第07講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程實根的存在性及實根個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．2.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義，能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系         【基礎(chǔ)知識】一、一元二次不等式一般地，我們把只含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.二、二次函數(shù)的零點1.一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．2.二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)．3.一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點．三、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系【解讀】(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．四、解一元二次不等式的一般步驟1.通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；2.計算對應(yīng)方程的判別式；3.求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；4.根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．【解讀】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．五、解含參數(shù)的一元二次不等式1.若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；2.若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進行討論；3.若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進行討論．六、簡單分?jǐn)?shù)不等式的解法1.對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．2.對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立問題1.不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為空集的條件為【考點剖析】考點一：一元二次不等式的解法例1．（2021-2022學(xué)年新疆喀什市普通高中高一上學(xué)期期末）解下列不等式：(1)；(2).【解析】 (1)因為， 所以方程有兩個不等實根x1＝－1，x2＝－3. 所以原不等式的解集為或.(2)因為， 所以方程 有兩個相等實根x1＝x2＝所以原不等式的解集為.考點二：三個二次關(guān)系的應(yīng)用例2．（2020-2021學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)中學(xué)高一上學(xué)期考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（       ）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】由題意得，即，所以即，解得．故選B考點三：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例3．解關(guān)于x的不等式【解析】關(guān)于x的不等式可化為（1）當(dāng)時，，解得．（2）當(dāng)，所以所以方程的兩根為-1和， 當(dāng)，即時，不等式的解集為或}，當(dāng)，即時，不等式的解集為．當(dāng)，即時，不等式的解集為或}，．（3）當(dāng)時，因為方程的兩根為—1和，又因為，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為或當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為或}，考點四：簡單分?jǐn)?shù)不等式的解法例4．（多選）（2021-2022學(xué)年湖南省懷化市高一上學(xué)期期末）集合也可以寫成（       ）A． B．C．或 D．【答案】ABD【解析】對于集合，解不等式，即，解得，所以.對于A選項，，故A正確；對于B選項，解不等式，即，得，即，故B正確；對于C選項，與集合比較顯然錯誤，故C錯誤；對于D選項，等價于，故D正確.故選ABD 考點五：一元二次不等式恒成立問題例5．（2020-2021學(xué)年廣東省江門市新會陳經(jīng)綸中學(xué)高一上學(xué)期期中）已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（       ）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，由題意有，解得，綜上，.故選B.         【真題演練】1．(2021-2022學(xué)年浙江省強基聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)不等式的解集是（       ）A． B．C．或 D．2. （2021-2022學(xué)年浙江省“新高考名校聯(lián)盟”高一下學(xué)期5月檢測）一元二次不等式對一切實數(shù)恒成立，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．3. （2021-2022學(xué)年重慶市石柱中學(xué)校高一上學(xué)期第一次月考）已知函數(shù)的圖象都在軸的上方，求實數(shù)的取值范圍(       )A． B．C． D．4. （多選）（2021-2022學(xué)年江蘇省鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)高一上學(xué)期期中）下列不等式的解集為R的有（       ）A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<15. （多選）（2021-2022學(xué)年江蘇省南京市第一中學(xué)高一上學(xué)期10月月考）對于給定實數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集可能是（       ）A． B． C． D．6. （2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一上學(xué)期月考）已知二次函數(shù)圖象如圖所示.則不等式的解集為_________.7. （2020-2021學(xué)年浙江省衢州五校高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考）(1)若不等式的解集為，求的值.(2)不等式的解集為A，求集合A.8. （2021-2022學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)高一上學(xué)期月考）求下列不等式的解集．(1)；(2)        【過關(guān)檢測】1. （2021-2022學(xué)年安徽省亳州市利辛縣第一中學(xué)高一下學(xué)期4月聯(lián)考）不等式的解集為（       ）A． B．或C． D．或2. （2021-2022學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高一下學(xué)期月考）若不等式對一切實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．3. （2021-2022學(xué)年廣東省化州市第三中學(xué)高一下學(xué)期3月考試）已知不等式的解集是，則的值為（       ）．A．1 B． C．0 D．4. （2021-2022學(xué)年甘肅省定西市高一下學(xué)期統(tǒng)一檢測）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（       ）A． B． C． D．5. （多選）（2021-2022學(xué)年福建省晉江市第一中學(xué)高一上學(xué)期月考）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是（       ）A． B．不等式的解集為C．不等式的解集為或 D．6. （多選）（2021-2022學(xué)年安徽省皖西地區(qū)高一下學(xué)期期中大聯(lián)考）若不等式的解集為，則下列說法正確的是（       ）A． B．C．關(guān)于的不等式解集為 D．關(guān)于的不等式解集為7. （2021-2022學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一上學(xué)期月考）若不等式在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．8. （2021-2022學(xué)年湖北省黃石市有色第一中學(xué)高一上學(xué)期期中）若不等式的解集為，則不等式的解集是________．9. （2019-2020學(xué)年天津市紅橋區(qū)高一上學(xué)期期中）求下列不等式的解集：(1)；(2).10.（2021-2022學(xué)年北京市第五中學(xué)高一3月第一次階段檢測）請回答下列問題：(1)若關(guān)于的不等式的解集為或，求，的值.(2)求關(guān)于的不等式的解集.
 

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