人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》單元測(cè)試卷（較易）（含答案解析）

這是一份人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》單元測(cè)試卷（較易）（含答案解析），共17頁。
人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》單元測(cè)試卷考試范圍：第三章；考試時(shí)間：120分鐘；總分150分學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________注意事項(xiàng):
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，過作傾斜角為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若垂直于軸，則橢圓的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為(    )A.  B.  C.  D. 已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與曲線的右支交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 直線：與雙曲線：的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為(    )A. 或 B.
C.  D. 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，離心率為，則該雙曲線的方程為(    )A.  B.  C.  D. 如圖所示，已知拋物線過點(diǎn)，圓，過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為(    )A.
B.
C.
D. 已知拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則到直線的距離為(    )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，則等于(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過交于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則(    )A. 橢圓焦距為 B. 橢圓方程為
C. 弦長(zhǎng) D. 多選已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 若，則的離心率為
B. 若的離心率為，則
C. 若，為的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與交于點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為
D. 若，分別為的左、右頂點(diǎn)，為上異于點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，則，的斜率之積為已知雙曲線，則(    )A. 的焦距為
B. 的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍
C. 雙曲線與的漸近線相同
D. 直線上存在一點(diǎn)在上已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則(    )A.  B.
C.  D. 的坐標(biāo)為第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為圓心，為半徑的圓與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若直線過點(diǎn)，則的值為________．設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，，兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限．若，則的面積為________．已知拋物線，過焦點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為          ．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若以線段的中點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓恰好與拋物線的準(zhǔn)線相切，則直線的方程為________． 四、解答題（本大題共6小題，共70.0分） 已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．求橢圓的方程；若直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、，求．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在橢圓上．
Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
Ⅱ若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且短軸長(zhǎng)是長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半．求橢圓的方程；經(jīng)過點(diǎn)作直線，交橢圓于、兩點(diǎn)．如果恰好是線段的中點(diǎn)，求直線的方程．已知雙曲線 的漸近線方程為，且雙曲線 過點(diǎn)．求雙曲線 的方程；
若直線 與雙曲線 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的值．已知雙曲線：的離心率為，虛軸長(zhǎng)為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；若過點(diǎn)，傾斜角為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．如圖，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，均在拋物線上．

求拋物線的方程；
若的平分線垂直于軸，證明直線的斜率為定值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
在中，建立關(guān)于、的方程，即可得到的值．【解答】解：如圖所示，

在中，，，
，，
又，則，
故本題選A．  2.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題．
利用橢圓的定義，的周長(zhǎng)為，即可求解，得到答案．【解答】解：由題意，橢圓的半長(zhǎng)軸為，
所以的周長(zhǎng)為，
故選：．  3.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了雙曲線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時(shí)，即可求出三角形的周長(zhǎng)的最小值．【解答】解：由雙曲線可知：，，的周長(zhǎng)為．當(dāng)軸時(shí)，的周長(zhǎng)最小值為．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
直線：與雙曲線：的漸近線平行時(shí)，，與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合題意，即可得出結(jié)論．【解答】解：直線：與雙曲線：的漸近線平行時(shí)，，與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，
直線：與雙曲線：的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，
的取值范圍為，
故選D．  5.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)焦距求得，利用離心率求得，則可求得，即可求得雙曲線的方程．【解答】解：由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)殡p曲線的焦距為，則，所以，
又雙曲線的離心率為，所以，
則，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故本題選B．  6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)代入拋物線方程，求得拋物線方程，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，求得，于是，根據(jù)基本不等式，即可求得結(jié)果．
【解答】
解：設(shè)拋物線的方程：，則，則，
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)坐標(biāo)，
由直線過拋物線的焦點(diǎn)，則，
圓：圓心為，半徑，
所以
，
的最小值為．
故選D．  7.【答案】 【解析】【分析】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了利用點(diǎn)差法求斜率，屬于基礎(chǔ)題．
首先求出直線的方程與點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)到直線的距離求解即可．【解答】解：到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，設(shè)、，，，兩式相減可得，即，直線的方程為：，，故選B．  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程．
根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)及準(zhǔn)線，再利用定義即可求解．
【解答】
解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．
根據(jù)題意可得，．
故選B．  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查橢圓定義的應(yīng)用，直線與橢圓位置關(guān)系，橢圓中的弦長(zhǎng)及面積問題，屬基礎(chǔ)題．
依題意，，可判斷，根據(jù)橢圓定義得，，進(jìn)而求得，判斷，
聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得，可判斷，求出到直線的距離，計(jì)算三角形的面積，可判斷．【解答】解：直線過，得，即，橢圓焦距為，故A錯(cuò)誤；
的周長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓定義得的周長(zhǎng)為，所以，得，
所以，所以橢圓方程為，故B正確；
設(shè)
聯(lián)立得，
易得，
，
所以，故C正確；
到直線的距離，
所以故D錯(cuò)誤．
故選BC．  10.【答案】 【解析】【解析】選項(xiàng)A，離心率，若，則，所以不正確選項(xiàng)B，離心率，則，所以B正確選項(xiàng)C，根據(jù)橢圓的定義可知C正確選項(xiàng)D，設(shè)，則，由橢圓方程可知， ，所以 ，所以D正確故選BCD．
 11.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，，所以，，焦距為，A錯(cuò)誤
由，，得，B正確
雙曲線與的漸近線均為，C正確
由，得，即，此方程無解，
所以直線上不存在點(diǎn)在上，D錯(cuò)誤．
故選BC．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的性質(zhì)及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判定，即可求出結(jié)果 
【解答】
解：拋物線：，
所以，
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以不正確；
點(diǎn)在拋物線上，
所以，所以，所以A正確；
將代入拋物線方程，可得，所以不正確；
，所以C正確．
故選AC．
  13.【答案】 【解析】【分析】
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了圓錐曲線中的對(duì)稱性問題和直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可得到右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)圓和橢圓均關(guān)于軸對(duì)稱，得到，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故BC垂直軸，從而得到直線的方程，直線和橢圓聯(lián)立，求出其中一個(gè)交點(diǎn)即可得到．
【解答】
解：依題意，橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
以為圓心的圓關(guān)于軸對(duì)稱，橢圓也關(guān)于軸對(duì)稱，
故圓與橢圓的交點(diǎn)，兩點(diǎn)必然關(guān)于軸對(duì)稱，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，故BC過焦點(diǎn)且與軸垂直，
故直線的方程為，
由
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
圓半徑，
故答案是．  14.【答案】 【解析】【分析】
本題考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系．設(shè)，，根據(jù)得點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡(jiǎn)整理，與的關(guān)系式，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)直線的斜率求得，進(jìn)而求得，進(jìn)而表示出，得到的面積的表達(dá)式，求得面積即可．
【解答】
解：雙曲線的漸近線方程為，設(shè)，，其中，，
由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，整理得．
設(shè)，，．
又，，
．
故答案為．  15.【答案】或 【解析】解：如圖所示，．
，，解得．
代入拋物線方程可得，或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或
故答案為：或
由拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦半徑公式求得的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查拋物線焦半徑公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
設(shè)，，直線的傾斜角為，則可得，
由此解得直線的斜率，進(jìn)而求出答案．
【解答】
解：如圖，
設(shè)，，
設(shè)直線的傾斜角為，過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，
過作的垂線，垂足為，
則根據(jù)拋物線的性質(zhì)得：，
所以，同理得
則．
又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以直線的方程為．
故答案為．  17.【答案】解：根據(jù)題意，橢圓的短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，則有，
又由橢圓的離心率為，則有，
則有，
則，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
設(shè)．
由可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
直線的方程為：，
聯(lián)立，消去得，
則有，
． 【解析】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)可得且，解可得的值，
進(jìn)而計(jì)算可得的值，將、的值代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案；
聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系由弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案．
 18.【答案】解：拋物線的焦點(diǎn)為，故為橢圓的右焦點(diǎn)，
設(shè)橢圓方程為，則
解得或舍去
，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
線段的垂直平分線方程為：，
設(shè)，，
聯(lián)立方程組，消去得：，
，即．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
代入得：，即，
，即，
解得或．
的取值范圍是． 【解析】本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
求出拋物線的焦點(diǎn)，利用待定系數(shù)法列方程得出，的值即可得出橢圓方程；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入的中垂線方程得出，的關(guān)系，再根據(jù)判別式解出的范圍．
 19.【答案】解：根據(jù)題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且短軸長(zhǎng)是長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半．即，則，，則，因此，橢圓的方程為；
由得橢圓的方程為，
設(shè)點(diǎn)、，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
則，得．
由于點(diǎn)、在橢圓上，則
兩個(gè)等式相減得，
即，
即，
所以，直線的斜率為．
因此，直線的方程為，即． 【解析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于綜合題．
根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得、的值，將、的值代入橢圓方程即可得答案；
設(shè)點(diǎn)、，再代入橢圓的方程后，利用作差法可解得直線的斜率，故可得直線的方程．
 20.【答案】解：由題意得，解得
雙曲線的方程為；
由，得．
當(dāng)，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，由題意得，
．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 【解析】本題主要考查雙曲線方程的求法，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力．由題意得，解方程組即得雙曲線的方程；
由，得，對(duì)與的關(guān)系分類討論，當(dāng)時(shí)，可知直線與雙曲線的漸近線平行，滿足條件；當(dāng)時(shí)，結(jié)合判別式即可求得實(shí)數(shù)的值．
 21.【答案】解：依題意可得 ，解得， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；直線的方程為，設(shè)、，由，可得，由韋達(dá)定理可得，，即，原點(diǎn)到直線的距離為， 于是，的面積為． 【解析】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力．根據(jù)已知條件及可得關(guān)于的方程組，從而可求得；由點(diǎn)斜式可得直線方程，與雙曲線聯(lián)立消去可得關(guān)于的一元二次方程可得兩根之和，兩根之積由弦長(zhǎng)公式可得 ，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式可得原點(diǎn)到直線的距離，從而可求得的面積．
 22.【答案】解：由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 
把點(diǎn)代入拋物線方程可得，解得， 
拋物線的方程為；
證明：若的平分線垂直于軸，則，
，
，
．
直線的斜率
，
則直線的斜率為定值． 【解析】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題．
由圖與題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為把點(diǎn)代入拋物線方程解得即可得出；
若的平分線垂直于軸，則化簡(jiǎn)可得，再計(jì)算直線的斜率，結(jié)論成立．