩倍,則????????????? (　　)A.A、B運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比為　B.A、B運(yùn)動(dòng)的速率之比為C.C運(yùn)動(dòng)的速率為A的2倍D.C、D運(yùn)動(dòng)的周期均為T【解析】選D。對(duì)于雙星A、B,有G=m1()2r1=m2()2r2,r1+r2=L,得r1=L,r2=L,T=2πL,A、B運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比為=,A錯(cuò)誤;由v=得,A、B運(yùn)動(dòng)的速率之比為==,B錯(cuò)誤;C、D運(yùn)動(dòng)的周期T′=2πL=T,D正確;C的軌道半徑r1′=L=r1,C運(yùn)動(dòng)的速率為v1′==v1,C錯(cuò)誤。9.(7分)(多選)科學(xué)家通過歐航局天文望遠(yuǎn)鏡在一個(gè)河外星系中,發(fā)現(xiàn)了一對(duì)相互環(huán)繞旋轉(zhuǎn)的超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng),如圖所示。這也是天文學(xué)家首次在正常星系中發(fā)現(xiàn)超大質(zhì)量雙黑洞。這對(duì)驗(yàn)證宇宙學(xué)與星系演化模型、廣義相對(duì)論在極端條件下的適應(yīng)性等都具有十分重要的意義。若圖中雙黑洞的質(zhì)量分別為M1和M2,雙黑洞間距離為L(zhǎng),它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),引力常量為G。根據(jù)所學(xué)知識(shí),下列選項(xiàng)正確的是????????????? (　　)A.雙黑洞的軌道半徑之比r1∶r2=M2∶M1B.雙黑洞的線速度之比v1∶v2=M1∶M2C.雙黑洞的向心加速度之比a1∶a2=M1∶M2D.它們的運(yùn)動(dòng)周期為T=2π【解析】選A、D。雙黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供,向心力大小相等,由G=M1r1ω2=M2r2ω2,得雙黑洞的軌道半徑之比r1∶r2=M2∶M1,選項(xiàng)A正確;由v=ωr得雙黑洞的線速度之比v1∶v2=r1∶r2=M2∶M1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;由a=ω2r得雙黑洞的向心加速度之比為a1∶a2=r1∶r2=M2∶M1,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由G=M1r1()2、G=M2r2()2和r1+r2=L得T=2π,選項(xiàng)D正確。10.(7分)(多選)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\(yùn)行到某地外行星和太陽之間,且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象,天文學(xué)稱為“行星沖日”。據(jù)報(bào)道,2014年各行星沖日時(shí)間分別是:1月6日木星沖日;4月9日火星沖日;5月11日土星沖日;8月29日海王星沖日;10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑如表所示。則下列判斷正確的是????????????? (　　) 地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都會(huì)出現(xiàn)沖日現(xiàn)象B.在2015年內(nèi)一定會(huì)出現(xiàn)木星沖日C.天王星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔為土星的一半D.地外行星中,海王星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔最短【解析】選B、D。本題以“行星沖日”為背景考查了圓周運(yùn)動(dòng)的“相遇”問題。由題意可知地球的軌道半徑r地=1.0 AU,公轉(zhuǎn)周期T 地=1年。由開普勒第三定律=k可知T行=·T地=年,根據(jù)“相遇”時(shí)轉(zhuǎn)過的角度之差Δθ=2nπ及Δω=可知相鄰沖日時(shí)間間隔為t,則(-)t=2π,即t==,又T火=年,T木=年,T土=年,T天=年,T海=年,代入上式得t>1年,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;木星沖日時(shí)間間隔t木=年<2年,所以選項(xiàng)B正確;由以上公式計(jì)算t土≠2t天,t海最小,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)D正確。11.(19分)發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí),可認(rèn)為先將衛(wèi)星發(fā)射至距地面高度為h1的圓形近地軌道上,在衛(wèi)星經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火(噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)工作)實(shí)施變軌進(jìn)入橢圓軌道,橢圓軌道的近地點(diǎn)為A,遠(yuǎn)地點(diǎn)為B。在衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火實(shí)施變軌,將衛(wèi)星送入同步軌道(遠(yuǎn)地點(diǎn)B在同步軌道上),如圖所示。兩次點(diǎn)火過程都是使衛(wèi)星沿切向方向加速,并且點(diǎn)火時(shí)間很短。已知同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T,地球的半徑為R,地球表面重力加速度為g,求:(1)衛(wèi)星在近地圓形軌道運(yùn)行接近A點(diǎn)時(shí)的加速度大小;(2)衛(wèi)星在橢圓形軌道上運(yùn)行接近A點(diǎn)時(shí)的加速度大小;(3)衛(wèi)星同步軌道距地面的高度。【解析】(1)設(shè)地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星質(zhì)量為m,萬有引力常量為G,衛(wèi)星在近地圓形軌道運(yùn)動(dòng)接近A點(diǎn)時(shí)加速度為aA,根據(jù)牛頓第二定律G=maA,可認(rèn)為物體在地球表面上受到的萬有引力等于重力G=mg。解得aA=。(2)根據(jù)牛頓第二定律F萬=ma得:加速度a=。(3)設(shè)同步軌道距地面高度為h2,根據(jù)牛頓第二定律有:G=m(R+h2),由上式解得:h2=-R。答案:(1)　(2)　(3)-R 

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