計算力專訓四十六、圓內(nèi)接四邊形的計算 牛刀小試1．（2021·寧縣南義初級中學初三月考）圓內(nèi)接四邊形中，已知，則的對角（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可．【詳解】解：∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形， ，∴180°-80°=100°．故選D．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，①圓內(nèi)接四邊形的對角互補，②圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角．2．（2021·西安交通大學附屬中學雁塔校區(qū)初三三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，．若，則的度數(shù)為（　　）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，構建方程解決問題即可．【詳解】解：設∠BAD=x，則∠BOD=2x，
∵∠BCD=∠BOD=2x，∠BAD＋∠BCD=180°，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠BAD=60°，
故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．3．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學初三期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為CD延長線上一點，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）A．130° B．120° C．80° D．60°【答案】B【解析】試題分析：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故選B．考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．4．（2021·河北裕華·石家莊外國語學校初三三模）如圖，在⊙O中，點A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，則∠α＝（　　）A．80° B．100° C．120° D．160°【答案】D【解析】【分析】在優(yōu)弧AB上任取一點D，連接AD，BD，先由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADB的度數(shù)，再由圓周角定理求出∠AOB的度數(shù)即可．【詳解】解：優(yōu)弧AB上任取一點D，連接AD，BD，．∵四邊形ACBD內(nèi)接與⊙O，∠C＝100°，∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．故選：D．【點睛】此題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓的內(nèi)接四邊形的對角互補和同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解決此題的關鍵．5．（2019·天津濱海新·初三期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB＝AD，若∠C＝68°，則∠ABD的度數(shù)為(    )A．34° B．56° C．68° D．112°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°﹣∠C＝112°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝(180°﹣∠A)＝34°，故選：A.【點睛】本題考查的圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．熟能生巧6．（2019·廣東澄海·中考模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的一個外角∠EBC＝55°，分別連接AC、BD，若AC＝AD，則∠DBC的度數(shù)為（　　）A．50° B．60° C．65° D．70°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理計算即可．【詳解】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝55°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝55°，∴∠DAC＝70°，由圓周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，故選D．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關鍵．7．（2017·天津濱海新·初三期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P是劣弧AD上任意一點，則∠ABP+∠DCP等于A．30° B．35°C．40° D．45°【答案】D【解析】試題解析：連接AC；∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接正方形， 而∠ABP=∠ACP,則 故選D.8．（2021·山東寧陽·初三期末）如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC＝40°，則∠D的度數(shù)是（    ）A．140° B．130° C．120° D．110°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，求出∠D+∠B=180°，再代入求出即可.【詳解】∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=50°，∵A、B、C、D四點共圓，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=130°，故選：B．【點睛】此題主要考查圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.9．（2021·江蘇南京一中初三月考）如圖，四邊形內(nèi)接于，與為對角線，，過點作交的延長線于點．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)結合已知條件證得，利用平角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得，利用三角形內(nèi)角和定理證得，從而證明結論．【詳解】證明：∵，∴．∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，正確的識別圖形是解題的關鍵．10．（2021·江蘇南京·初三月考）如圖，的外角的平分線與它的外接圓相交于點，連接，，過點作，交于點求證：（1）；（2）為⊙O的切線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EAM＝∠EBC．，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；（2）如圖，連接EO并延長交BC于H，連接OB，OC，推出直線EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ACBE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；（2）如圖，連接EO并延長交BC于H，連接OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直線EO垂直平分BC，∴EO⊥BC，∵EF//BC，∴EO⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF為⊙O的切線．【點睛】本題考查了切線的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的性質(zhì)定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．庖丁解牛11．（2021·江西尋烏·初三期末）（1）解方程： （2）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）136°【解析】【分析】（1）提出公因式(x-2)，將方程轉化為兩個因式的積等于零的形式，即可得出兩個一元一次方程，再求解即可；（2）先根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半求出∠BAD，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補即可求出∠BCD．【詳解】（1）解：，，∴或，解得：；（2）解：∵，∴，∵，∴，即的度數(shù)是136°．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程和圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的將方程轉化為兩個因式的積等于零的形式是解決（1）的關鍵；熟記圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解決（2）的關鍵． 

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