人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊期中測試卷考試范圍：第一.二章；考試時間：120分鐘；總分150分學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項:
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）如圖，矩形中，，為邊的中點，將沿直線翻折成在翻折過程中，直線與平面所成角的正弦值最大為(    )
 A.  B.  C.  D. 已知空間中三點，，，則(    )A. 與是共線向量
B. 與向量方向相同的單位向量是
C. 與夾角的余弦值是
D. 平面的一個法向量是如圖，在空間四邊形中，點在上，滿足，點為的中點，則(    )A.
B.
C.
D. 已知四棱錐，底面為平行四邊形，，分別為，上的點，，設，，，則向量用為基底表示為(    )A.  B.
C.  D. 線段是圓的一條直徑，直線上有一動點，則的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 若直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. “”是直線與直線平行的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件在平面直角坐標系中，已知定點，，若在圓上存在點，使得為直角，則實數(shù)的最大值是A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）已知直線：，則下述正確的是(    )A. 直線的斜率可以等于
B. 直線的斜率有可能不存在
C. 直線可能過點
D. 若直線的橫縱截距相等，則已知點，均在圓：外，則下列表述正確的有(    )A. 實數(shù)的取值范圍是
B.
C. 直線與圓不可能相切
D. 若圓上存在唯一點滿足，則的值是若，，，為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是(    )A.  
B.
C.  
D. 如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則(    )
A. 點的坐標為
B. 點關于點對稱的點為
C. 點關于直線對稱的點為
D. 點關于平面對稱的點為第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）如圖，直三棱柱一中，側棱長為，，，是的中點，是上的動點，，交于點，要使平面，則線段的長為          ．
 在長方體中，，，點為底面上一點，則的最小值為          ．直線：被圓：所截得的弦長為，則實數(shù)的值是          ．在平面直角坐標系中，已知點，，若動點滿足為坐標原點，則的最小值是           ． 四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，分別為，的中點，．
證明：
若與所成角為，求平面和平面所成角的余弦值．
 
如圖，在直三棱柱中，，，，點是線段的中點．
求證：；
試求二面角的余弦值；
求點到平面的距離．
如圖，已知在平面四邊形中，為的中點，，，且將此平面四邊形沿折起，使平面平面，連接、．求證：平面平面設為側棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值．已知直線．若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設的面積為，求的最小值及此時直線的方程．已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點，．
求圓的標準方程；
過點的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程．如圖所示，某市擬在長為的道路的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)，的圖象，且圖象的最高點為；賽道的后一部分為折線段為保證參賽運動員的安全，限定求，的值和，兩點間的距離．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用空間向量求線面角，求函數(shù)的最值，屬于拔高題．
建立空間直角坐標系，求出的坐標和平面的其中一個法向量，得出，令，利用函數(shù)最值的求解，即可求出結果．【解答】解：分別取的中點，易得點的軌跡是以為直徑的圓，建系如圖，
 
則，平面的其中一個法向量為，
由，設，
則，
記直線與平面所成角為，
則
，
令，
則
，
當且僅當，即時，取等號，
所以直線與平面所成角的正弦值最大為．
故選A．  2.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查空間向量共線的判斷，考查單位向量和向量的數(shù)量積運算，考查平面的法向量的求解，屬于中檔題．
可根據(jù)向量的相關概念和數(shù)量積運算、以及求法向量的方法逐一驗證即可．【解答】解：，，，所以與不共線，所以A錯誤
，與向量方向相同的單位向量為，所以B錯誤
，所以，所以C錯誤
設平面的法向量是，
則，即，
令，可得，，所以平面的一個法向量是，所以D正確．
故選D．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量的線性運算，屬于基礎題．
利用，然后進一步轉化即可得出．【解答】解：由得由點為線段的中點得，
，故選D．
   4.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了向量的加法法則、空間向量的線性運算的知識，屬于基礎題．
結合空間向量的線性運算法則直接求解即可．【解答】解：


，
所以．
   5.【答案】 【解析】【分析】本題考查了直線與圓的位置關系中的最值問題，涉及到向量的運算、點到直線的距離公式，屬中檔題．【解答】解：因為，
所以求的最小值只要求的最小值即可，
而的最小值即為圓心到直線的最小值，
因此，．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線的斜率、傾斜角的計算，關鍵是求出斜率的范圍．
根據(jù)題意，由直線過兩點的坐標可得直線的斜率，分析可得斜率的范圍，結合直線的斜率與傾斜角的關系可得，又由傾斜角的范圍分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線經(jīng)過，，
則直線的斜率，
又由，則，
則有，
又由，則．
故選：．  7.【答案】 【解析】【分析】本題考查兩直線平行的條件，要注意特殊情況即直線斜率不存在的情況，要進行檢驗，屬于中檔題．
先檢驗當時，是否滿足兩直線平行，然后判斷當時，兩直線的斜率都存在，由斜率相等即，解得的值并驗證，最后根據(jù)充要條件的判定進行選擇．【解答】解：
當時，兩直線的斜率都不存在，
它們的方程分別是，，顯然兩直線是重合的，舍去．
當時，兩直線的斜率都存在，且它們的斜率相等，
則，解得：．
經(jīng)驗證，時，兩直線不重合，符合條件．
綜上，，
所以“”是直線與直線平行的充要條件．  8.【答案】 【解析】【分析】本題考查圓與圓的位置關系的應用，圓的方程的求解，屬于中檔題．
由題意知點在圓上，且在以為直徑的圓上，故當以為直徑的圓與圓內(nèi)切時，最大，從而由兩圓的位置關系可求出的最大值．【解答】解：將圓化為標準方程為，，
由題意知點在圓上，且在以為直徑的圓上，
故當以為直徑的圓與圓內(nèi)切時，最大，
又，，故以為直徑的圓的方程為，圓心為，
所以，
當兩圓內(nèi)切時，，解得，
故選D．  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查了直線方程，考查了直線方程中的有關概念，屬于中檔題．
根據(jù)直線的方程，可得直線的斜率，直線過定點，直線的的截距．【解答】解：直線：，直線斜率為，所以直線斜率不可能為，故A錯誤，
當時，直線的斜率不存在，故B正確；
，即，直線恒過點，故C錯誤；
若直線的橫縱截距相等，則，解得或，故D正確．
故選：．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查點與圓、直線與圓位置關系的判定及應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
由、均在圓外列關于的不等式組，求得的范圍判斷；直接求出判斷；由的范圍及圓心坐標判斷；由題意可得，點在以線段為直徑的圓上，求出以為直徑的圓的方程，結合點在圓：上，可得圓與圓外切，且點為切點，再由圓心距與半徑的關系列式求解判斷．【解答】解：點，均在圓：外，
，解得，故A正確；
，故B正確；
由題知，直線與軸重合，，且圓心坐標為，當時，直線與圓相切，與實際矛盾，故C錯誤；
，點在以線段為直徑的圓上，
又，，點在圓上，
又點在圓：上，
點，均在圓外，圓與圓外切，且點為切點，
，即，故D正確．
故答案選：．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間向量的運算問題，屬于基礎題．
判斷所給的向量是否是零向量，從而求解．【解答】解：因為，
不一定等于，所以不符合題意；
因為，所以符合題意；
因為，所以不符合題意；
因為，所以符合題意；
故選BD．  12.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間點的對稱性、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
利用空間點的對稱性即可得出．【解答】解：由圖形及其已知可得：點的坐標為，
點關于點對稱的點為，
點關于直線對稱的點為，
點關于平面對稱的點為，
因此BC正確．
故選：．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查線段長的求法，線面垂直的向量表示，屬于中檔題．
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段的長．【解答】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

由題意，，
，，，設，，
，，，
平面，
，即
，解得．
線段的長為．
故答案為．

   14.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間向量的理解與應用，空間向量數(shù)量積的運用，空間向量基本定理的運用，利用基本不等式求解最值的應用，考查了邏輯推理能力與轉化化歸能力，屬于中檔題．
先利用空間向量基本定理將轉化為，由空間向量的數(shù)量積定義以及基本不等式求解最值即可．【解答】解：在長方體中，，，點為底面上一點，
則，
當反向時，的值最小值為，
此時，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為．
故答案為：．  15.【答案】或 【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的應用，是基礎題．
由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由直線被圓所截得的弦長得圓心到直線的距離，由點到直線的距離公式列式求得的值．【解答】解：圓：的圓心坐標為，半徑為，
又直線：被圓：所截得的弦長為，
圓心到直線的距離．
則，解得或．
故答案為：或．  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查了動點軌跡方程的求解，涉及了與圓有關的最值問題的求解，要掌握常見的求解軌跡的方法：直接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題．
先分別求出動點和動點的軌跡方程，然后將問題轉化為求解圓上的點到直線的距離最小問題，利用圓心到直線的距離減去半徑即可．【解答】解：設動點，因為點，
且動點滿足為坐標原點，
所以，即，
整理可得，
故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
因為，故點的軌跡是直線，
因為圓心到直線的距離，
所以的最小值即為．
故答案為．  17.【答案】證明：因為，為的中點，所以
又，且．
所以平面，
又因為面
所以
易證，則，，
所以四邊形是平行四邊形，則，
所以，則，
以為原點，以為軸，為軸，以為軸，建立空間直角坐標系：

則，，，，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，即
令，則，
平面的一個法向量為，
則，，
所以平面和平面所成角的余弦值． 【解析】本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成的角，以及利用空間向量研究平面與平面所成角，考查了運算求解能力，轉化與化歸能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：證明：在中，，，，
，，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，又平面，
C.
由可知，平面，，平面，所以，，
又，
以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，，
，，，
平面，是平面的一個法向量，
設平面的法向量為，
則，即，解得
令可得，
，
由圖形可知二面角為銳二面角，
二面角的余弦值為．
由可知，，
設與平面所成角為，
則，，
到平面的距離為． 【解析】本題考查了線面垂直的判定，考察空間向量與二面角、線面角、空間距離的計算，屬于中檔題．
證明，，可得出平面，于是；
建立空間直角坐標系，求出平面和的法向量，計算法向量的夾角得出二面角的大小；
得出與平面所成角的正弦值，再計算到平面的距離．
 19.【答案】解：證明：在平面四邊形中，，，
因此，折疊后，，
平面底面，平面底面，
平面，且，
平面，
又平面，
，
取中點，連結，
則，且，
在中，，
在中，得，
，
，
平面，
平面；
因為平面
所以平面平面
解：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

由可知，，，，
設平面的法向量為，
，，
因為，所以
取，得．
因為，
設直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為． 【解析】本題考查線面垂直的判定，考查利用空間直角坐標系求線面所成角，考查空間思維能力，屬于中檔題．
利用線面垂直的判定定理證明平面，即可證明平面平面；
以為原點建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求直線與平面所成角即可．
 20.【答案】解：直線的方程可化為：，則直線在軸上的截距為，
要使直線不經(jīng)過第四象限，則，解得的取值范圍是：．
依題意，直線在軸上的截距為：，在軸上的截距為，
，，
又且，，
故，當且僅當，即時取等號，
故的最小值為，此時直線的方程為． 【解析】本題考查直線的一般式方程，考查直線的截距及三角形的面積，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．
可求得直線的斜截式方程及直線在軸上的截距，依題意，從而可解得的取值范圍；
依題意可求得，，，，利用基本不等式即可求得答案．
 21.【答案】解：設的中點為，則，
由圓的性質(zhì)得，故，因為，所以，
故線段的垂直平分線所在方程是，
設圓的標準方程為，其中，半徑為，
由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，得，
故圓心，，
圓的標準方程為；
由可知，設為中點，則，得，
圓心到直線的距離，
當直線的斜率不存在時，的方程，此時，符合題意；
當直線的斜率存在時，設的方程，即，
由題意，解得，
故直線的方程為，即．
綜上，直線的方程為或． 【解析】本題考查圓的方程的求法，直線與圓位置關系的應用，圓的弦長．
由已知求得的垂直平分線方程，進一步求得圓心坐標，再求出圓的半徑，則圓的標準方程可求；
由已知求出圓心到直線的距離，然后分直線的斜率存在與不存在求解直線的方程．
 22.【答案】解：依題意，有，，即．又，．，．當時，．．又，．即，兩點間的距離為．
故答案為：，，，兩點間的距離為． 【解析】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)和兩點間的距離公式，屬于中檔題．
由圖中函數(shù)最大值可得到的值，由最高點與原點橫坐標差得到四分之一個周期，利用三角函數(shù)的周期公式求出，將的橫坐標代入求出的坐標，利用兩點距離公式求出．
 

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