第1講　函數(shù)圖象與性質(zhì)
高考定位　1.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域、值域、最值、奇偶性、單調(diào)性和周期性；2.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質(zhì)，能用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；3.函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想是高考的重要思想方法.
1.(2020·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)(　　)
3.(2020·新高考山東、海南卷)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿(mǎn)足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(　　)
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示.
當(dāng)x≤0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x＞0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿(mǎn)足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].故選D.答案　D
4.(2019·全國(guó)Ⅱ卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.答案　－3
(1)對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換.(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、值域、零點(diǎn)時(shí)，要注意結(jié)合其圖象研究.(3)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性①若函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)；②若函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng).
(1)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì).證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號(hào)和下結(jié)論.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則.(2)奇偶性：①若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x).②若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)＝0.③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性.
(3)周期性：①若y＝f(x)對(duì)x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，則y＝f(x)是周期為2a的周期函數(shù).②若y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù).③若y＝f(x)是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù).
答案　(1)B　(2)D
探究提高　1.(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的集合，只需構(gòu)建不等式(組)求解即可.(2)抽象函數(shù)：根據(jù)f(g(x))中g(shù)(x)的范圍與f(x)中x的范圍相同求解.2.對(duì)于分段函數(shù)求值或解不等式問(wèn)題，一定要根據(jù)變量的取值條件進(jìn)行分段討論.
熱點(diǎn)二　函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】 (1)(2020·浙江卷)函數(shù)y＝xcs x＋sin x在區(qū)間[－π，π]上的圖象可能是(　　)
解析　(1)因?yàn)閒(x)＝xcs x＋sin x，則f(－x)＝－xcs x－sin x＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則C，D錯(cuò)誤.且x＝π時(shí)，y＝πcs π＋sin π＝－π＜0，知B錯(cuò)誤，只有A滿(mǎn)足.
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，需滿(mǎn)足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.答案　(1)A　(2)D
探究提高　1.函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì).(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).2.(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問(wèn)題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì).(2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究.
(2)(2020·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)＞0的解集是(　　)A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的圖象如圖.由圖象得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等價(jià)于2x＞x＋1，結(jié)合圖象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞).故選D.答案　(1)B　(2)D
熱點(diǎn)三　函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1　函數(shù)的周期性、奇偶性【例3】 (1)(2020·淄博二模)偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x2＋1，則f(2 020)＝(　　)
A.2 B.0 C.－1 D.1(2)(多選題)(2020·淄博質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋1)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A.f(7)＝0B.f(x)的一個(gè)周期為8C.f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(3，0)D.f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2 019
解析　(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝0對(duì)稱(chēng)，又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，∴f(x)的周期T＝4|1－0|＝4.∴f(2 020)＝f(2 020－4×505)＝f(0)，又當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x2＋1.故f(2 020)＝f(0)＝1.
(2)依題意知，直線(xiàn)x＝1是f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，(－1，0)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，又因?yàn)閒(x＋1)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝f(－x＋2)，f(x)＝－f(－x－2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－8)，所以f(x)是周期函數(shù)，且8為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，故B正確；f(7)＝f(－1)＝0，故A正確；因?yàn)閒(x)圖象上每隔4個(gè)單位長(zhǎng)度出現(xiàn)一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以點(diǎn)(3，0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；x＝2 019＝8×252＋3，所以直線(xiàn)x＝2 019不是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故D錯(cuò)誤，故選ABC.答案　(1)D　(2)ABC
A.c＞b＞a B.a＞b＞cC.c＞a＞b D.a＞c＞b(2)(2020·東北三省三校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)對(duì)于任意x∈[1，2]恒成立，則a的最大值為_(kāi)_______.
且31.2＞3，1＝lg33＜lg35＜lg327＝3，0＜3－0.2＜1，即31.2＞lg35＞3－0.2＞0，所以f(31.2)＞f(lg35)＞f(3－0.2)，即a＞c＞b.(2)由于f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(－x)，且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，可知f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∵f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.
根據(jù)f(x)的圖象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，
答案　(1)D　(2)－1
探究提高　1.利用函數(shù)的奇偶性和周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.2.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用：可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性.
【訓(xùn)練3】 (1)(2020·貴陽(yáng)調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(lg220)＝(　　)
(2)(多選題)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)＝lg2(x＋1)，下列命題正確的是(　　)A.f(2 019)＋f(－2 020)＝0B.函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的函數(shù)C.直線(xiàn)y＝x與函數(shù)f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1，1)
解析　(1)依題意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.又2＜lg25＜3，則－1＜2－lg25＜0，所以f(lg220)＝f(2＋lg25)＝f(lg25－2)
(2)根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)＝lg2(x＋1)，又由f(x)為奇函數(shù)，則f(x)的部分圖象如圖.對(duì)于A，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋1)＝－f(x)，則f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x).當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)＝lg2(x＋1)，則f(0)＝lg21＝0，f(1)＝－f(0)＝0，

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