人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》單元測試卷（標準難度）（含答案解析）-試卷下載-教習網

人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》單元測試卷考試范圍：第三章；考試時間：120分鐘；總分150分學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項:
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）已知直線與橢圓交于，兩點，中點坐標為，橢圓的離心率為，若直線被圓截得的弦長為，則橢圓方程為(    )A. B. C. D. 已知橢圓與直線交于，兩點，焦點，其中為半焦距，若是直角三角形，則該橢圓的離心率為(    )A. B. C. D. 已知橢圓，斜率為的直線與橢圓相交于兩點，，的中點坐標為，則橢圓的離心率是(    )A. B. C. D. 等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于，兩點，，則的實軸長為(    )A. B. C. D. 過雙曲線的右焦點，作傾斜角為的直線，交雙曲線的漸近線于點、，為坐標原點，則的面積為(    )A. B. C. D. 已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為的直線交雙曲線于，兩點，則截得的弦長．(    )A. B. C. D. 已知拋物線：的焦點為，過點且斜率為的直線為，，若拋物線上存在一點，使、關于直線對稱，則拋物線的方程為(    )A. B. C. D. 已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，直線交軸于點，若，則點到準線的距離為(    )A. B. C. D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）已知，是橢圓：的左右焦點，是左右頂點，為橢圓的離心率，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點，已知，，，設直線的斜率為，直線和直線的斜率分別為，，直線和直線的斜率分別為，，則下列結論一定正確的是(    )A. B. C. D. 已知分別是雙曲線的左、右焦點，為左頂點，為雙曲線右支上一點，若且的最小內角為，則(    )A. 雙曲線的離心率
B. 雙曲線的漸近線方程為
C.
D. 直線與雙曲線有兩個公共點多選題已知動點在左、右焦點分別為、的雙曲線上運動，則下列結論正確的是(    )A. 雙曲線的離心率為
B. 當在雙曲線的左支上時，的最大值為
C. 點到兩漸近線的距離之積為定值
D. 雙曲線的漸近線方程為已知斜率為的直線經過拋物線的焦點，與拋物線交于點，兩點點在第一象限，與拋物線的準線交于點，若，則以下結論正確的是(    )A. B.
C. D. 為中點第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）直線與橢圓相交于、兩點，線段的中點在直線上，則直線在軸上的截距的取值范圍是          ．已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，點為的漸近線與圓的一個交點，為坐標原點，若直線與的右支交于點，且，則雙曲線的離心率為          ．雙曲線：的右焦點為，直線與雙曲線相交于，兩點，若，則雙曲線的離心率為__________．已知拋物線：的焦點為，準線為過點作傾斜角為的直線與準線相交于點，線段與拋物線相交于點，且，則拋物線的標準方程為          ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）橢圓：的一個焦點，離心率．
求橢圓的方程；
求以點為中點的弦所在的直線方程．已知橢圓：的左右焦點分別為，，若過點，且．求的方程．過點且斜率為的直線與交于點，，求的面積．雙曲線與橢圓有相同的焦點，直線為的一條漸近線．求雙曲線的方程．過點的直線交雙曲線于、兩點，交軸于點點與的頂點不重合當，且時，求點的坐標．已知雙曲線的離心率為，兩條準線間的距離為．求的標準方程；斜率為的直線過點，且直線與的兩支分別交于點，，求的取值范圍；若是點關于軸的對稱點，證明：直線過定點．已知點到點的距離等于點到直線的距離，設點的軌跡是曲線．求曲線的方程過點，且斜率為的直線與曲線交于，兩點，求線段的長．設曲線：上一點到焦點的距離為． Ⅰ求曲線方程； Ⅱ設，為曲線上不同于原點的任意兩點，且滿足以線段為直徑的圓過原點，試問直線是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標；若不恒過定點，說明理由．
答案和解析 1.【答案】【解析】【分析】本題主要考查直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．
利用點差法即可求得的斜率，由垂徑定理即可得的值，進而求得橢圓方程．【解答】解：設，兩點的坐標分別為，，
則兩式相減得：，
即，
因為橢圓離心率為，則，
故，
又，
所以，
所以直線的方程為，圓心到直線的距離，
根據(jù)垂徑定理得，
所以，所以，
所以橢圓方程為．
故選B．  2.【答案】【解析】【分析】
本題考查了橢圓的概念及標準方程，橢圓的性質及幾何意義和直線與橢圓的位置關系，屬于基礎題．
利用已知條件求出、坐標，結合三角形是直角三角形，推出、、關系，然后求解離心率即可．
【解答】
解：因為點和即在橢圓上，
也在直線上，
而橢圓與直線交于，兩點，
所以不妨設，．
又因為橢圓的焦點，而是直角三角形，
所以，因此，即，
因此，即，解得，
而橢圓離心率，所以為所求．
故選A．  3.【答案】【解析】【分析】本題考查橢圓的性質和中點弦問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
利用點差法，結合的中點坐標，以及直線的斜率為，即可求出，，從而可得橢圓的離心率．【解答】解：設，，
則，，
的中點坐標為，
，，
直線的方程是，
，
兩式相減可得：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案選B．  4.【答案】【解析】【分析】本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于一般題．
設出雙曲線方程，求出拋物線的準線方程，利用，即可求得結論．【解答】解：設等軸雙曲線的方程為，
拋物線，，，，
拋物線的準線方程為，
設等軸雙曲線與拋物線的準線的兩個交點，，
則，
，
將，代入，得，
，
等軸雙曲線的方程為，即，
的實軸長為．
故選C．  5.【答案】【解析】【分析】本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查直線與雙曲線圖象的位置關系，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
設點在第一象限，點在第四象限，得出，，再求出，得出的面積．【解答】解：不防設點在第一象限，點在第四象限，
因為，
雙曲線的漸近線為，
故，
所以，
所以，
又，則，
所以，
所以，
從而的面積為，
故選C．  6.【答案】【解析】【分析】本題考查了雙曲線的標準方程、簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系等知識點，屬于中檔題．
求出雙曲線的方程，再根據(jù)弦長公式進行求解即可．【解答】解：雙曲線：的一條漸近線方程是，
，
即，
左焦點，
，
，
，，
雙曲線的方程為，
可得直線的方程為，
設，，
由，
消可得，
可知：，
，，

．
故選C．  7.【答案】【解析】【分析】本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單幾何性質，屬于中檔題．
由直線與拋物線的位置，以及拋物線的定義得以，，求得點的坐標，由直線的斜率求得，得拋物線方程．【解答】解：因為、關于過點且斜率為的直線對稱，
則，且，
又由拋物線定義知等于點到準線的距離，
所以，而，
即，解得，
代入拋物線方程得，
則，
解得，
所以拋物線的方程為．
故選B．  8.【答案】【解析】【分析】本題考查拋物線的定義和性質，屬于中檔題．
由三角形相似可知，，可得點到準線的距離．【解答】解：由拋物線，可知，即為坐標原點，
過點作軸的垂線，垂足為，
由三角形相似可知，
所以，所以點到準線的距離為．
故選C．  9.【答案】【解析】【分析】
本題考查了橢圓的性質，考查了轉化思想、計算能力，解題的關鍵是利用好幾何關系、橢圓的定義，屬于中檔題．
過點作的平行線，交于點，設，，可得，由橢圓定義可得，，在中，由勾股定理可得：，，即可判斷的正誤；設，則．，即可判斷正誤．
【解答】
解：，，
過點作的平行線，交于點，．
設，由，可知，
又，，，
，由勾股定理可知，
三角形的周長為，．
，
，
在中，，，，

，
，，
橢圓離心率，故A正確，
直線的斜率，故B錯，
設，易得，，
則，故C正確，
，故D錯．
故選：．  10.【答案】【解析】【分析】本題考查雙曲線的性質和幾何意義、定義、直線與雙曲線的位置關系，余弦定理，屬于一般題．
利用雙曲線的幾何性質及定義等逐一判斷即可．【解答】解：因為，，所以，．
又，所以，
所以，所以，
所以，解得，A正確
因為，所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，B正確
因為，所以，所以，所以．
又，，所以，
所以，C錯誤
聯(lián)立得方程組，所以，
所以，
所以，
所以直線與雙曲線有兩個公共點，D正確．
故選ABD．  11.【答案】【解析】【分析】略【解答】在雙曲線中，實半軸長，虛半軸長，半焦距，雙曲線的離心率，漸近線方程為，故A中結論正確，中結論錯誤當在雙曲線的左支上時，，，故，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為，故B中結論錯誤設，則，即，又漸近線方程為和，故到漸近線的距離之積為，為定值，故C中結論正確．  12.【答案】【解析】【分析】本題考查拋物線的性質及幾何意義、直線與拋物線的位置關系的相關知識，屬于中檔題．
由題意，設出直線的方程，聯(lián)立拋物線，從而得出，兩點的橫坐標，再結合拋物線的性質逐一分析各選項即可．【解答】解：如圖，，直線的斜率為，

過交點、作準線的垂線，垂足為和，
傾斜角為，則直線方程為
聯(lián)立得，解得：，．由，得．
所以拋物線方程為．則，故B正確；
所以．
在中，，，故C正確；
所以，則為中點，，故A錯誤，D正確．
故選BCD．  13.【答案】【解析】【分析】本題主要考查直線與橢圓的位置關系，考查考生分析和解決問題的能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算，屬于中檔題．
解法一：設出直線的方程與聯(lián)立消元，求出交點橫坐標之和為，找出直線中與的關系，結合不等式求出縱坐標的取值范圍．
解法二：設直線與的交點為，，，進一步得到，為坐標原點的斜率，結合，在橢圓上列方程組，化簡求解可得直線的方程，結合點在橢圓的內部列式子求解即可．【解答】解：解法一：設，，
直線的方程為由于直線與軸相交，故斜率存在，
由，
得．
，在橢圓上，
，
即，，
又線段的中點在直線上，
，，即，
又，，即，
或，
即直線在軸上的截距的取值范圍是解法二：設直線與的交點為，，，則，，，為坐標原點的斜率分別為，，又，在橢圓上，
，
兩式相減可得，
即，，，
直線的方程為，
于是直線在軸上的截距為，
又在橢圓的內部，
且，
所以，當且僅當時，取等號，
所以或．
即直線在軸上的截距的取值范圍是．
故答案為．  14.【答案】【解析】【分析】本題考查雙曲線的定義及幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，屬于中檔題．
由題設結合雙曲線的定義可得到，繼而可求出雙曲線的離心率．【解答】解：如圖，因為雙曲線的一條漸近線為，
與圓聯(lián)立解得，
則，
則直線與圓相切于點，且，

由雙曲線定義可知：
，且，
，，
．
又，，．
雙曲線的離心率．
故答案為．  15.【答案】【解析】【分析】
本題主要考查雙曲線的幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，屬于中檔題．
根據(jù)題意，可得右焦點坐標為，聯(lián)立，整理得可得，由與關于原點對稱，設，，由，可得，從而得出，則，即，從而得出，進而得出雙曲線的離心率．
【解答】
解：由題意可知：雙曲線：焦點在軸上，右焦點，
則，整理得：，即，
與關于原點對稱，設，，
，，
，
，
整理得：，
，即，
可得，
解得，負值舍去，
，
，可得，
故，
即，
故答案為．  16.【答案】【解析】【分析】本題考查了直線與拋物線方程的應用問題，考查了拋物線的定義，考查了運算求解能力，屬于中檔題．
解法一幾何法，根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形，利用拋物線的定義和直角三角形的邊角關系，求出，即可寫出拋物線的標準方程；
解法二代數(shù)法，設出直線的方程，得出點的坐標，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去解得點的坐標，由兩點間距離公式列出關于的方程，解方程求得的值，再寫出拋物線的標準方程．【解答】解：解法一幾何法如圖所示，
設，過點作與點，
由拋物線的定義知，，，；

在中，，
，
從而；
在中，，
，
所以，所以拋物線的標準方程為．
解法二代數(shù)法，直線的方程為，從而；
由消去，
得，
解得或舍去，從而；
由得，，
解得，所以拋物線的標準方程為．
故答案為．  17.【答案】解：設橢圓的方程為，
由題意，又，得，
．
橢圓的標準方程為；
設，代入橢圓的方程得：
   ，   ，
得：，
點為的中點，得，
由題可知直線斜率存在，
．
即，
點為中點的弦所在直線的方程為，
化為一般式方程：．【解析】本題考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓的簡單性質，中點弦問題，屬于中檔題．
由題意設出橢圓的標準方程，并求得，再由離心率求得，結合隱含條件求得，則橢圓方程可求；
設出、的坐標，代入橢圓方程，作差求得所在直線的斜率，代入直線方程的點斜式得答案．
18.【答案】解：因為，所以，
又因為，所以，
所以橢圓的方程為．
因為，
所以，
所以直線方程為，
代入得，．
，
設，，則，，不妨設在第一象限，
解得，，則，，
所以，
點到直線的距離為，
所以的面積為．【解析】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．
由題意求出，，即可得到橢圓方程；
求出，再利用點到直線距離公式求出點到直線的距離，代入三角形面積公式即可．
19.【答案】解：設雙曲線方程為
由橢圓，
求得兩焦點為，，
對于雙曲線：，又為雙曲線的一條漸近線，
解得，，
雙曲線的方程為

由題意知直線得斜率存在且不等于零，
設的方程：，，，
則，
，
，

同理，
所以，
即，
又以及，
消去得，
當時，則直線與雙曲線的漸近線平行，不合題意，，
由韋達定理有：

代入式得，，經檢驗此時，
所求點的坐標為．【解析】本題綜合考查了直線與雙曲線的位置關系以及向量共線問題，考查了綜合分析和運算能力，屬于較難題．
先求出橢圓的焦點找到雙曲線中的，再利用直線為的一條漸近線，求出和的關系進而求出雙曲線的方程；
先把直線的方程以及、兩點的坐標設出來，利用，找到和與、兩點的坐標和直線的斜率的關系，再利用、兩點是直線和雙曲線的交點以及，求出直線的斜率進而求出點的坐標．
20.【答案】解：由已知得   可得     ，
又雙曲線中，所以的標準方程為：．
設直線，，，
由，消去可得，，
則，，，
因為直線與雙曲線交于兩支，所以且，即
解得：；
設，令，
，即直線過定點．【解析】本題考查了雙曲線的性質，直線與雙曲線的位置關系，需要注意根與系數(shù)的關系的運用，屬于中檔題．
根據(jù)題意可列出兩個關于的方程，解出，再根據(jù)的關系求出，即可得到的標準方程；
設直線，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由且，即可求出的取值范圍；設，令，將的值代入即可求出，從而可知直線過定點，
從而得證．
21.【答案】解析由題意可知點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，設方程為，則，曲線的方程為．由題意得直線的方程為，聯(lián)立得消去得，設，，則，則由拋物線的定義可得，，．【解析】略
22.【答案】解：Ⅰ由拋物線定義得，
解得，
所以曲線方程為；
Ⅱ因為以線段為直徑的圓過原點，
所以．
設直線的方程為，
與曲線方程聯(lián)立，得，
解得，于是．
又直線的方程為，
同理：．
又直線斜率存在，
所以的直線方程為，
即．
故直線恒過定點．【解析】本題考查拋物線的標準方程以及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．
Ⅰ根據(jù)拋物線的定義即可求解；
Ⅱ可設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得，同理可得，由兩點式方程形式寫出直線的方程，即可求出定點．