第二章測評 高中數(shù)學新北師大版必修第二冊（2022學年）

這是一份第二章測評 高中數(shù)學新北師大版必修第二冊（2022學年），共9頁。
第二章測評(時間:120分鐘　滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)1.已知在?ABCD中，=(2，8)，=(-3，4)，則= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-1，-12) B.(-1，12)C.(1，-12) D.(1，12)【解析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以=(-1，12).【答案】B2.如果a，b是兩個單位向量，那么下列四個結論中正確的是(　　)A.a=b B.a·b=1C.a=-b D.|a|=|b|【解析】兩個單位向量的方向不一定相同或相反，所以選項A，C不正確;由于兩個單位向量的夾角不確定，則a·b=1不成立，所以選項B不正確;|a|=|b|=1，則選項D正確.【答案】D3.如圖，a-b等于(　　)A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】a-b=e1-3e2.【答案】C 4.如圖，正方形ABCD中，點E，F分別是DC，BC的中點，那么=(　　)A.B.-C.-D.【解析】).【答案】D5.已知A船在燈塔C北偏東70°方向2 km處，B船在燈塔C北偏西50°方向3 km處，則A，B兩船的距離為(　　)A. kmB. kmC.(+1) kmD.(-1) km【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標系中作示意圖，如圖所示，易知在△ABC中，BC=3，AC=2，∠BCA=120°，故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA，解得AB2=19，則AB=.故選A.【答案】A6.已知a，b，c是共起點的向量，a，b不共線，且存在m，n∈R使c=ma+nb成立，若a，b，c的終點共線，則必有????????????? (　　)A.m+n=0 B.m-n=1C.m+n=1 D.m+n=-1【解析】設=a，=b，=c，因為a、b、c的終點共線，所以設=λ，即=λ()，所以=(1-λ)+λ，即c=(1-λ)a+λb.又c=ma+nb，所以所以m+n=1.【答案】C7.在100 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°和60°，則塔高是(　　)A. m B. mC. m D. m【解析】如圖所示，山高為AB=100 m，塔高為CD，根據(jù)題意可知∠BCA=60°，∠CBD=30°.在Rt△ABC中，BC=，在△BCD中，∠CBD=∠BCD=30°，∠BDC=120°，由正弦定理得，CD=.故選D.【答案】D8.已知||=||=||=1，D為BC的中點，且||=，則的最大值為(　　)A. B. C. D.2【解析】因為||=||=||=1，所以A，B，C在以O為圓心半徑為1的圓上.以O為原點，OD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，因為||=，||=1，D為BC的中點，所以|OD|=，則B-，-，C，-，D0，-，設A(x，y)，則=-x，--y，=(，0)，所以=-x，因為-1≤x≤1，當A與E重合，即x=-1時，的最大值為.故選C.【答案】C二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分)9.已知△ABC的面積為，且b=2，c=，則A=(　　)A.30° B.60° C.150° D.120°【解析】因為S=bcsin A=，所以×2×sin A=，所以sin A=，因為0°<A<180°，所以A=60°或120°.故選BD.【答案】BD10.下列命題中，正確的是(　　)A.對于任意向量a，b，有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0，則a=0或b=0C.對于任意向量a，b，有|a·b|≤|a||b|D.若a，b共線，則a·b=±|a||b|【解析】由向量加法的三角形法則可知A正確;當a⊥b時，a·b=0，故B錯誤;因為|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|，故C正確;當a，b共線同向時，a·b=|a||b|cos 0°=|a||b|，當a，b共線反向時，a·b=|a||b|cos 180°=-|a||b|，故D正確.故選ACD.【答案】ACD11.(2020福建寧化第一中學高一月考)在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中恰有一解的是(　　)A.b=7，c=3，C=B.b=5，c=6，C=C.a=6，b=3，B=D.a=20，b=15，B=【解析】A選項，因為C=，為銳角，c=3<bsin C=，所以三角形無解;B選項，因為C=，為銳角，c=6>b=5，所以三角形有一解;C選項，因為B=，為銳角，b=3=asin B=3，所以三角形有一解;D選項，因為B=，為銳角，b=15>asin B=10，所以三角形有兩解.故選BC.【答案】BC12.在△ABC中，下列結論正確的是(　　)A.B.<||·||C.若()·()=0，則△ABC為等腰三角形D.若>0，則△ABC為銳角三角形【解析】，故A錯誤;設θ為向量的夾角，因為=||·||·cos θ，而cos θ<1，故<||·||，故B正確;()·()==0，故||=||，所以△ABC為等腰三角形，故C正確;取A=B=，C=，滿足=||||cos A>0，但△ABC為鈍角三角形，故D錯誤.故選BC.【答案】BC三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若(a+b)∥c，則m=　　　　，|b+c|=　　　　. 【解析】因為a=(2，-1)，b=(-1，m)，所以a+b=(1，m-1).因為(a+b)∥c，c=(-1，2)，所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.則b+c=(-2，1)，則|b+c|=.【答案】-1　14.在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，則△ABC的形狀是　　　　　. 【解析】根據(jù)余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.因為B=60°，2b=a+c，所以=a2+c2-2accos 60°，整理得(a-c)2=0，故a=c.又B=60°，所以△ABC是等邊三角形.【答案】等邊三角形15.(2019北京牛欄山一中高三期中)如圖是以C為圓心的一個圓，其中弦AB的長為2，則=　　　　. 【解析】如圖，作CD⊥AB交AB于點D，則，則=·=|2=2.【答案】216.在△ABC中，A=30°，AB=2，4≤BC2≤12，則△ABC面積的范圍是　　　　. 【解析】因為在△ABC中，A=30°，AB=2，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 30°=12+AC2-6AC，又因為4≤BC2≤12，4≤12+AC2-6AC≤12，解得0<AC≤2，或4≤AC≤6，而S△ABC=AB·AC·sin 30°=AC，所以0<S△ABC≤或2≤S△ABC≤3，故△ABC面積的范圍是(0，]∪[2，3].【答案】(0，]∪[2，3]四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知a=(1，0)，b=(2，1).(1)當k為何值時，ka-b與a+2b共線?(2)若=2a+3b，=a+mb且A，B，C三點共線，求m的值.解(1)ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).因為ka-b與a+2b共線，所以2(k-2)-(-1)×5=0，解得k=-.(2)因為A，B，C三點共線，a與b不共線，所以存在實數(shù)λ，使得=λ(λ∈R)，即2a+3b=λ(a+mb)，整理得(8，3)=(λ+2mλ，mλ)，所以解得m=.18.(12分)已知O，A，B是平面上不共線的三點，直線AB上有一點C，滿足2=0，(1)用表示;(2)若點D是OB的中點，證明四邊形OCAD是梯形.(1)解因為2=0，所以2()+()=0，2-2=0，所以=2.(2)證明如圖，=-=(2).故.即DA∥OC，且DA≠OC.故四邊形OCAD為梯形.19.(12分)(2020山東高一月考)已知長方形AOCD中，OA=3，OC=2，E為OC中點，P為AO上一點，利用向量知識判斷當點P在什么位置時，∠PED=45°.解如圖，建立平面直角坐標系，則O(0，0)，C(2，0)，D(2，3)，E(1，0).設P(0，y)，則=(1，3)，=(-1，y)，所以||=，||==3y-1.代入cos 45°=，解得y=2y=-舍去.所以當點P在靠近點A的AB的三等分處時，∠PED=45°.20.(12分)在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.(1)求sin∠ACB;(2)若D為BC的中點，求AD的長度.解(1)因為在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.所以由余弦定理可得BC==，所以由正弦定理，可得sin∠ACB=.(2)因為D為BC的中點，所以CD=BC=.又因為cos C==-，所以在△ACD中，由余弦定理可得AD==.21.(12分)為了測量兩山頂M，N之間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(如示意圖).飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括:①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出);②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.解①需要測量的數(shù)據(jù)有:A點到M，N點的俯角α1，β1;B點到M，N點的俯角α2，β2;A，B間的距離d(如圖所示).②第一步:計算AM.由正弦定理得AM=.第二步:計算AN.由正弦定理得AN=.第三步:計算MN.由余弦定理得MN=.22.(12分)(2019海南高二期末(理))如圖，在△ABC中，AB=2，AC=4，線段BC的垂直平分線交線段AC于點D，且DA-DB=1.(1)求BC的長;(2)求△BCD的面積S.解(1)依題意得DB=DC，因為AC=DA+DC=4，DA-DC=1，所以DA=，DC=DB=.在△ABD中，由余弦定理得cos A=，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=，所以BC=.(2)由(1)知cos A=，所以sin A=，在△ABC中，由正弦定理得，即sin C=，所以S=CD·BC·sin C=.