?
2022學(xué)年山東省菏澤市定陶縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、精挑細(xì)選，火眼金睛（每小題3分，共24分）
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，則下列結(jié)論不正確的是（　　）

　 A． BC=2DE B． △ADE∽△ABC C． = D． S△ABC=3S△ADE
　
2．兩個相似三角形的對應(yīng)邊分別是15cm和23cm，它們的周長相差40cm，則這兩個三角形的周長分別是（　　）
　 A． 75cm，115cm B． 60cm，100cm C． 85cm，125cm D． 45cm，85cm
　
3．按如下方法，將△ABC的三邊縮小的原來的，如圖，任取一點O，連AO、BO、
CO，并取它們的中點D、E、F，得△DEF，則下列說法正確的個數(shù)是（　?。?br /> ①△ABC與△DEF是位似圖形 ②△ABC與△DEF是相似圖形
③△ABC與△DEF的周長比為1：2 ④△ABC與△DEF的面積比為4：1．

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
　
4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B=40°，則∠ACD的度數(shù)是（　?。?br />
　 A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°
　
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（　?。?br /> 　 A． 銳角三角形 B． 直角三角形 C． 鈍角三角形 D． 等腰三角形
　
6．如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA=8，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長是（　　）

　 A． 8 B． 18 C． 16 D． 14
　
7．半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（　?。?br /> 　 A． 1：： B． ：：1 C． 3：2：1 D． 1：2：3
　
8．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積是（　?。?br />
　 A． π B． 1.5π C． 2π D． 2.5π
　
　
二、認(rèn)真填寫，試一試自己的身手（每小題3分，共18分）
9．在相似三角形中，已知其中一個三角形三邊的長是4，6，8．另一個三角形的最小邊長是2，則另一個三角形的周長是　　　　　?。?br /> 　
10．已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物體送到離地面5米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為　　　　　?。?br /> 　
11．△ABC三個頂點A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），則△A′B′C′與△ABC的位似比是　　　　　?。?br /> 　
12．如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，則AB的長為　　　　　?。?br />
　
13．一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為　　　　　?。?br /> 　
14．如圖，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A的對應(yīng)點A′落在AB邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動，則點B轉(zhuǎn)過的路徑長為　　　　　?。ńY(jié)果保留π）．

　
三、認(rèn)真解答，一定要細(xì)心．（滿分38分，要寫出必要的計算推理、解答過程）
15．計算：
（1）sin45°?cos45°+tan60°?sin60?
（2）sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．
　
16．如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對．

　
17．用反證法證明：在△ABC中，如果M、N分別是邊AB、AC上的點，那么BN、CM不能互相平分．
　
18．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，AB=DC，△ABC與△DCB全等嗎？為什么？

　
　
四、綜合解答題（本題4小題，滿分40分，要寫出必要的計算、推理、解答過程）
19．如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
（1）畫出位似中心點O；
（2）直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O為坐標(biāo)原點，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫出△A′B′C′關(guān)于點O中心對稱的△A″B″C″，并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標(biāo)．

　
20．已知：如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是優(yōu)弧AB上的一點，BD∥OA，交CA延長線于點D，連接BC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半徑．

　
21．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C移動，點Q從C出發(fā)，以1cm/s的速度向A移動，若P、Q分別從B、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts，當(dāng)為何值時，△CPQ與△CBA相似？

　
22．如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心O，支架CD與水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根輔助支架DE=76厘米，∠CED=60°．
（1）求垂直支架CD的長度；（結(jié)果保留根號）
（2）求水箱半徑OD的長度．（結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.73）

　
　

2022學(xué)年山東省菏澤市定陶縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、精挑細(xì)選，火眼金睛（每小題3分，共24分）
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，則下列結(jié)論不正確的是（　?。?br />
　 A． BC=2DE B． △ADE∽△ABC C． = D． S△ABC=3S△ADE

考點： 三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)三角形的中位線定理得出DE是△ABC的中位線，再由中位線的性質(zhì)得出△ADE∽△ABC，進(jìn)而可得出結(jié)論．
解答： 解：∵在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴BC=2DE，
故A正確；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故B正確；
∴=，故C正確；
∵DE是△ABC的中位線，
∴AD：BC=1：2，
∴S△ABC=4S△ADE
故D錯誤．
故選D．
點評： 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理，熟記以上知識是解答此題的關(guān)鍵．
　
2．兩個相似三角形的對應(yīng)邊分別是15cm和23cm，它們的周長相差40cm，則這兩個三角形的周長分別是（　?。?br /> 　 A． 75cm，115cm B． 60cm，100cm C． 85cm，125cm D． 45cm，85cm

考點： 相似三角形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)題意兩個三角形的相似比是15：23，可得周長比為15：23，計算出周長相差8份及每份的長，可得兩三角形周長．
解答： 解：根據(jù)題意兩個三角形的相似比是15：23，周長比就是15：23，
大小周長相差8份，所以每份的周長是40÷8=5cm，
所以兩個三角形的周長分別為5×15=75cm，5×23=115cm．故選A．
點評： 本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解：
（1）相似三角形周長的比等于相似比；
（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．
　
3．按如下方法，將△ABC的三邊縮小的原來的，如圖，任取一點O，連AO、BO、
CO，并取它們的中點D、E、F，得△DEF，則下列說法正確的個數(shù)是（　?。?br /> ①△ABC與△DEF是位似圖形 ②△ABC與△DEF是相似圖形
③△ABC與△DEF的周長比為1：2 ④△ABC與△DEF的面積比為4：1．

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考點： 位似變換．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①△ABC與△DEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出 ②△ABC與△DEF是相似圖形，再根據(jù)周長比等于位似比，以及根據(jù)面積比等于相似比的平方，即可得出答案．
解答： 解：根據(jù)位似性質(zhì)得出①△ABC與△DEF是位似圖形，
②△ABC與△DEF是相似圖形，
∵將△ABC的三邊縮小的原來的，
∴△ABC與△DEF的周長比為2：1，
故③選項錯誤，
根據(jù)面積比等于相似比的平方，
∴④△ABC與△DEF的面積比為4：1．
故選C．
點評： 此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
　
4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B=40°，則∠ACD的度數(shù)是（　?。?br />
　 A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°

考點： 圓周角定理．
分析： 首先連接AD，由直徑所對的圓周角是直角，∠CAD=90°，又由圓周角定理，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得答案．
解答： 解：連接AD，如圖所示，

∵CD是直徑，
∴∠CAD=90°，
∵∠D=∠B=40°，
∴∠ACD=90°﹣∠D=50°．
故選B．
點評： 此題考查了圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（　?。?br /> 　 A． 銳角三角形 B． 直角三角形 C． 鈍角三角形 D． 等腰三角形

考點： 特殊角的三角函數(shù)值．
分析： 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進(jìn)行判斷．
解答： 解：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．
∴△ABC為銳角三角形．
故選A．
點評： 本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．
　
6．如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA=8，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長是（　?。?br />
　 A． 8 B． 18 C． 16 D． 14

考點： 切線長定理．
分析： 由PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，根據(jù)切線長定理可得：PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，繼而可得△PCD的周長=PA+PB．
解答： 解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，
∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周長=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．
故選：C．
點評： 此題考查了切線長定理．此題難度不大，注意從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．
　
7．半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（　?。?br /> 　 A． 1：： B． ：：1 C． 3：2：1 D． 1：2：3

考點： 正多邊形和圓．
專題： 壓軸題．
分析： 從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形可得．
解答： 解：設(shè)圓的半徑是r，
則多邊形的半徑是r，
則內(nèi)接正三角形的邊長是2rsin60°=r，
內(nèi)接正方形的邊長是2rsin45°=r，
正六邊形的邊長是r，
因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為：：1．
故選B．
點評： 正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．
　
8．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積是（　?。?br />
　 A． π B． 1.5π C． 2π D． 2.5π

考點： 扇形面積的計算；多邊形內(nèi)角與外角．
專題： 壓軸題．
分析： 圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，那么根據(jù)扇形的面積2公式計算即可．
解答： 解：圖中五個扇形（陰影部分）的面積是=1.5π
故選B．
點評： 解決本題的關(guān)鍵是把陰影部分當(dāng)成一個扇形的面積來求，圓心角為五邊形的內(nèi)角和．
　
二、認(rèn)真填寫，試一試自己的身手（每小題3分，共18分）
9．在相似三角形中，已知其中一個三角形三邊的長是4，6，8．另一個三角形的最小邊長是2，則另一個三角形的周長是　9?。?br />
考點： 相似三角形的性質(zhì)．
分析： 由在相似三角形中，已知其中一個三角形三邊的長是4，6，8．另一個三角形的最小邊長是2，即可求得其中一個三角形的周長，由相似三角形的周長的比等于相似比，即可求得答案．
解答： 解：∵一個三角形三邊的長是4，6，8，
∴這個三角形的周長為：4+6+8=18，
∵在相似三角形中，另一個三角形的最小邊長是2，
∴它們周長的比為：4：2=2：1，
∴另一個三角形的周長是9．
故答案為：9．
點評： 此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．
　
10．已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物體送到離地面5米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為　13m　．

考點： 解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．
分析： 首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．
解答： 解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=5米，AE⊥BD，
∵i==，
∴BE=12米，
∴在Rt△ABE中，AB==13（米）．
故答案為：13m．

點評： 此題考查了坡度坡角問題．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義．
　
11．△ABC三個頂點A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），則△A′B′C′與△ABC的位似比是　1：3　．

考點： 位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
分析： 由△ABC三個頂點A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求得△A′B′C′與△ABC的位似比．
解答： 解：∵△ABC三個頂點A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），
∴△A′B′C′與△ABC的位似比是：1：3．
故答案為：1：3．
點評： 此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意以原點為位似中心的位似圖形的位似比是對應(yīng)點的對應(yīng)坐標(biāo)的比．
　
12．如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，則AB的長為　3+?。?br />

考點： 解直角三角形．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據(jù)含30度角的直角三角形求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
解答： 解：過C作CD⊥AB于D，

∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+．
故答案為：3+．
點評： 本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．
　
13．一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為　72°或108°?。?br />
考點： 圓心角、弧、弦的關(guān)系．
分析： 先求出這條弦所對圓心角的度數(shù)，然后分情況討論這條弦所對圓周角的度數(shù)．
解答： 解：如圖，連接OA、OB．
弦AB將⊙O分為2：3兩部分，
則∠AOB=×360°=144°；
∴∠ACB=∠AOB=72°，
∠ADB=180°﹣∠ACB=108°；
故這條弦所對的圓周角的度數(shù)為72°或108°．

點評： 此題考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；需注意的是在圓中，一條弦（非直徑）所對的圓周角應(yīng)該有兩種情況，不要漏解．
　
14．如圖，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A的對應(yīng)點A′落在AB邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動，則點B轉(zhuǎn)過的路徑長為　2π?。ńY(jié)果保留π）．


考點： 弧長的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析： 點B轉(zhuǎn)過的路徑長是以點C為圓心，BC為半徑，旋轉(zhuǎn)角度是60度，根據(jù)弧長公式可得．
解答： 解：∵AC=A′C，且∠A=60°
∴△ACA′是等邊三角形．
∴∠ACA′=60°即旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠BCB′=60°，
∴點B轉(zhuǎn)過的路徑長是：=2π．
故答案為：2π．
點評： 本題的關(guān)鍵是弄清所求的是那一段弧長，圓心用半徑，圓心角分別是多少，然后利用弧長公式求解．
　
三、認(rèn)真解答，一定要細(xì)心．（滿分38分，要寫出必要的計算推理、解答過程）
15．計算：
（1）sin45°?cos45°+tan60°?sin60?
（2）sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．

考點： 特殊角的三角函數(shù)值．
分析： （1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可；
（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可．
解答： 解：（1）原式=×+×=2；

（2）原式=﹣++﹣
=1﹣．
點評： 此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
　
16．如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對．


考點： 相似三角形的判定．
分析： 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠AFM=∠BMG，再根據(jù)相似三角形的判定推出即可．
解答： 答：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，
證明：∵∠DME=∠A=∠B，
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM．
點評： 本題考查了相似三角形的判定和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力，用到的知識點是有兩角相等的兩個三角形相似，難度適中．
　
17．用反證法證明：在△ABC中，如果M、N分別是邊AB、AC上的點，那么BN、CM不能互相平分．

考點： 反證法．
專題： 證明題．
分析： 首先假設(shè)BN、CM能互相平分，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)而求出即可．
解答： 已知在△ABC中，M、N分別是邊AB、AC上的點，
求證：BN、CM不能互相平分．
證明：假設(shè)BN、CM能互相平分，則四邊形BCNM為平行四邊形，
則BM∥CN，即：AB∥AC，這與在△ABC中，AB、AC交于A點相矛盾，
所以BN、CM能互相平分結(jié)論不成立，
故BN、CM不能互相平分，
點評： 此題主要考查了反證法，正確掌握反證法的步驟是解題關(guān)鍵．
　
18．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，AB=DC，△ABC與△DCB全等嗎？為什么？


考點： 圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定；圓周角定理．
專題： 探究型．
分析： 要證明△ABC與△DCB全等，已知的條件是AB=DC，那么他們所對的弧就相等，那么優(yōu)弧ADC=優(yōu)弧BAD，∠ABC=∠BCD，又因為∠A，∠D所對的是同一條弦，那么可得出∠A=∠D，這樣就構(gòu)成了ASA，可以確定其全等．
解答：解：△ABC與△DCB全等．
證明：∵圓周角∠A，∠D所對的是同一條弦，那么∠A=∠D
∵AB=CD，∴劣弧AB=劣弧CD
∴優(yōu)弧ADC=優(yōu)弧BAD
∴∠ABC=∠BCD
又∵AB=CD，
∴△ABC與△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）．

點評： 本題考查了全等三角形的判定．要注意本題中圓周角定理的應(yīng)用．
　
四、綜合解答題（本題4小題，滿分40分，要寫出必要的計算、推理、解答過程）
19．如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
（1）畫出位似中心點O；
（2）直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O為坐標(biāo)原點，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫出△A′B′C′關(guān)于點O中心對稱的△A″B″C″，并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標(biāo)．


考點： 作圖-位似變換．
專題： 作圖題；壓軸題．
分析： （1）連接CC′并延長，連接BB′并延長，兩延長線交于點O；
（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC與△A′B′C′的位似比為2：1；
（3），連接B′O并延長，使OB″=OB′，延長A′O并延長，使OA″=OA′，C′O并延長，使OC″=OC′，連接A″B″，A″C″，B″C″，則△A″B″C″為所求，從網(wǎng)格中即可得出△A″B″C″各頂點的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）圖中點O為所求；
（2）△ABC與△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″為所求；
A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）．

點評： 此題考查了作圖﹣位似變換，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
　
20．已知：如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是優(yōu)弧AB上的一點，BD∥OA，交CA延長線于點D，連接BC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半徑．


考點： 切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形．
專題： 計算題；證明題．
分析： （1）連接OB，如圖．根據(jù)題意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．則∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．從而得出CD是⊙O的切線．
（2）作OE⊥AC于點E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．
解答： （1）證明：連接OB，如圖．
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠1=∠OAB=45°．
∵AO∥DB，
∴∠2=∠OAB=45°．
∴∠1+∠2=90°．
∴BD⊥OB于B．
∴又點B在⊙O上．
∴BD是⊙O的切線．

（2）解：作OE⊥AC于點E．
∵OE⊥AC，AC=，
∴AE==．
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．
∴在Rt△OAE中，
解法二：如圖
延長AO與⊙O交于點F，連接FC．
∴∠ACF=90°．
在Rt△ACF中，．
∴AO==4．


點評： 本以考查了切線的判定和性質(zhì)，以及解直角三角形，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
　
21．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C移動，點Q從C出發(fā)，以1cm/s的速度向A移動，若P、Q分別從B、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts，當(dāng)為何值時，△CPQ與△CBA相似？


考點： 相似三角形的判定．
專題： 動點型．
分析：分CP和CB是對應(yīng)邊，CP和CA是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解．
解答： 解：CP和CB是對應(yīng)邊時，△CPQ∽△CBA，
所以，=，
即=，
解得t=4.8；
CP和CA是對應(yīng)邊時，△CPQ∽△CAB，
所以，=，
即=，
解得t=．
綜上所述，當(dāng)t=4.8秒或秒時，△CPQ與△CBA相似．
點評： 本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，難點在于分情況討論．
　
22．如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心O，支架CD與水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根輔助支架DE=76厘米，∠CED=60°．
（1）求垂直支架CD的長度；（結(jié)果保留根號）
（2）求水箱半徑OD的長度．（結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.73）


考點： 解直角三角形的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： （1）首先弄清題意，了解每條線段的長度與線段之間的關(guān)系，在△CDE中利用三角函數(shù)sin60°=，求出CD的長．
（2）首先設(shè)出水箱半徑OD的長度為x厘米，表示出CO，AO的長度，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CO=AO，再代入數(shù)計算即可得到答案．
解答： 解：（1）∵DE=76厘米，∠CED=60°，
∴sin60°==，
∴CD=38cm．

（2）設(shè)水箱半徑OD的長度為x厘米，則CO=（38+x）厘米，AO=（150+x）厘米，
∵∠BAC=30°，
∴CO=AO，
38+x=（150+x），
解得：x=150﹣76=150﹣131.48≈18.5cm．
點評： 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系，做題的關(guān)鍵是表示出線段的長后，理清線段之間的關(guān)系．

相關(guān)試卷

2017-2018學(xué)年山東省菏澤市定陶縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）：

這是一份2017-2018學(xué)年山東省菏澤市定陶縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版），共19頁。試卷主要包含了精挑細(xì)選，火眼金睛，認(rèn)真填寫，試一試自己的身手，認(rèn)真解答，一定要細(xì)心！等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【解析版】菏澤市定陶縣2022學(xué)年七年級下期末數(shù)學(xué)試卷：

這是一份【解析版】菏澤市定陶縣2022學(xué)年七年級下期末數(shù)學(xué)試卷，共15頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【解析版】2022年菏澤市定陶縣八年級下期末數(shù)學(xué)試卷：

這是一份【解析版】2022年菏澤市定陶縣八年級下期末數(shù)學(xué)試卷，共14頁。試卷主要包含了選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2017-2018學(xué)年山東省菏澤市定陶縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2017-2018學(xué)年山東省菏澤市定陶縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）
山東省菏澤市定陶縣2017-2018學(xué)年八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） - 副本

山東省菏澤市定陶縣2017-2018學(xué)年八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） - 副本
山東省菏澤市定陶縣2017-2018學(xué)年七年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

山東省菏澤市定陶縣2017-2018學(xué)年七年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）
2020-2021學(xué)年山東省菏澤市定陶縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年山東省菏澤市定陶縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部