1.線速度:任務(wù)驅(qū)動　勻速轉(zhuǎn)動的砂輪邊緣各點的速度是否相同?提示:各點速度的大小相等,方向不同,各點的速度不相同。
(1)定義:做圓周運動的物體通過的弧長與所用時間_____。(2)定義式:v=_____。(3)單位:____。(4)矢標(biāo)性:線速度是_____,其方向和半徑_____,和圓弧_____。(5)物理意義:描述圓周運動的物體通過_____快慢的物理量。(6)勻速圓周運動:線速度大小處處_____的圓周運動。
2.角速度、周期和轉(zhuǎn)速:任務(wù)驅(qū)動　鐘表上時針和分針分別轉(zhuǎn)動一周所用時間之比是多少?提示:時針轉(zhuǎn)動一周所用時間是12 h,分針轉(zhuǎn)動一周所用時間是1 h,故時針和分針分別轉(zhuǎn)動一周所用時間之比是12∶1。
(1)角速度定義:做圓周運動的物體,半徑轉(zhuǎn)過的_________與所用________之比。(2)角速度定義式:ω=____。(3)角速度單位:_________,符號為______或________。(4)角速度物理意義:描述圓周運動的物體與圓心連線掃過_____快慢的物理量。(5)周期:做勻速圓周運動的物體,轉(zhuǎn)過_____所用的時間,單位是___。(6)轉(zhuǎn)速:物體單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的_____,單位為轉(zhuǎn)每秒或轉(zhuǎn)每分。
3.線速度與角速度的關(guān)系:(1)在圓周運動中,線速度的大小等于角速度大小與半徑的_____。(2)表達(dá)式:v=____。
主題一 描述圓周運動的物理量 任務(wù)1 線速度【生活情境】共享單車給人們出行提供了方便,當(dāng)騎行時,圖中A、B、C三點都做圓周運動。
【問題探究】(1)如果以共享單車車架為參考系,A、B、C三點做圓周運動的快慢相同嗎?如何比較三點運動快慢?提示:不相同?？梢杂梦矬w通過的弧長與所用時間的比值 即線速度來比較三點運動的快慢, 大的運動得快, 小的運動得慢。
(2)線速度是矢量,在圓周運動中線速度的方向有何特點?提示:線速度的方向與半徑垂直,與圓弧相切,方向時刻改變,所以圓周運動是變速運動。(3)做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的位移相同嗎?提示:不一定相同。做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的位移大小相等,但方向可能不同。
(4)勻速圓周運動的線速度是不變的嗎?勻速圓周運動的“勻速”同“勻速直線運動”的“勻速”一樣嗎?提示:質(zhì)點做勻速圓周運動時,線速度的大小不變,方向時刻在變化,因此,勻速圓周運動不是線速度不變的運動,是變速曲線運動。勻速圓周運動中的“勻速”是指速度的大小(速率)不變,應(yīng)該理解成“勻速率”;而“勻速直線運動”中的“勻速”指的是速度不變,是大小、方向都不變。二者并不相同。
任務(wù)2 角速度、周期和轉(zhuǎn)速【生活情境】如圖所示,鐘表上的秒針、分針、時針以不同的角速度做圓周運動。
【問題探究】(1)秒針、分針、時針轉(zhuǎn)動的快慢相同嗎?如何比較它們轉(zhuǎn)動的快慢?提示:不相同。根據(jù)角速度公式ω= 知,在相同的時間內(nèi), 秒針轉(zhuǎn)過的角度最大,時針轉(zhuǎn)過的角度最小,所以秒針轉(zhuǎn)得最快。(2)結(jié)合周期的公式,請指出秒針、分針和時針的周期。提示:秒針周期為60 s,分針周期為60 min,時針周期為12 h。
(3)除了用線速度、角速度來描述圓周運動的快慢外,還可以用哪些物理量來描述圓周運動的快慢?提示:①周期(T),即轉(zhuǎn)動一周所需的時間,周期越長,轉(zhuǎn)動越慢,周期越短,轉(zhuǎn)動越快。②頻率(f),即單位時間內(nèi)運動重復(fù)的次數(shù),頻率大,轉(zhuǎn)動快,頻率小,轉(zhuǎn)動慢。③轉(zhuǎn)速(n),即單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)動的圈數(shù),轉(zhuǎn)速大,轉(zhuǎn)動快,轉(zhuǎn)速小,轉(zhuǎn)動慢。
【結(jié)論生成】1.對線速度的四點理解:(1)線速度是物體做圓周運動的瞬時速度,描述做圓周運動的物體運動的快慢,線速度越大,物體運動得越快。(2)線速度是矢量,它既有大小,又有方向。(3)線速度的大小:v= ,Δs代表弧長。(4)線速度的方向:在圓周各點的切線方向上。
2.角速度的意義及性質(zhì):(1)角速度描述做圓周運動的物體轉(zhuǎn)動的快慢,角速度越大,物體轉(zhuǎn)動得越快。(2)角速度的大小:ω= ,Δθ代表在時間Δt內(nèi),質(zhì)點與圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度。(3)在勻速圓周運動中,角速度大小不變,是恒量。
【典例示范】　關(guān)于做勻速圓周運動的物體,下列說法正確的是(　　)A.因為在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長度相等,所以線速度恒定B.如果物體在0.1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過60°角,則角速度為600 rad/sC.因為v= ,所以線速度與通過的弧長成正比D.若半徑為r,周期為T,則線速度為v=
【解析】選D。因為相等時間內(nèi)通過的弧長相等,所以線速度大小不變,方向沿圓周的切線方向,在不斷地改變,A錯誤;ω= B錯誤;v= 是線速度的定義式,線速度的大小與通過的弧長無必然關(guān)系,C錯誤;若半徑為r,周期為T,則線速度為v= ,故D正確。
【誤區(qū)警示】關(guān)于勻速圓周運動中各物理量的三點注意(1)線速度實際為線速率,即所求瞬時速度的大小。(2)角速度注意單位的計算。(3)周期即為做圓周運動一周所需要的時間。
【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.對于做勻速圓周運動的物體,下列說法中錯誤的是(　　)A.相等的時間內(nèi)通過的路程相等B.相等的時間內(nèi)通過的弧長相等C.相等的時間內(nèi)運動的位移相同D.相等的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相等【解析】選C。做勻速圓周運動的物體在任意相等的時間內(nèi)通過的弧長相等,通過的角度相等,但相等時間段內(nèi)對應(yīng)的位移方向可能不同,故C錯誤。
2.物體以1 rad/s的角速度沿半徑為1 m的圓周做勻速圓周運動,A、B是一條直徑的兩端點,如圖所示,物體從A點運動到B點過程的平均速度大小為 (　　)A.1 m/s　　B. m/sC. m/sD.0.5 m/s
【解析】選B。物體從A點運動到B點,位移大小為2R,時間為半周期 ,依據(jù)平均速度的定義 可求平均速度的大小 m/s,故選項B正確。
【補償訓(xùn)練】　　(多選)甲、乙兩個做勻速圓周運動的質(zhì)點,它們的角速度之比為3∶1,線速度之比為2∶3,那么下列說法中正確的是(　　)A.它們的半徑之比為2∶9　　B.它們的半徑之比為1∶2C.它們的周期之比為2∶3D.它們的周期之比為1∶3【解析】選A、D。由v=ωr,所以r= A對,B錯;由T= T甲∶T乙= D對,C錯。
主題二 線速度和角速度的關(guān)系及三種傳動裝置任務(wù)1 描述圓周運動的各量的關(guān)系【生活情境】線速度、角速度、周期都是用來描述圓周運動快慢的物理量,它們的物理含義不同,但彼此間卻相互聯(lián)系。
【問題探究】(1)線速度與周期、頻率及轉(zhuǎn)速的關(guān)系是什么?提示:物體轉(zhuǎn)動一周的弧長Δs=2πr,轉(zhuǎn)動一周所用時間為T,則v= =2πrf=2πrn。(2)角速度與周期、頻率及轉(zhuǎn)速的關(guān)系是什么?提示:物體轉(zhuǎn)動一周轉(zhuǎn)過的角度為Δθ=2π,用時為T,則ω= =2πf=2πn。
(3)試根據(jù)(1)、(2)兩問題總結(jié)線速度與角速度的關(guān)系式______。
任務(wù)2 三種傳動問題【實驗情境】　如圖為兩種傳動裝置的模型圖:
【問題探究】(1)甲圖為皮帶傳動裝置,試分析A、B兩點的線速度及角速度關(guān)系。(2)乙圖為同軸傳動裝置,試分析A、C兩點的角速度及線速度關(guān)系。提示:(1)皮帶傳動時,在相同的時間內(nèi),A、B兩點通過的弧長相等,所以兩點的線速度大小相同,又因為v=rω,當(dāng)v一定時,角速度與半徑成反比,半徑大的角速度小。(2)同軸傳動時,在相同的時間內(nèi),A、C兩點轉(zhuǎn)過的角度相等,所以這兩點的角速度相同,又因為v=rω,當(dāng)ω一定時,線速度與半徑成正比,半徑大的線速度大。
【結(jié)論生成】1.描述圓周運動各物理量之間的關(guān)系:(1)角速度、周期、轉(zhuǎn)速之間關(guān)系的理解:物體做勻速圓周運動時,由ω= =2πn知,角速度、周期、轉(zhuǎn)速三個物理量,只要其中一個物理量確定了,其余兩個物理量也唯一確定了。(2)線速度與角速度關(guān)系的理解:由v=ωr知,r一定時,v∝ω;v一定時,ω∝ ;ω一定時,v∝r。
2.常見傳動裝置的比較:
【典例示范】如圖所示是一個玩具陀螺。a、b和c是陀螺外表面上的三個點。當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時,下列表述正確的是(　　)A.a、b和c三點的線速度大小相等B.a、b和c三點的角速度相等C.a、b的角速度比c的大D.c的線速度比a、b的大
【解析】選B。a、b和c都是陀螺上的點,其角速度均為ω,故B正確,C錯誤;由題圖可知,a、b和c三點隨陀螺旋轉(zhuǎn)而做圓周運動的半徑關(guān)系是ra=rb>rc,由v=ωr可知,va=vb>vc,故A、D均錯誤。
【規(guī)律方法】求解傳動問題的方法(1)分清傳動特點:①皮帶傳動(輪子邊緣的線速度大小相等)。②同軸傳動(各點角速度相等)。③齒輪傳動(相接觸兩個輪子邊緣的線速度大小相等)。(2)確定半徑關(guān)系:根據(jù)裝置中各點位置確定半徑關(guān)系或根據(jù)題意確定半徑關(guān)系。
(3)用“通式”表達(dá)比例關(guān)系。①同軸傳動的各點角速度ω、轉(zhuǎn)速n和周期T相等,而各點的線速度v=ωr,即v∝r。②在皮帶不打滑的情況下,傳動皮帶和皮帶連接的輪子邊緣各點線速度的大小相等,不打滑的摩擦傳動兩輪邊緣上各點線速度大小也相等,而角速度ω= 即ω∝ 。③齒輪傳動與皮帶傳動具有相同的特點。
【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.如圖所示,兩個小球固定在一根長為l的桿的兩端,繞桿上的O點做圓周運動。當(dāng)小球A的速度為vA時,小球B的速度為vB,則軸心O到小球A的距離是 (　　)A.vA(vA+vB)l　　　B. C. D.
【解析】選B。設(shè)軸心O到小球A的距離為x,因兩小球固定在同一轉(zhuǎn)動桿的兩端,故兩小球做圓周運動的角速度相同,半徑分別為x、l-x。根據(jù)ω= 有: 解得x= ,故正確選項為B。
2.(多選)如圖所示為某一皮帶傳動裝置。主動輪的半徑為r1,從動輪的半徑為r2。已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)速為n,轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑。下列說法正確的是(　　)A.從動輪做順時針轉(zhuǎn)動B.從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動C.從動輪的轉(zhuǎn)速為 nD.從動輪的轉(zhuǎn)速為 n
【解析】選B、C。主動輪順時針轉(zhuǎn)動時,皮帶帶動從動輪逆時針轉(zhuǎn)動,A項錯誤,B項正確;由于兩輪邊緣線速度大小相同,根據(jù)v=2πrn,可得兩輪轉(zhuǎn)速與半徑成反比,所以C項正確,D項錯誤。
3.如圖所示,圓環(huán)以直徑AB為軸勻速轉(zhuǎn)動,已知其半徑R=0.5 m,轉(zhuǎn)動周期T=4 s,求環(huán)上P點和Q點的角速度和線速度。
【解析】P點和Q點的角速度相同,其大小是ω= rad/s=1.57 rad/sP點和Q點繞AB做圓周運動,其軌跡的圓心不同。P點和Q點的圓半徑分別為rP=R·sin30°= R,rQ=R·sin60°= R。故其線速度分別為vP=ω·rP≈0.39 m/s,vQ=ω·rQ=0.68 m/s。答案:1.57 rad/s　0.39 m/s　1.57 rad/s　0.68 m/s
【補償訓(xùn)練】　　如圖所示的皮帶傳動裝置(傳動皮帶是繃緊的且運動中不打滑)中,主動輪O1的半徑為r1,從動輪O2有大小兩輪且固定在同一個軸心O2上,半徑分別為r3、r2,已知r3=2r1,r2=1.5r1,A、B、C分別是三個輪邊緣上的點,則當(dāng)整個傳動裝置正常工作時,A、B、C三點的線速度之比為　　　　;角速度之比為　　　　;周期之比為　　　　。?
【解析】因同一輪子(或固定在同一軸心上的兩輪)上各點的角速度都相等,皮帶傳動(皮帶不打滑)中與皮帶接觸的輪緣上各點在相等時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓弧長度相等,其線速度都相等。故B、C兩點的角速度相等,即ωB=ωC①A、B兩點的線速度相等,即vA=vB②因A、B兩點分別在半徑為r1和r3的輪緣上,r3=2r1。故由ω= 及②式可得角速度ωA=2ωB③由①③式可得A、B、C三點角速度之比為ωA∶ωB∶ωC=2∶1∶1④
因B、C分別在半徑為r3、r2的輪緣上,r2= r1= r3故由v=rω及①式可得線速度vB= vC⑤由②⑤式可得A、B、C三點線速度之比為vA∶vB∶vC=4∶4∶3⑥由T= 及④式可得A、B、C三點的周期之比為TA∶TB∶TC=1∶2∶2答案:4∶4∶3　2∶1∶1　1∶2∶2
1.(多選)如圖所示,在風(fēng)力發(fā)電機的葉片上有A、B、C三點,其中A、C在葉片的端點,B在葉片的中點。當(dāng)葉片轉(zhuǎn)動時,這三點(　　)A.線速度大小都相等　　　　　B.線速度方向都相同C.角速度大小都相等D.周期都相等【解析】選C、D。首先A、B、C屬于同軸轉(zhuǎn)動,故它們的角速度、周期都相等,故C、D正確;由v=ωr知,它們的半徑r不相等,故線速度的大小不相等,故A錯誤;由于是做圓周運動,故線速度的方向沿切線方向,故B錯誤。
2.(多選)質(zhì)點做勻速圓周運動時,下列說法正確的是(　　)A.因為v=rω,所以線速度v與軌道半徑r成正比B.因為ω= ,所以角速度ω與軌道半徑r成反比C.因為ω=2πn,所以角速度ω與轉(zhuǎn)速n成正比D.因為ω= ,所以角速度ω與周期T成反比【解析】選C、D。根據(jù)v=rω可知在ω一定時,線速度v與軌道半徑r成正比,A錯誤;根據(jù)ω= 可知,在v一定時,角速度ω與軌道半徑r成反比,B錯誤;根據(jù)ω=2πn可知角速度ω與轉(zhuǎn)速n成正比,C正確;根據(jù)ω= 可知角速度ω與周期T成反比,D正確。
【補償訓(xùn)練】　　如圖所示為一種早期的自行車,這種不帶鏈條傳動的自行車前輪的直徑很大,這樣的設(shè)計在當(dāng)時主要是為了(　　)A.提高速度　　　　B.提高穩(wěn)定性C.騎行方便D.減小阻力【解析】選A。在騎車人腳蹬車輪,轉(zhuǎn)速一定的情況下,據(jù)公式v=ωr知,輪子半徑越大,車輪邊緣的線速度越大,車行駛得也就越快,故A選項正確。
3.如圖所示,蹺蹺板的支點位于板的中點,A、B兩小孩距離支點一遠(yuǎn)一近。在翹動的某一時刻,A、B兩小孩重心的線速度大小分別為vA、vB,角速度大小分別為ωA、ωB,則(　　)A.vA≠vB,ωA=ωB　　　B.vA=vB,ωA≠ωBC.vA=vB,ωA=ωBD.vA≠vB,ωA≠ωB【解析】選A。因為兩小孩繞同一點轉(zhuǎn)動,故角速度相同,即ωA=ωB;由于兩小孩的轉(zhuǎn)動半徑不等,根據(jù)v=ωr,可知vA≠vB,選項A正確。
4.如圖所示,兩個摩擦傳動的輪子,A為主動輪,轉(zhuǎn)動的角速度為ω。已知A、B輪的半徑分別是R1和R2,C點離圓心的距離為 ,求C點處的角速度和線速度。
【解析】A、B兩輪邊緣的線速度相等,設(shè)為v,則有v=ωR1=ωBR2,又ωC=ωB,故ωC= ω,vC=ωC = ω。答案: ω　 ω

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