專題09三角形（教師版含解析）-2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義（第1套）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

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專題09三角形
專題綜述課程要求

三角形的“四心”有著明顯的幾何特征，這些幾何特征與高中很多知識(shí)都有交匯，所以要熟練掌握它們的概念，理解對(duì)應(yīng)的幾何意義，為高中“四心”知識(shí)的綜合奠定基礎(chǔ).
1.四心的地位
所謂三角形的“四心”，是指三角形的四種重要線段相交而成的四類特殊點(diǎn).它們分別是三角形的內(nèi)心、外心、垂心與重心，其中，外心與內(nèi)心在初中課本中分別作出了敘述和介紹，而垂心與重心這兩個(gè)概念是在高中加強(qiáng)的.在高中后續(xù)學(xué)習(xí)向量、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容時(shí)，垂心、重心、內(nèi)心、外心都是不可缺少的知識(shí)點(diǎn)，在高考試卷中也屢屢出現(xiàn)，所以要清楚它們的基本概念，在三角形中用尺規(guī)作圖的方法能夠找到這四心，也就是要熟悉它們的幾何特征，正三角形四心(內(nèi)心、重心、垂心、外心)合一，該點(diǎn)稱為正三角形的中心.
2.四心的概念與常用性質(zhì)
內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等；
垂心：三角形的三條高的交點(diǎn)；通過(guò)作圖可知銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外，該點(diǎn)分每條高線的兩部分乘積相等；
重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍；
外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
四心在高中階段具有代數(shù)與幾何的雙重身份，需要給這四心的幾何特征以代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，以數(shù)解形.
課程要求

《初中課程要求》
1、三角形及其性質(zhì)
2、全等三角形
3、相似三角形
4、直角三角形
《高中課程要求》
1、三角變換與解三角形的綜合問(wèn)題
2、解三角形與平面向量結(jié)合
3、以平面圖形為背景的解三角形問(wèn)題

知識(shí)精講

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.

如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高(如圖3.2-2)是三角形中的三種重要線段.
三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).
三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.
三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.
過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

結(jié)論一：等腰三角形底邊上三線(角平分線、中線、高線)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內(nèi)心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.
結(jié)論二：正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心(內(nèi)心、重心、垂心、外心)合一，該點(diǎn)稱為正三角形的中心.
典例剖析

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：三角形的“四心”

【典型例題】
如圖，在⊙O中，AB是的直徑，PA與⊙O 相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O 上，且PC＝PA，
(1)求證PC是⊙O的切線；
(2)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若CD＝PA＝2，
①求圖中陰影部分面積；
②連接AC，若△PAC的內(nèi)切圓圓心為I，則線段IE的長(zhǎng)為．

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)①S陰影＝． ②．
【解析】
(1)證明：連接OC?OP，
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴OC為半徑．
∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
∵OC＝OA，
OP＝OP，
PC＝PA，
∴△PCO≌△PAO．
∴∠PCO＝∠PAO＝90°．
∴PC⊥OC．
∴PC是⊙O的切線．

(2)①作CM⊥AP于點(diǎn)M，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝，∠CEA＝90°．
∴四邊形CMAE是矩形．
∴AM＝．
∴PM＝AM．
∴PC＝AC．
∵PC＝PA，
∴△PCA是等邊三角形．
∴∠PAC＝60°．
∴∠CAB＝30°．
∴∠COE＝60°．
∴∠COD＝120°．
在Rt△COE中，
sin60°＝，
∴OC＝2．
∴S陰影＝π－．
②∵AP=2 ,AH=CE=
∴CH=AH=3
又∵I為正△PAC的內(nèi)心
∴CI= CH=2
∴IE= = =

【變式訓(xùn)練】
已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。

(1)特殊發(fā)現(xiàn)：如圖①，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)．求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；
(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)．記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P．
①猜想驗(yàn)證：如圖②．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運(yùn)用：如圖③，當(dāng)△AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷1DM+1DN是否為定值．若是．請(qǐng)求出該定值；若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①外心P一定落在直線DB上，見(jiàn)解析；②1DM+1DN為定值，1DM+1DN=1.
【解析】
(1)證明：如圖I，分別連接OE、0F

∵四邊形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=12∠ADC=12×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)
∴OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD，
∴0E=OF=OA ，
∴點(diǎn)O即為△AEF的外心，
(2)①猜想：外心P一定落在直線DB上，
證明：如圖2，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J

∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ，
∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上，
②1DM+1DN為定值1.
當(dāng)AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，
此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．
連接BD、AC交于點(diǎn)P，由(1)
可得點(diǎn)P即為△AEF的外心，

解法：如圖3．設(shè)MN交BC于點(diǎn)G
設(shè)DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，則 CN=y-2
由BC∥DA 易證△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．
∴CG=2-x，
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴CNDN=CGDM，∴y-2y=2-xx
∴x+y=xy.
∴1x+1y=1，即1DM+1DN=1.

【能力提升】
定義：到三角形的兩邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心，例如：如圖1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D、E，若PD＝PE，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)內(nèi)心

(1)應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)內(nèi)心P在高CD上，且PD＝12AB，求∠APB的度數(shù)．
(2)探究：如圖3，已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)內(nèi)心P在AC邊上(不與點(diǎn)A、C重合)，求PA的長(zhǎng)．
【答案】(1)∠APB＝90°；(2)PA=32.
【解析】
(1)∵準(zhǔn)內(nèi)心P在高CD上，
∴①點(diǎn)P為∠CAD的角平分線與CD的交點(diǎn)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠PAD＝∠PAC＝30°，
∵CD為等邊三角形ABC的高，
∴AD＝3DP，AD＝BD，
與已知PD＝12AB矛盾，
∴點(diǎn)P不可能為∠CAD的角平分線與CD的交點(diǎn)，
同理可知②點(diǎn)P不可能為∠CBD的角平分線與CD的交點(diǎn)，
③∵CD⊥AB，
∴點(diǎn)P為∠BCA的平分線，
此時(shí)，點(diǎn)P到AC和BC的距離相等，
∵PD＝12AB，
∴PD＝AD＝BD，
∴∠APD＝∠BPD＝45°，
∴∠APB＝90°；

(2)∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝BC2-AB2＝4，
∵準(zhǔn)內(nèi)心在AC邊上，(不與點(diǎn)A，B重合)，
∴點(diǎn)P為∠CBA的平分線與AC的交點(diǎn)，
作PD⊥BC與點(diǎn)D，
∴PA＝PD，BD＝BA＝3，
設(shè)PA＝x，則x2+22＝(4﹣x)2，
∴x＝32，即PA＝32．

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

【典型例題】
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，則線段BD與CE有何數(shù)量關(guān)系？
拓展探究：如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜360°)，上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)就圖中給出的情況加以證明．
問(wèn)題解決：如果△ABC的邊長(zhǎng)等于2，AD＝2，直接寫(xiě)出當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)BD的長(zhǎng)．

【答案】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：BD＝CE；拓展探究：結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：BD的長(zhǎng)為2和2．
【解析】
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,BD=CE,理由是
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,
∵DE∥BC,
∴BD=CE,
拓展探究：結(jié)論仍然成立,如圖2,
由圖1得,△ADE是等邊三角形,
∴AD=AE,
由旋轉(zhuǎn)得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋轉(zhuǎn)的性質(zhì))
∴BD=CE,
問(wèn)題解決：當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí),設(shè)垂足為點(diǎn)F,此時(shí)有兩種情況:?

①如圖3,
∵△ADE是等邊三角形,AF⊥DE,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴∠BAD=30°,
過(guò)D作DG⊥AB,垂足為G,
∵AD=2,
∴DG=1,AG=,
∵AB=2,
∴BG=AB-AG=,
∴BD=2(勾股定理),
②如圖4,

同理得△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∵△ADE是等邊三角形,
∴∠ADE=60°,
∵AD=AE,DE⊥AC,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴EF=FD=AD=1,
∴AF=,
∴CF=AC+CF=2+=3,
在Rt△EFC中,EC=,
∴BD=EC=2.
綜上所述,BD的長(zhǎng)為2和2.

【變式訓(xùn)練】
如圖，兩條射線BA//CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，分別交AB，CD與點(diǎn)A，D．

(1)求∠BPC的度數(shù)；
(2)若，求AB+CD的值；
(3)若為a，為b，為c，求證：a+b=c．
【答案】(1)90°；(2)4；(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠BCD，∴∠PBC+∠PCB(∠ABC+∠BCD)=90°，∴∠BPC=90°；
(2)若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD∠BCD=30°，∴∠ABP∠ABC=60°．
在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，CP=2．在Rt△PCD中，PD，CD=3，∴AB+CD=4．
(3)如圖，作PQ⊥BC．
∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．
∴△ABP≌△BQP(AAS)．
同理△PQC≌△PCD(AAS)，∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．

【能力提升】
如圖，△ABC、△DCE、△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB= ，BC=1，連結(jié)BF，分別交AC、DC、DE于點(diǎn)P、Q、R．

(1)求證：△BFG∽△FEG
(2)求sin∠FBG的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．
【解析】
解：(1)依題可得：
BC=CE=EG=1，F(xiàn)G=AB=，
∴BG=3，
在△BFG和△FEG中，
∵，∠G=∠G，
∴△BFG∽△FEG.
(2)過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H，如圖，
，
則∠FHG=90°，
∵△FEG是等腰三角形，EG=1，
∴，
∴FH= ，
∵△BFG∽△FEG，
∴∠BFG=∠FEG=∠G，
∴BF=BG=3BC=3，
在Rt△FBH中，
∴sin∠FBG=.
對(duì)點(diǎn)精練

1．如圖，等邊的頂點(diǎn)，；規(guī)定把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2021次變換后，等邊的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( )．

A． B． C． D．
【答案】D
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)

∵等邊
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
第一次把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”，得，即；
第二次把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”，得，即；
第三次把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”，得，即；
…
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第次把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”，得
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，第次把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”，得
∵2021為奇數(shù)
∴第2021次把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”，得，即；
故選：D．
2．如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折，得到，與交于點(diǎn)F，連接．若，則點(diǎn)C到的距離為( )

A． B． C． D．
【答案】C
連接BE，延長(zhǎng)CD交BE于G點(diǎn)，過(guò)C作CH⊥AB于H，如圖所示
由折疊的性質(zhì)，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是線段BE的垂直平分線
∴BG=BE
∵D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴

故選：C．
3．在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別與邊，交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④始終為等腰直角三角形，其中正確的是( )

A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
解：連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始終為等腰直角三角形．
，
．
，
．
正確的有①②③④．
故選D．

4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是( )
①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】D
解：∵BE是AC邊的中線，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面積＝，△BCE的面積＝AB，
∴△ABE的面積＝△BCE的面積，故①正確；
∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分線，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②錯(cuò)誤；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正確；
根據(jù)已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④錯(cuò)誤；
即正確的為①③，
故選：D．
5．已知a、b為兩正數(shù)，且，則代數(shù)式最小值為( )
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
解：如圖所示，構(gòu)造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，F(xiàn)C=b，
根據(jù)勾股定理可得：AB=和AC=，

所以：
，
∴當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，即BC，
在Rt△BDC中．
故選：B
6．已知、、4分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，且、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的值等于( )
A．6 B．7 C．-7或6 D．6或7
【答案】D
解：∵a、b、4分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，
∴當(dāng)a＝4或b＝4時(shí)，即：42?6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，
此時(shí)，的兩個(gè)根為：x1=2，x2=4，符合題意；
當(dāng)a＝b時(shí)，即△＝(?6)2?4×(k＋2)＝0，解得：k＝7，
此時(shí)，的兩個(gè)根為：x1=x2=3，符合題意；
綜上所述，k的值等于6或7，
故選：D．
7．如圖，在銳角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是( )

A． B．1 C． D．
【答案】B
如圖，作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則為所求最小值．
由角平分線的性質(zhì)可知，
∴，即長(zhǎng)為所求最小值．
∵，
∴為等腰直角三角形．
∴．

故選B．
8．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則的度數(shù)為( )

A． B． C． D．
【答案】A
解：如圖，連接CG、AG，

由勾股定理得：AC2＝AG2＝12＋22＝5，CG2＝12＋32＝10，
∴AC2＋AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE(SAS)，
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC?∠DAE＝∠ACF?∠FCG＝∠ACG＝45°，
故選：A．
9．如圖，在中，，平分，于E，則下列結(jié)論中，不正確的是( )

A．平分 B． C．平分 D．
【答案】A
∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB
∴CD=ED，
∴BC=BD+CD=BD+ED
故選項(xiàng)B正確；
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AC，ED⊥AB
∴∠C=∠DEA=90゜
∴∠ADC=∠ADE
即AD平分∠EDC
故選項(xiàng)C正確；
在△ACD中，AC+CD>AD
∴ED+AC>AD
故選項(xiàng)D正確；
若DE平分∠ADB
則有∠BDE=∠ADE
∵∠ADE=∠ADC
∴∠ADE=∠ADC=∠BDE
∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜
∴∠BDE=60゜
∴∠B=90゜-∠BDE=30゜
顯然這里∠B是不一定為30゜
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．
故選：A．
10．如圖，一艘輪船在處測(cè)的燈塔在北偏西15°的方向上，該輪船又從處向正東方向行駛20海里到達(dá)處，測(cè)的燈塔在北偏西60°的方向上，則輪船在處時(shí)與燈塔之間的距離(即的長(zhǎng))為( )

A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
【答案】D
解：過(guò)作于，如圖所示：

在中，，海里，
∴(海里)，(海里)，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故選：D．

11．如圖，在正方形中，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，得到，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接，，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為_(kāi)_____時(shí)，是直角三角形．

【答案】或
①當(dāng)E在AH的上方時(shí)，且∠AEH=90，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠AEP=∠D=90，AD=AE，DP=PE，
∴∠AEP=∠AEH=90，AD=AE=AB，
∴點(diǎn)P、E、H在同一直線上，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABHRt△AEH(HL)，
∴EH=BH=3，
設(shè)DP=x，則PC=8－x，HC=8-3=5，?PH=PE+HE=x+3，
在Rt△CPH中，，即，
解得，即DP=；
②當(dāng)E在AH的下方時(shí)，且∠AEH=90，如圖：

此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴DP=；
綜上，當(dāng)DP的長(zhǎng)為或時(shí)，是直角三角形．
故答案為：或．
12．如圖，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為直角邊在的右側(cè)作等腰直角，再過(guò)點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)軸交直線和直線于，兩點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為直角邊在的右側(cè)作等腰直角，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則等腰直角的邊長(zhǎng)為_(kāi)____．(用含正整數(shù)的代數(shù)式表示)

【答案】
解：點(diǎn)在直線上，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，將代入得，
點(diǎn)坐標(biāo)為．
△為等腰直角三角形，
，
點(diǎn)坐標(biāo)為．．
過(guò)點(diǎn)作軸，
，的橫坐標(biāo)為3，將分別代入與中得，的縱坐標(biāo)分別為3，，
即，，，
．點(diǎn)坐標(biāo)為．
同理可得，
．
故答案為：．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上．若，且都是等邊三角形，從左到右的小三角形(陰影部分)的面積分別記為，則可表示為_(kāi)___．

【答案】
解：由等邊三角形可知：
A1B1∥A2B2∥…∥AnBn，
B1A2∥B2A3∥…∥BnAn+1，
∵直線yx與x軸的夾角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∴A1(1，0)，
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
可知∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n﹣1，
∴S1，S2，…，Sn＝22n﹣3．
∴當(dāng)n=2021時(shí)，
故答案為：．
14．如圖，四邊形ABCD中，ADBC，連接AC，AC⊥BC，∠BAD＝135°，E為AC上一點(diǎn)，連接BE，∠BEC＝2∠ACD，AD＝2，CE＝3，則線段BE＝__．

【答案】5
解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF//CD交BC于點(diǎn)F，作FG⊥BE于點(diǎn)G，

∵EF//CD，
∴∠FEC＝∠ACD，
∵∠BEC＝2∠ACD＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEF＝∠CEF，
∵AC⊥BC，F(xiàn)G⊥BE，
∴CF＝GF，
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝135°﹣90°＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
設(shè)AE＝x，
∴AC＝BC＝AE+EC＝x+3，
在Rt△EGF和Rt△ECF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)，
∴EG＝EC，
∵∠DAC＝∠FCE＝90°，∠ACD＝∠CEF，
∴△ADC∽△CFE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝，
∴GF＝，
∵∠BGF＝∠BCE＝90°，∠FBG＝∠EBC，
∴△BFG∽△BEC，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝2，
∴BE＝BG+GE＝BG+EC＝2+3＝5．
故答案為：5．
15．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°＜α＜90°)，直線A1C1分別交AB，AC于點(diǎn)G，H．當(dāng)△AGH為等腰三角形時(shí)，則CH的長(zhǎng)為_(kāi)____．

【答案】或1．
解：如圖1中，當(dāng)AG=AH時(shí)，

∵AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH，
∵∠A=∠A1，∠AGH=∠A1GB，
∴∠AHG=∠A1BG，
∴∠A1GB=∠A1BG，
∴A1B=A1G=5，
∴GC1=A1G-C1G=1，
∵∠BC1G=90°，
∴，
∴，，
如圖2中，當(dāng)GA=GH時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AH于M．

同法可證，GB=GA1，設(shè)GB=GA1=x，則有x2=32+(4-x)2，
解得，
∴，
∵GM∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵GA=GH，GM⊥AH，
∴AM=HM，
∴AH=3，
∴CH=AC-AM=1．
當(dāng)HG=AH時(shí)，∠HGA=∠HAG

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