【知識與技能】
了解勾股定理的逆定理.
【過程與方法】
1.經(jīng)歷探究勾股定理的逆定理的過程,發(fā)展學生的邏輯思維能力和空間想象能力.
2.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探究過程,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和實事求是的求學精神.
【情感、態(tài)度與價值觀】
1.經(jīng)歷探索勾股定理的逆定理的過程,培養(yǎng)學生克服困難的勇氣和堅強的意志.
2.培養(yǎng)學生與他人合作以及交流的團隊意識.
教學重難點
【重點】
勾股定理的逆定理的探究.
【難點】
理解并掌握勾股定理的逆定理.
教學過程
一、新課導入
以下列各組線段為邊長,能構成三角形的是 (填序號),能構成直角三角形的是 .
①3,4,5 ②1,3,4 ③4,4,6 ④6,8,10
⑤5,7,2 ⑥13,5,12 ⑦7,25,24
師:請同學們以每組數(shù)為三邊長畫出三角形,并量一量判斷它們是否是直角三角形.
師生行為:
由學生自己獨立完成,教師巡視指導學生填寫的結果.
在此活動中,教師應重點關注:
1.學生是否熟練地完成填空.
2.學生是否積極主動地完成任務.
生:能構成三角形的是①③④⑥⑦,能構成直角三角形的是:①④⑥⑦.
師:構成直角三角形的每組數(shù)中三個數(shù)之間有什么關系?
生:①④⑥⑦中的兩個數(shù)的平方和等于另一個數(shù)的平方.
師:很好!由此我們得到勾股定理的逆定理:如果三角形中的兩邊的平方和等于斜邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.
那么該如何證明呢?
(由特例猜想得到的結論,會讓一些同學產(chǎn)生疑慮,我們的猜想是否正確,必須有嚴密的推理證明過程.通過對勾股定理的逆定理的證明,還可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.)
師生行為:
讓學生試著尋找解題思路,教師可引導學生理清證明的思路.
本活動中,教師應重點關注:
1.學生能否在教師的引導下理清思路.
2.學生能否積極主動地思考問題,參與交流、討論.
師:△ABC的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2.如果△ABC是直角三角形,它應與直角邊是a、b的直角三角形能夠重合,實際情況是這樣嗎?
我們畫一個直角三角形A'B'C',使B'C'=a,A'C'=b,∠C'=90°(如圖),把畫好的△A'B'C'剪下,放在△ABC上,它們能重合嗎?
生:通過操作我們發(fā)現(xiàn)兩個三角形能重合,∠C=∠C'=90°,所以△ABC為直角三角形.
所以勾股定理的逆定理得論.
師:滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù).
二、例題講解
【例1】 根據(jù)下列條件,分別判斷以a、b、c為邊的三角形是不是直角三角形.
(1)a=7,b=24,c=25;
(2)a=,b=1,c=.
【答案】 (1)∵72+242=252,∴以7、24、25為邊的三角形是直角三角形. (2)∵()2+()2=≠12,∴以、1、為邊的三角形不是直角三角形.
【例2】 已知△ABC的三條邊長分別為a、b、c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m、n是正整數(shù)).△ABC是直角三角形嗎?請說明理由.
【答案】 ∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m、n是正整數(shù)),∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2.∴△ABC是直角三角形.
【例3】 將一根30米長的細繩折成3段,圍成一個三角形,其中一條邊的長度比較短邊長7米,比較長邊短1米,請你判斷這個三角形的形狀.
分析:(1)若判斷三角形的形狀,先求三角形的三邊長;
(2)設未知數(shù)列方程,求出三角形的三邊長分別為5、12、13;
(3)根據(jù)勾股定理的逆定理,由52+122=132,知三角形為直角三角形.
解略.
【例4】 一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角.工人師傅量出了這個零件各邊的尺寸,那么這個零件符合要求嗎?
分析:這是一個利用勾股定理的逆定理判定直角三角形解決實際問題的例子.
【答案】 在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以△ABD是直角三角形,∠A是直角.
在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=132=CD2,所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角.
因此這個零件符合要求.
【例5】 判斷以a=10、b=8、c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形.
解:因為a2+b2=100+64=164≠c2,
即a2+b2≠c2,所以以a、b、c為邊不能組成直角三角形.
請問:上述解法對嗎?為什么?
【答案】 上述解法是不對的.因為a=10,b=8,c=6,b2+c2=64+36=100=102=a2,即b2+c2=a2.所以由a、b、c組成的三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,利用勾股定理可知a、b、c可構成直角三角形的三邊,其中a是斜邊,b、c是兩直角邊.
評注:在解題時,我們不能簡單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方,而應先判斷哪一條邊有可能作為斜邊.往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和.
三、鞏固練習
1.一根24米長的繩子,折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形,則三邊長分別為 ,此三角形的形狀為 .
【答案】 6米,8米,10米 直角三角形
2.一根12米長的電線桿AB,用鐵絲AC、AD固定,現(xiàn)已知用去鐵絲AC=15米,AD=13米,又測得地面上B、C兩點之間距離是9米,B、D兩點之間距離是5米,則電線桿和地面是否垂直,為什么?
【答案】 △ABC、△ABD都是直角三角形,AB和地面垂直.
3.如圖,小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地,種了一些蔬菜,爸爸讓小明計算一下土地的面積,以便計算一下產(chǎn)量.小明找了一卷米尺,測得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90°,請你幫小明計算一下.
【答案】 提示:連接AC.AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此∠CAD=90°,S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=36平方米.
四、課堂小結
1.同學們對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認識?
2.勾股定理的逆定理及其應用,熟記幾組勾股數(shù).

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2 一定是直角三角形嗎

版本： 北師大版

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