定義： 將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).意義：中位數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)“中等水平”的一個代表，反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的.
求法：（1）把數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┡帕?；（2）確定這組數(shù)據(jù)的個數(shù)；（3）當數(shù)據(jù)是奇數(shù)個時，取最中間的一個數(shù)作為中位數(shù)；當數(shù)據(jù)是偶數(shù)個時，取最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù).
例1 在防治新型冠狀病毒知識問答中，10名參賽選手得分情況如下表:那么這10名選手所得分數(shù)的中位數(shù)為（ ）A.85 B.87 C.90 D.80
例1 在防治新型冠狀病毒知識問答中，10名參賽選手得分情況如下表:那么這10名選手所得分數(shù)的中位數(shù)為（ ）A.85 B.87 C.90 D.80解析 因為這組數(shù)據(jù)共有10個，按從小到大的順序排列后，第5、6個數(shù)都是90，所以中位數(shù)是90，故選C.
例1 在防治新型冠狀病毒知識問答中，10名參賽選手得分情況如下表:那么這10名選手所得分數(shù)的中位數(shù)為（ C ）A.85 B.87 C.90 D.80解析 因為這組數(shù)據(jù)共有10個，按從小到大的順序排列后，第5、6個數(shù)都是90，所以中位數(shù)是90，故選C.
例1 在防治新型冠狀病毒知識問答中，10名參賽選手得分情況如下表:那么這10名選手所得分數(shù)的中位數(shù)為（ C ）A.85 B.87 C.90 D.80解析 因為這組數(shù)據(jù)共有10個，按從小到大的順序排列后，第5、6個數(shù)都是90，所以中位數(shù)是90，故選C.點撥 求中位數(shù)時，一定要先排序，再確定數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)中位數(shù)的值不一定是原數(shù)據(jù)的值，可能相等，也可能不相等.
定義：組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
定義：組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).意義：眾數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)“大多數(shù)水平”的重要代表，在我們日常生活中，經常用眾數(shù)來解決一些實際問題.求法：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，不是該數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，若一組數(shù)據(jù)中有兩個或兩個以上數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)并列最多，則這些數(shù)據(jù)都是眾數(shù)，故眾數(shù)可能不止一個.
例2 在2019年某中學舉行的冬季田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員的成績如下表所示:這些運動員跳高成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ），1.65m ，1.70m ，1.65m ，1.60m
解析 因為數(shù)據(jù)個數(shù)為15，第8名運動員的成績處于中間位置，所以參加男子跳高的15名運動員的成績處于中間位置的數(shù)是1.65m，所以這些運動員跳高成績的中位數(shù)是1.65m.因為參加男子跳高的15名運動員的成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是1.60m，所以這些運動員跳高成績的眾數(shù)是1.60m綜上，可得這些運動員跳高成績的中位數(shù)是1.65m，眾數(shù)是1.60m.故選D.
解析 因為數(shù)據(jù)個數(shù)為15，第8名運動員的成績處于中間位置，所以參加男子跳高的15名運動員的成績處于中間位置的數(shù)是1.65m，所以這些運動員跳高成績的中位數(shù)是1.65m.因為參加男子跳高的15名運動員的成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是1.60m，所以這些運動員跳高成績的眾數(shù)是1.60m綜上，可得這些運動員跳高成績的中位數(shù)是1.65m，眾數(shù)是1.60m.故選D.點撥 眾數(shù)不一定是唯一的，但一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)值.
知識點三 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
例3 為了全面了解學生的學習、生活及家庭的基本情況，加強學校與家庭的聯(lián)系，某中學積極組織全體教師開展“課外訪萬家”活動，王老師對所在班級的全體學生進行了實地家訪，了解到每名學生家庭的相關信息，現(xiàn)從中隨機抽取15名學生家庭年收入的情況，數(shù)據(jù)如下表:（1）求這15名學生家庭年收入的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）你認為用（1）中的哪個數(shù)據(jù)來代表這15名學生家庭年收入的一般水平較為合適？請簡要說明理由.
解析 （1）這15名學生家庭年收入的平均數(shù)為（2×1+2.5×3＋3×5＋4x2＋5×2＋9×1＋13×1）÷15＝4.3（萬元）.將這15個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，最中間的數(shù)據(jù)是3，所以中位數(shù)是3萬元.在這一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是3萬元，所以眾數(shù)是3萬元.（2）用中位數(shù)或眾數(shù)來代表這15名學生家庭年收入的一般水平較為合適.理由:雖然平均數(shù)為4.3萬元，但年收入達到4.3萬元及以上的家庭只有4個，大部分家庭的年收入未達到這一水平，而中位數(shù)和眾數(shù)為3萬元，是大部分家庭可以達到的水平，因此用中位數(shù)或眾數(shù)代表這15名學生家庭年收入的一般水平較為合適.
題型一 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)與方程的綜合
例1 甲、乙、丙、丁四支足球隊在世界杯預選賽中的進球數(shù)分別為9，9，x，7，若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)恰好相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）A.10 B.9 C.8 D.7
題型二 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)在生活中的應用
例2 下表是隨機抽取的某公司部分員工的月收入資料:（1）請計算以上樣本的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）甲、乙兩人分別用樣本平均數(shù)和中位數(shù)來估計推斷公司全體員工的月收入水平，請你寫出甲、乙兩人推斷的結論；（3）指出誰的推斷比較科學合理，能真實地反映公司全體員工的月收入水平，并說出另一個人的推斷依據(jù)不能真實地反映公司全體員工月收入水平的原因.
分析 （1）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解.（2）根據(jù)表格信息，結合中位數(shù)、平均數(shù)說明即可.（3）用中位數(shù)反映該公司全體員工月收入水平較為合適，在這組數(shù)據(jù)中有極端偏大的數(shù)據(jù)，這會導致平均數(shù)較大.
易錯點一 對眾數(shù)的定義理解有誤，錯以為眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為該數(shù)據(jù)的眾數(shù)
例1 已知一組數(shù)據(jù)1，1，2，2，2，3，3，3，3，3，3，5，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
例1 已知一組數(shù)據(jù)1，1，2，2，2，3，3，3，3，3，3，5，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).分析 直接根據(jù)眾數(shù)的定義進行判斷，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
例1 已知一組數(shù)據(jù)1，1，2，2，2，3，3，3，3，3，3，5，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).分析 直接根據(jù)眾數(shù)的定義進行判斷，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).解析 ∵這組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是3.
例1 已知一組數(shù)據(jù)1，1，2，2，2，3，3，3，3，3，3，5，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).分析 直接根據(jù)眾數(shù)的定義進行判斷，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).解析 ∵這組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是3.易錯警示 眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是該數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，錯誤的原因是把數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)當成了眾數(shù)對眾數(shù)概念的理解要注意以下兩點:（1）眾數(shù)是組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)的次數(shù)；（2）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個.
易錯點二 求中位數(shù)時忽略數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)
例2 為了增強市民的環(huán)保意識，某中學八年級（二）班50名學生在今年6月5日（世界環(huán)境日）這一天調查了各自家庭丟棄廢舊塑料袋的情況，有關數(shù)據(jù)如下表:則每天丟棄廢舊塑料袋的個數(shù)的中位數(shù)是__________.

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