(25分鐘 60分)
一、單項選擇題(本題共6小題,每小題5分,共30分)
1.一艘小船在靜水中的速度為3 m/s,渡過一條寬150 m,水流速度為4 m/s的河流,則該小船 ( )
A.能到達正對岸
B.以最短時間渡河時,沿水流方向的位移大小為200 m
C.渡河的時間可能少于50 s
D.以最短位移渡河時,位移大小為150 m
【解析】選B。當船在靜水中的速度垂直河岸時渡河時間最短:tmin==50 s,故C錯誤;船以最短時間50 s渡河時沿河岸的位移:x=v水tmin=4×50 m=200 m,即到對岸時被沖下200 m,故B正確;因為船在靜水中的速度小于河水的流速,由平行四邊形定則求合速度不可能垂直河岸,小船不可能垂直河岸到達正對岸,所以最短位移大于河的寬度即大于150 m,故A、D錯誤,故選B。
2.如圖所示,一條小船位于200 m 寬的河正中A點處,從這里向下游100 m處有一危險區(qū),當時水流速度為4 m/s。為了使小船避開危險區(qū)沿直線到達對岸,小船在靜水中的速度至少是( )
A. m/s B. m/s
C.2 m/s D.4 m/s
【解析】選C。為恰好使小船避開危險區(qū),小船應沿直線AB到達對岸,如圖所示,則有tanθ===,所以θ=30°。當船頭與AB垂直時,小船在靜水中的速度最小,最小速度為v1=v2sinθ=2 m/s,故C正確。
3.如圖所示,一條兩岸平行的河流,水以一定的速度沿河岸的方向勻速流動,一條小船在靜水中的速度為v。若船從A點出發(fā),船頭分別沿航線1、2方向行駛到對岸,已知航行方向與河岸的垂線方向夾角相等,兩次航行時間分別為t1、t2,則下列說法正確的是( )
A.t1>t2 B.t1=t2 C.t1v1 C.v2≠0 D.v2=0
【解析】選D。把A上升的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向的速度,而沿繩子方向的速度與B的速度相等。如圖所示,A的速度為v,可看成是合速度,其分速度分別是va、vb,其中va就是B的速度(同一根繩子,大小相同),當A環(huán)上升至與定滑輪的連線處于水平位置時,va=0,所以B的速度v2=0,故選D。
6.如圖所示,水平面上固定一個與水平面夾角為θ的斜桿A,另一豎直桿B以速度v水平向左做勻速直線運動,則從兩桿開始相交到最后分離的過程中,兩桿交點P的速度方向和大小分別為( )
A.水平向左,大小為v
B.豎直向上,大小為vtanθ
C.沿A桿斜向上,大小為
D.沿A桿斜向上,大小為vcsθ
【解析】選C。兩桿的交點P參與了兩個分運動:與B桿一起以速度v水平向左的勻速直線運動和沿B桿豎直向上的勻速運動,交點P的實際運動方向沿A桿斜向上,如圖所示,則交點P的速度大小為vP=,故C正確。
二、非選擇題(本題共2小題,共30分,要有必要的文字說明和解題步驟,有數(shù)值計算的要注明單位)
7.(14分)如圖所示,一人站在岸上,利用繩和定滑輪拉船靠岸,在某一時刻繩的速度為v,繩AO段與水平面的夾角為θ,OB段與水平面的夾角為α,不計摩擦和輪的質(zhì)量,則此時小船的速度多大?
【解析】小船的運動引起了繩子的收縮以及繩子繞定滑輪轉(zhuǎn)動的效果,所以將小船的運動分解到繩子收縮的方向和垂直于繩子的方向,分解如圖所示,則由圖可知vA=。
答案:
8.(16分)如圖所示,桿AB沿墻滑下,當桿與水平面的夾角為α,B端的滑動速度為vB時,求A端的滑動速度vA的大小。
【解析】將桿A、B兩端點的速度進行分解,使其一個分量沿桿的方向,另一個分量垂直于桿的方向,利用沿桿方向的分速度相等即可求解。
如圖所示,由于v′A=vAsin α,v′B=vBcs α。
利用v′A=v′B得vAsinα=vBcsα,所以vA=vBctα。
答案:vBctα
(15分鐘 40分)
9.(6分)(多選)小河寬為d,河水中各點水流速度與各點到較近河岸的距離成正比,v水=kx,k=,x是各點到近岸的距離,小船船頭垂直河岸渡河,小船劃水速度為v0,則下列說法中正確的是 ( )
A.小船渡河時的軌跡為直線
B.小船渡河時的軌跡為曲線
C.小船到達距河對岸處,船的渡河速度為v0
D.小船到達距河對岸處,船的渡河速度為v0
【解析】選B、C。小船在沿河岸方向上做變速直線運動,在垂直于河岸方向上做勻速直線運動,合加速度的方向與合速度方向不在同一條直線上,做曲線運動,故B正確,A錯誤;小船到達距河對岸處,水流速為v水=kd=v0,則v==v0,故C正確;小船到達距河對岸處,水流速度為v水=(d-)=v0,則船的速度v==v0,故D錯誤。
10.(6分)如圖所示,一輛貨車利用跨過光滑定滑輪的輕質(zhì)纜繩提升一箱貨物,已知貨箱的質(zhì)量為M,貨物的質(zhì)量為m,貨車以速度v向左做勻速直線運動,在將貨物提升到圖示的位置時,下列說法正確的是 ( )
A.貨箱向上運動的速度大于v
B.纜繩中的拉力FT等于(M+m)g
C.貨箱向上運動的速度等于vcsθ
D.貨物對貨箱底部的壓力等于mg
【解析】選C。將貨車的速度進行正交分解,如圖所示。由于繩子不可伸長,貨箱和貨物整體向上運動的速度和貨車速度沿著繩子方向的分量相等,有v1=vcsθ,故C正確;由于θ不斷減小,v1不斷增大,故貨箱和貨物整體向上做加速運動,加速度向上,速度大小小于v,拉力大于(M+m)g,故A、B錯誤;貨箱和貨物整體向上做加速運動,加速度向上,屬于超重,故箱中的貨物對箱底的壓力大于mg,D錯誤。
11.(6分)如圖所示,有一豎直放置的“T”形架,表面光滑,滑塊A、B分別套在水平桿與豎直桿上,A、B用一不可伸長的輕繩相連,A、B質(zhì)量相等,且可看成質(zhì)點。開始時輕繩水平伸直,A、B靜止,由靜止釋放B后,當輕繩與豎直方向的夾角為60°時,B沿著豎直桿下滑的速度為v,則A的速度為 ( )
A.v B.v C.v D.v
【解析】選D。A、B的速度分解如圖所示,
B沿輕繩方向上的分速度為:v1=vcs 60°,A沿輕繩方向上的分速度為:
vA1=vAsin 60°,因為v1=vA1,則有:vA=v=v,故D正確,A、B、C錯誤。
12.(22分)小船勻速橫渡一條河流,當船頭垂直對岸方向航行時,在出發(fā)后
10 min到達對岸下游120 m處;若船頭保持與河岸成α角向上游航行,出發(fā)后12.5 min到達正對岸。求:
小船在靜水中的速度、河的寬度以及船頭與河岸間的夾角α。
【解析】船頭垂直對岸方向航行時,如圖甲所示。
由x=v2t1得v2== m/s=0.2 m/s。
船頭保持與河岸成α角航行時,如圖乙所示。
由圖甲可得d=v1t1
由圖乙可得v2=v1csα
d=v1t2sinα
聯(lián)立解得α=53°,v1=0.33 m/s,d=200 m。
答案:0.33 m/s 200 m 53°

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