【知識清單】
圖1
1、三角形三邊垂直平分線性質(zhì)：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.當(dāng)三角形是銳角三角形時，交點(diǎn)在其內(nèi)部；當(dāng)三角形
是鈍角三角形時，交點(diǎn)在其外部；當(dāng)三角形是直角三角形時，交點(diǎn)
在其斜邊的中點(diǎn)上.
2、線段的垂直平分線的作法及其作用.
(1)線段的垂直平分線的作法：
已知：線段AB(如圖1所示)，求作線段AB的垂直平分線.
作法：①分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于的長為半徑作弧，
兩弧交于點(diǎn)C和D；
②作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線(直線CD與AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)).
(2)這個基本作圖的另一個作用就是找已知線段的中點(diǎn).
【經(jīng)典例題】
例題1圖
例題1圖
例題1、如圖所示，A、B、C三點(diǎn)表示三個村莊的地理位置．為了解決吃水難的問題，自來水公司決定在三個村建廠，要求自來水廠到三個村的距離相等．請你設(shè)計出自來水廠O點(diǎn)的位置，并說明理由．

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的作法和應(yīng)用．
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，作出AB，BC的垂直平分線，兩條直線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O位置即可確定．
【解答】連接AB、AC、BC，
作AB、BC的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)O，
點(diǎn)O就是自來水廠的位置.
根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB=OC．
【點(diǎn)評】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出O點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．
例題2圖
例題2、如圖，已知線段a，m(m>2a).
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，周長為m.
【考點(diǎn)】 基本作圖．
例題2圖①
【分析】本題的關(guān)鍵是求腰長，腰長.在線段m上作出長為(ma)的線段，然后，再作出該線段的垂直平分線找到中點(diǎn)，從而作出長為(ma)的線段，即為腰長.再根據(jù)已知兩腰長和底邊長作出等腰三角形△ABC．
【解答】作法：如圖①(1)作射線EF，
(2)在射線EF是截取EH=m，EG=a，
(3)作GH的垂直平分線PQ，交GH于點(diǎn)D，
(4)如圖②，作線段BC=a， 分別以點(diǎn)B和C為圓心，
以GD的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A；
第2題圖②
(5)連接AB、AC，△ABC為所作的三角形.
例題2圖②
證明：∵EH=m， EG=a，
∴GH=EHEG=ma，
∵PQ是GH的垂直平分線，交GH于點(diǎn)D，
∴GD=HD=(ma)，
∵AB=AC=GD=(ma)，BC=a，
∴△ABC的周長為AB+AC+BC=(ma)+ (ma)+a=m.
【點(diǎn)評】作圖題重在分析，關(guān)鍵是將復(fù)雜的作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖
【夯實(shí)基礎(chǔ)】
1、如圖，AC垂直平分BC，垂足為D，下列結(jié)論不一定成立的是( )
第1題圖
A．AB=AC B．AD平分∠BEC C．△ABE≌△ACE D．AB=BC
第2題圖
2、如圖，在△ABC中，∠B=22.5°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若BE=2，
∠ACB: ∠ECB=3:1，則AC的長為( )
A．2 B． C． D．4
3、如圖，在△ABC中，AB的中垂線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果AC+BC=20，則△BDC的周長為( )
第4題圖
第3題圖
A．10 B．15 C．20 D．30

第7題圖
4、如圖所示，在△ABC中，邊AC的垂直平分線DE交線段AB于點(diǎn)D，∠A=56°，
則∠BDC=( )
A．56° B．112° C．126° D．140°
5、已知點(diǎn)P是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離為5，則用線段PA、PB、PC組成的三角形的周長為 ．
6、已知O是銳角△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，且∠BAC=70°，則∠BOC= ．
7、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則∠B= ．
8、如圖，已知線段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，BC上的高為h.
第8題圖
第9題圖
9、如圖，已知：在△ABC中，AB，BC邊上的垂直平分線相交于點(diǎn)P，
求證：點(diǎn)P在AC的垂直平分線上．
【提優(yōu)特訓(xùn)】
10、如圖，已知點(diǎn)O是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接OA、OB、OC，若∠BAO=14°，則∠ACB等于( )
第10題圖
A．96° B．86° C．78° D．76°
第11題圖
11、如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=8，則AB的長為( )
A． B．4+ C． D．12
12、已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交線段AC于D，若△ABC和△DBC
的周長分別是68cm和50cm，則△ABC的腰長和底邊BC的長分別是( )
A．18 cm和36 cm B．18 cm和32 cm
C．32 cm和18 cm D．16 cm和38 cm
13、如圖所示，A，B是直線l外兩點(diǎn)，在l上求作一點(diǎn)P，使PA＋PB最小，其作法是( )
第13題圖
A．連接BA并延長與l的交點(diǎn)為P
B．連接AB，并作線段AB的垂直平分線與l的交點(diǎn)為P
C．過點(diǎn)B作l的垂線，垂線與l的交點(diǎn)為P
D．過點(diǎn)A作l的垂線段AO，O是垂足，延長AO到A′，
使A′O=AO，再連接A′B，則A′B與l的交點(diǎn)為P
14、如圖，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂線，交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，若AE是∠BAC的平分線，則∠B= .
第16題圖
第15題圖
第14題圖
15、已知如圖，在△ABC中，BC=21，AB的中垂線交BC于P，AC的中垂線交BC于Q，則
△APQ的周長 .
16、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB
為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有 個.
17、為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個醫(yī)療點(diǎn)P，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會所在地的距離都相等(A、B、C不在同一直線上，地理位置如下圖).
(1)請你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位置．(要求：寫出已知、求作；不寫作法，保留作
圖痕跡)；
(2)若兩村之間距離分別為：AB=5km，AC=5km，BC=6km，求醫(yī)療點(diǎn)P到各村的距離.
第17題圖


第18題圖
18、如圖， 在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90o，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作CE的垂線，垂足為點(diǎn)G，與過點(diǎn)A與BC的平行的直線相交于點(diǎn)D，
(1)求證：BE=AD；
(2)求證：AC是線段ED的垂直平分線；
(3)試問△DBC是等腰三角形嗎?并說明理由.
【中考鏈接】
19、(2020?吉林長春)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．按下列步驟作圖：
①分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC一半的長為半徑作圓弧，
②作直線MN，與邊AB相交于點(diǎn)D，連結(jié)CD．
下列說法不一定正確的是( )
A．∠BDN=∠CDN B．∠ADC=2∠B
第20題圖
第19題圖
C．∠ACD=∠DCB D．2∠B+∠ACD=90°

第19題圖
20、(2020?哈爾濱)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B'，則∠CA B'的度數(shù)為( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
第22題圖
21、 (2020?湖北十堰)如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線．若AE?3，△ABD的周長
為13，則△ABC的周長為 ．
第21題圖


22、(2020?湖南永州)∠AOB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且∠AOB=60°，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P(4，3)，M，N分別是OA，OB邊上的動點(diǎn)，連接PM，PN，MN，則△PMN的周長的最小值是 ．

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3 線段的垂直平分線

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