課時作業(yè)(十四)(理科)一、選擇題1．(2021·貴州凱里一中高三三模)已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則一定能使m∥n成立的是(　D　)A．α∥β，m?α，n?β B．m、n與平面α所成角相等C．α⊥β，m⊥α，n∥β D．α∥β，m⊥α，n⊥β【解析】　對于選項A，m與n還可能是異面直線；對于選項B，m與n還可能是相交直線、異面直線；對于選項C，m與n可能是相交直線、異面直線；對于選項D，若α∥β，m⊥α，n⊥β，則一定有m∥n成立．故選D.2．(2021·陜西高三模擬)已知m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是(　D　)A．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nB．若m⊥n，n⊥β，α⊥β，則m⊥αC．若m∥α，n?α，則m與n異面D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β【解析】　由題意，直線m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，對于A中，若m∥α，n∥β，α⊥β，可能m∥n，所以A不正確；對于B中，若m⊥n，n⊥β，α⊥β，可能m∥α，所以B不正確；對于C中，若m∥α，n?α，則m與n異面或m∥n，所以C不正確；對于D中，由m⊥α，m∥n，可得n⊥α，又由n⊥β，所以α∥β，所以D正確．故選D.3．(2021·全國高三模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且m?α，n?β，則下列命題正確的為(　C　)①若m∥β，n∥α，則α∥β；②若m⊥β，n⊥α，則α⊥β；③若α∥β，則m∥β，n∥α；④若α⊥β，則m⊥β，n⊥α.A．①③　 B．①④　C．②③　　 D．②④【解析】　對于命題①，在如圖正方體ABCD-EFGH中，若α為底面ABCD，m為直線CD，β為面ABFE，n為直線EF，則m∥β，n∥α，但α⊥β，不滿足α∥β，所以①錯誤；對于命題②，若m⊥β，且m?α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，所以正確；對于命題③，若α∥β，且m?α，n?β，由面面平行的性質(zhì)，則m∥β，n∥α，所以正確；對于命題④，在如圖正方體ABCD-EFGH中，若α為底面ABCD，β為面ABFE，則α⊥β，又m?α，n?β，令m為直線CD，n為直線EF，則m∥β，n∥α，不滿足m⊥β，n⊥α，所以不正確；綜上，②③正確．故選C.4．(2021·陜西西安一模)過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有(　C　)A．2條 B．4條C．6條 D．8條【解析】　如圖，過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線只可能落在平面DEFG內(nèi)(其中D，E，F，G分別為三棱柱棱的中點)，易知經(jīng)過D，E，F，G中任意兩點的直線共有C＝6種，故選C.5．(2021·全國高三模擬)如圖，四邊形ABCD，A1ADD1，C1CDD1均為正方形．動點E在線段A1C1上，F，G，M分別是AD，BE，CD的中點，則下列選項正確的是(　B　)A．GM∥CEB．BM⊥平面CC1FC．存在點E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．存在點E，使得平面BEF⊥平面AA1C1C【解析】　對于A，取BC的中點N，連接GN，因為G是BE的中點，所以GN∥CE，若GM∥CE，則GM∥GN，這與GM∩GN＝G矛盾，故選項A錯誤；對于B，因為平面ABCD⊥平面CC1D1D，平面ABCD∩平面CC1D1D＝CD，C1C⊥CD，所以C1C⊥平面ABCD，又BM?平面ABCD，所以CC1⊥BM，又BM⊥CF，且CC1∩CF＝C，CC1，CF?平面CC1F，則BM⊥平面CC1F，故選項B正確；對于C，因為直線BF與平面CC1D1D有交點，所以不存在點E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，故選項C錯誤；對于D，連接BD，因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為CC1⊥平面ABCD，CC1?平面ACC1A1，所以平面ABCD⊥平面ACC1A1，又平面ABCD∩平面AA1C1C＝AC，AC⊥BD，則BD⊥平面ACC1A1，記AC∩BD＝H，則BH⊥平面AA1C1C，且H不在平面BEF，所以不存在點E，使得平面BEF⊥平面AA1C1C，故選項D錯誤．故選B.6．(2021·福建高三三模)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥CD，AB∥CD，BC＝，AA1＝AB＝AD＝2，點P，Q，R分別在棱BB1，CC1，DD1上，若A，P，Q，R四點共面，則下列結(jié)論錯誤的是(　C　)A．任意點P，都有AP∥QRB．任意點P，四邊形APQR不可能為平行四邊形C．存在點P，使得△APR為等腰直角三角形D．存在點P，使得BC∥平面APQR【解析】　對于A：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB∥CD，所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又因為平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面DCC1D1＝QR，所以AP∥QR，故A正確；對于B：若四邊形APQR為平行四邊形，則AR∥QP，而AD與BC不平行，即平面ADD1A1與平面BCC1B1不平行，所以平面APQR∩平面BCC1B1＝PQ，平面APQR∩平面ADD1A1＝AR，直線PQ與直線AR不平行，與AR∥QP矛盾，所以四邊形APQR不可能是平行四邊形，故B正確；對于C：假設(shè)存在點P，使得△APR為等腰直角三角形，令BP＝x，過點D作DE⊥AB，則DE＝BC＝，在線段DR上取一點M使得DM＝BP＝x，連接BD，PM，則四邊形BDMP為矩形，所以MP＝BD＝2，則PR＝＝，AP＝＝，AR＝＝顯然AR≠PR，AP≠PR，若由AP＝AR，則BP＝DR＝x且BP∥DR?四邊形BPDR為平行四邊BPDR，所以RP＝＝2＝AP＝＝，無解，故C錯誤；對于D：當(dāng)BP＝CQ時，滿足BC∥平面APQR，故D正確．故選C.二、填空題7．在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點，若平面BC1D∥平面AB1D1，則＝__1__.【解析】　如圖所示，連接A1B，與AB1交于點O，連接OD1，∵平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，∴＝，同理AD1∥DC1，∴＝，∴＝，又∵＝1，∴＝1，即＝1.8．(2021·海原縣第一中學(xué)高三二模)下列說法正確的是__①④__.①兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)；②過空間中任意三點有且僅有一個平面；③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；④若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.【解析】　根據(jù)空間中直線之間的位置關(guān)系可判斷①、②、③，再由線面垂直的性質(zhì)可判斷④.對于①，如圖，兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)，故①正確；對于②，過空間中不在同一直線上的三點有且僅有一個平面，故②錯誤；對于③，若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行或異面，故③錯誤；對于④，若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l，故④正確．∴正確的是①④.9．如圖，在以角C為直角頂點的三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，PA⊥平面ABC，F為PB上的點，在線段AB上有一點E，滿足BE＝λAE.若PB⊥平面CEF，則實數(shù)λ的值為____.【解析】　∵PB⊥平面CEF，∴PB⊥CE，又PA⊥平面ABC，CE?平面ABC，∴PA⊥CE，而PA∩PB＝P，∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥AB，∴λ＝＝＝＝.三、解答題10．(2021·全國高三模擬)已知如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥CD，EB⊥平面ABCD，EF∥CD，CD＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，且M是AD的中點．(1)求證：FM∥平面BDE；(2)求三棱錐C-ABF的體積V.【解析】　(1)如圖所示：連接AC交BD與O，連接OM，OE，因為四邊形ABCD為平行四邊形，EF∥CD，且M是AD的中點，所以EF∥OM，且EF＝OM，所以四邊形EFMO為平行四邊形，所以FM∥OE，又因為FM?平面BDE，OE?平面BDE，所以FM∥平面BDE.(2)因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以S△ABC＝S△BDC＝BD·DC＝×3×2＝3，因為EB⊥平面ABCD，EF∥CD，所以點F到平面ABCD的距離等于點E到平面ABCD的距離，所以VC-ABF＝VF-ABC＝VE-BCD＝S△BDC·EB＝×3×＝.11．(2021·全國高三模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且PA⊥底面ABCD.(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；(2)若E為棱BC的中點，在棱PA上求一點F，使BF∥平面PDE.【解析】　(1)證明：因為PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD；又底面ABCD為正方形，所以BD⊥AC，AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD，得證．(2)如圖所示，取PA的中點Q，PD的中點H，連接BQ、QH、HE，所以有QH∥AD，QH＝AD，又BE∥AD，BE＝AD，所以QH∥BE且QH＝BE，所以四邊形BQHE為平行四邊形，所以BQ∥EH，BQ?面PDE，EH?面PDE，所以BQ∥平面PDE，所以Q點，即為我們要找的F點．12．如圖(1)，在正△ABC中，E，F分別是AB，AC邊上的點，且BE＝AF＝2CF.點P為邊BC上的點，將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖(2)所示．(1)求證：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，點K為棱A1F的中點，則在平面A1FP上是否存在過點K的直線與平面A1BE平行，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．【解析】　(1)證明：在正△ABC中，取BE的中點D，連接DF，如圖所示．因為BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF為正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在題圖(2)中，A1E⊥EF.又A1E?平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，所以A1E⊥平面BEFC.因為FP?平面BEFC，所以A1E⊥FP.  (2)在平面A1FP上存在過點K的直線與平面A1BE平行．理由如下：如題圖(1)，在正△ABC中，因為BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如圖所示，取A1P的中點M，連接MK，因為點K為棱A1F的中點，所以MK∥FP.因為FP∥BE，所以MK∥BE.因為MK?平面A1BE，BE?平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在過點K的直線MK與平面A1BE平行．

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