第1講　空間幾何體的表面積和體積
高考定位　簡單幾何體的表面積與體積計算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計算作為其中的一問.
1.(2020·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為(　　)
A.64π B.48π C.36π D.32π
2.(2020·全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.
4.(2019·全國Ⅱ卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖①).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖②是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有________個面，其棱長為________.
1.空間幾何體的兩組常用公式
(1)柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：①圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；②圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；③圓臺的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面積S＝4πR2.
答案　(1)B　(2)AB
探究提高　1.求空間幾何體的表面積，首先要掌握幾何體的表面積公式，其次把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則的幾何體.2.(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.
【訓(xùn)練1】 (1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　)
(2)因為△ABC為等邊三角形，邊長為6，點(diǎn)A為CD的中點(diǎn)，所以AD＝AB＝6，所以△ADB為等腰三角形.又∠DAB＝180°－∠CAB＝120°，
探究提高　1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.
【訓(xùn)練2】 (1)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　)
(2)(2020·東北三校一聯(lián))如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，則四面體ABEF的體積為(　　)
(2)∵ED⊥平面ABCD且AD?平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.
熱點(diǎn)三　多面體與球的切、接問題【例3】 (1)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　)
(2)在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐P－ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，設(shè)該陽馬的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則R＝________；內(nèi)切球的體積V＝________.
解析　(1)由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.
∴2r＝4＞3不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.
探究提高　1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C且PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.

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