考點(diǎn)規(guī)范練13　函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固1.某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%,專家預(yù)測(cè)經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為(　　)答案:D解析:由題意可得y=(1+10.4%)x,函數(shù)是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù),故選D.2.某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái),第二個(gè)月銷售200臺(tái),第三個(gè)月銷售400臺(tái),第四個(gè)月銷售790臺(tái),則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)系的是(　　)A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100答案:C解析:根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知,應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型.3.已知某矩形廣場(chǎng)的面積為4萬平方米,則其周長至少為(　　)A.800米 B.900米C.1 000米 D.1 200米答案:A解析:設(shè)這個(gè)廣場(chǎng)的長為x米,則寬為米.故其周長為l=2≥800,當(dāng)且僅當(dāng)x=200時(shí)取等號(hào).4.一塊銳角三角形空地如圖所示,欲在其中建一個(gè)面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是(　　)A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]答案:C解析:設(shè)矩形的另一邊長為ym,則由三角形相似知,,∴y=40-x.∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.5.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是(　　)A.100臺(tái) B.120臺(tái)C.150臺(tái) D.180臺(tái)答案:C解析:設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,故生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量是150臺(tái).6.某房地產(chǎn)公司計(jì)劃出租70套相同的公寓房.當(dāng)每套房月租金定為3 000元時(shí),這70套公寓能全租出去;當(dāng)月租金每增加50元時(shí)(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會(huì)多一套房子租不出去.設(shè)租出的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)租不出去的房子不需要花這些費(fèi)用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應(yīng)定為(　　)A.3 000元 B.3 300元C.3 500元 D.4 000元答案:B解析:由題意,設(shè)利潤為y元,租金定為(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),則y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204800,當(dāng)且僅當(dāng)58+x=70-x,即x=6時(shí),等號(hào)成立,故每月租金定為3000+300=3300(元)時(shí),公司獲得最大利潤,故選B.7.某位股民購進(jìn)某只股票,在接下來的交易時(shí)間內(nèi),他的這只股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為(　　)A.略有盈利  B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法判斷盈虧情況答案:B解析:設(shè)該股民購這只股票的價(jià)格為a元,則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(1+10%)n=a×1.1n元,經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故該股民這只股票略有虧損.8.根據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與最接近的是(　　)(參考數(shù)據(jù):lg 3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案:D解析:設(shè)=x=,兩邊取對(duì)數(shù),得lgx=lg=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即與最接近的是1093.故選D.9.一個(gè)人以6 m/s的速度去追趕停在交通燈前的汽車,當(dāng)他離汽車25 m時(shí)交通燈由紅變綠,汽車開始變速直線行駛(汽車與人前進(jìn)方向相同),汽車在時(shí)間t內(nèi)的路程為s=t2 m,則此人(　　)A.可在7 s內(nèi)追上汽車B.可在9 s內(nèi)追上汽車C.不能追上汽車,但期間最近距離為14 mD.不能追上汽車,但期間最近距離為7 m答案:D解析:已知s=t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.當(dāng)t=6時(shí),d取得最小值7.結(jié)合選項(xiàng)可知選D.10.(2020全國Ⅲ,文4)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic 模型:I(t)=,其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,則t*約為(ln 19≈3)(　　)A.60 B.63 C.66 D.69答案:C解析:由=0.95K,得,兩邊取以e為底的對(duì)數(shù),得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.11.已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì)).如果他在t4時(shí)刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是(　　)A.40萬元 B.60萬元C.120萬元 D.140萬元答案:C解析:甲6元時(shí)該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),在t2時(shí)刻全部賣出,此時(shí)獲利20×2=40(萬元),乙4元時(shí)該商人全部買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),在t4時(shí)刻全部賣出,此時(shí)獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C.12.設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn).分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是　　　　　. 答案:16解析:由題意,分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t(萬元),分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100-x)(1+1.2x%)t,則解得0<x≤.因?yàn)?/span>x∈N*,所以x的最大值為16.能力提升13.某食品的保鮮時(shí)間y(單位:h)與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時(shí)間是192 h,在22 ℃的保鮮時(shí)間是48 h,則該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是(　　)A.16 h B.20 h C.24 h D.28 h答案:C解析:由題意,得(0,192)和(22,48)是函數(shù)y=ekx+b圖象上的兩個(gè)點(diǎn),所以由②得,48=e22k·eb,③把①代入③得e22k=,即(e11k)2=,所以e11k=.所以當(dāng)儲(chǔ)藏溫度為33℃時(shí),保鮮時(shí)間y==(e11k)3·eb=×192=24(h).14.“好酒也怕巷子深”,許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R=a(a為常數(shù)),廣告效應(yīng)為D=R-A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng),投入的廣告費(fèi)應(yīng)為　　　　　.(用常數(shù)a表示) 答案:a2解析:令t=(t≥0),則A=t2,∴D=a-A=at-t2=-a2,∴當(dāng)t=a,即A=a2時(shí),D取得最大值.15.為了在“十一”黃金周期間降價(jià)搞促銷,某超市對(duì)顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng),規(guī)定一次購物付款總額:①若不超過200元,則不予優(yōu)惠;②若超過200元,但不超過500元,則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠;③若超過500元,則其中500元按第②條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.辛云和她母親兩次去購物,分別付款168元和423元,假設(shè)他們一次性購買上述同樣的商品,則應(yīng)付款額為　　　　　　　　. 答案:546.6元解析:依題意,價(jià)值為x元的商品和實(shí)際付款額f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=當(dāng)f(x)=168時(shí),由168÷0.9≈187<200,故此時(shí)x=168;當(dāng)f(x)=423時(shí),由423÷0.9=470∈(200,500],故此時(shí)x=470.故兩次共購得價(jià)值為470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性購買上述商品,應(yīng)付款額為546.6元.16.某商家推行親子款十二生肖紀(jì)念章.通過市場(chǎng)調(diào)查,得到該紀(jì)念章每枚的市場(chǎng)價(jià)y(單位:元)與上市時(shí)間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:上市時(shí)間x/天41036市場(chǎng)價(jià)y/元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),為描述親子款十二生肖紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系,從下列函數(shù)中選取一個(gè)最佳的函數(shù)模型是　　　　　. ①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你選取的函數(shù),求親子款十二生肖紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市時(shí)間及最低價(jià)格.(3)設(shè)你選取的函數(shù)為y=f(x),若對(duì)任意實(shí)數(shù)k,方程f(x)=kx+2m+120恒有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.解:(1)由于市場(chǎng)價(jià)y隨上市時(shí)間x的增大而先減小后增大,而模型①③均為單調(diào)函數(shù),不符合題意,故選擇二次函數(shù)模型②.(2)由表中數(shù)據(jù)可知解得∴函數(shù)模型為y=x2-10x+126=(x-20)2+26.∴當(dāng)市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市時(shí)間為20天,最低價(jià)格為26元.(3)∵f(x)=x2-10x+126=kx+2m+120,∴x2-(10+k)x+6-2m=0恒有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,即-2m<k2+20k+94.∵k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,∴-2m<-6,∴m>3.故m的取值范圍是(3,+∞).高考預(yù)測(cè)17.如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B,頂點(diǎn)C,D位于第一象限,直線l:x=t(0≤t≤)將正方形ABCD分成兩部分,記位于直線l左側(cè)陰影部分的面積為f(t),則函數(shù)s=f(t)的圖象大致是(　　)答案:C解析:依題意得s=f(t)=分段畫出函數(shù)的圖象可得圖象如選項(xiàng)C所示,故選C.

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