計算力專訓四十七、直線與圓的位置關系相關計算 牛刀小試1．（2021·河北石家莊·初三月考）如圖，在以為直徑的半圓上，是的內心，，的延長線分別交半圓于點，，，則的長為（    ）．A．5 B． C． D．5【答案】B【解析】【分析】連結OD、OE．根據(jù)三角形內心的性質得出∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．由圓周角定理得出∠C=90°，∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，進而得出∠DOB+∠AOE=90°，利用平角的定義得出∠DOE=90°，又OD=OE=AB=5，然后根據(jù)勾股定理即可求出DE．【詳解】如圖，連結OD、OE.∵I是△ABC的內心，∴∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE.∵C在以AB為直徑的半圓O上，∴∠C=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∴2∠DAB+2∠ABE=90°，∵∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，∴∠DOB+∠AOE=90°，∴∠DOE=180°?(∠DOB+∠AOE)=90°，∵OD=OE=AB=5，∴DE==故選B.【點睛】本題主要考查圓周角定理以及等腰直角三角形和勾股定理，添加合適的輔助線，構造等腰直角三角形，是解題的關鍵．2．（2021·浙江溫州·初三月考）已知點P在半徑為5cm的圓內，則點P到圓心的距離可以是　　A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關系進行判斷．【詳解】點P在半徑為5cm的圓內，點P到圓心的距離小于5cm，所以只有選項A符合，選項B、C、D都不符合；故選A．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．3．（2021·河北承德·初三二模）如圖，中，，，，將半徑是1的沿三角形的內部邊緣無滑動的滾動一周，回到起始的位置，則點所經(jīng)過的路線長是（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】構建直角三角形，利用三角函數(shù)的知識點計算即可得到結果；【詳解】如圖所示，∵中，，，，∴AC=5，又∵的半徑是1，∴CQ=1，∴，在中，，∴，∴點O經(jīng)過的路線長為；故選：A．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，結合三角函數(shù)值計算是解題的關鍵．4．（2021·寧波市惠貞書院初二期末）如圖，圓弧形彎道兩邊的直道在連接點處與彎道相切。測得，則這段圓弧彎道的度數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】取圓弧彎道的圓心點，連接，，根據(jù)切線的性質可得，利用四邊形內角和即可求解．【詳解】取圓弧彎道的圓心點，連接，，，與相切，，，在四邊形中，，則這段圓弧彎道的度數(shù)．故選C【點睛】此題主要考查切線性質、多邊形的內角和定理，熟練進行邏輯推理是解題關鍵．5．（2019·江蘇東臺市實驗中學初三期中）如圖，線段AB與⊙O相切于點B，線段AO與⊙O相交于點C，AB=12，AC=8，則⊙O半徑長為 （　）A． B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】連接，根據(jù)切線的性質求出，在中，由勾股定理即可求出的半徑長．【詳解】解：連接，切于，，，設的半徑長為，由勾股定理得：，解得．故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質和勾股定理的應用，關鍵是連半徑得出直角三角形．熟能生巧6．（2021·江蘇南京·文昌初級中學月考）若△ABC的三邊長分別為3cm、4cm、5cm，則△ABC的外接圓半徑為_________．【答案】cm．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理，得三角形是直角三角形，根據(jù)：直角三角形的外心在斜邊的中點，可求半徑．【詳解】解：因為32+42=52，所以，△ABC是直角三角形，所以，△ABC的外接圓的圓心在斜邊的中點，所以，△ABC的外接圓的半徑為cm，     故答案為：cm．【點睛】本題考查的是求三角形的外接圓的半徑，掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的外心的位置是解題關鍵．7．（2021·江蘇南京·文昌初級中學月考）如圖，直線AB與⊙O切于點A，⊙O的半徑為2，若∠OBA=30°，則AB的長為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線的性質可得∠OAB=90°，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求出OB，利用勾股定理即可求出結論．【詳解】解：∵直線AB與⊙O切于點A，∴∠OAB=90°在Rt△OAB中，∠OBA=30°，半徑OA=2∴OB=2OA=4∴AB=故答案為：．【點睛】此題考查的是切線的性質和直角三角形的性質，掌握切線的性質、30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理是解題關鍵．8．（2021·新疆初三三模）如圖，半徑為2的⊙O與含有30°角的直角三角板ABC的AC邊切于點A，將直角三角板沿CA邊所在的直線向左平移，當平移到AB與⊙O相切時，該直角三角板平移的距離為______.【答案】【解析】試題解析：根據(jù)題意畫出平移后的圖形，如圖所示：設平移后的△A′B′C′與相切于點D，連接OD，OA，AD，過O作OE⊥AD，可得E為AD的中點，∵平移前與AC相切于A點，∴OA⊥A′C,即 ∵平移前與AC相切于A點,平移后與A′B′相切于D點，即A′D與A′A為的兩條切線，∴A′D=A′A,又 ∴△A′AD為等邊三角形，∴ ∴ 在Rt△AOE中,  ∴ ∴ ∴ 則該直角三角板平移的距離為故答案為9．（2021·江蘇江都·初三月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以點A為圓心2為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM長度的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】作AB的中點E,連接EM,CE,AD根據(jù)三角形中位線的性質和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出EM和CE長，再根據(jù)三角形的三邊關系確定CM長度的范圍，從而確定CM的最小值.【詳解】解：如圖，取AB的中點E，連接CE,ME,AD,∵E是AB的中點，M是BD的中點，AD=2，∴EM為△BAD的中位線，∴ ,在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，由勾股定理得，AB= ∵CE為Rt△ACB斜邊的中線，∴,在△CEM中， ,即，∴CM的最大值為 .故答案為：.【點睛】本題考查了圓的性質，直角三角形的性質及中位線的性質，利用三角形三邊關系確定線段的最值問題，構造一個以CM為邊，另兩邊為定值的的三角形是解答此題的關鍵和難點.10．（2021·濱?？h濱淮初級中學初三月考）在矩形中，，，以為圓心畫圓，且點在⊙A內，點在⊙A外，則⊙A半徑的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】連接AC，根據(jù)矩形的性質及勾股定理先求出AC的長，然后根據(jù)點與圓的位置關系及題意直接列式求解即可．【詳解】解：連接AC，如圖，四邊形是矩形，∠D=90°，AD=BC，，，，由以為圓心畫圓，且點在⊙A內，點在⊙A外，可得：⊙A半徑的取值范圍是，故答案為．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題的關鍵．庖丁解牛11．（2021·江蘇江都·初三月考）木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑r．用角尺的較短邊緊靠⊙O，角尺的頂點B（∠B＝90°），并使較長邊與⊙O相切于點C．（1）如圖，AB＜r，較短邊AB＝8cm，讀得BC長為12cm，則該圓的半徑r為多少？（2）如果AB＝8cm，假設角尺的邊BC足夠長，若讀得BC長為acm，則用含a的代數(shù)式表示r為　   　．【答案】（1）13；（2）0＜r≤8時，r＝a；當r＞8時，r＝a 2+4【解析】【分析】（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．（2）根據(jù)切線的性質，連接OC，則OC⊥BC，連接OA，過點A作AD⊥OC于點D，在Rt△OAD中用勾股定理計算求出圓的半徑．【詳解】解：（1）如圖1，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D．則OD＝r﹣8在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122解得：r＝13；答：該圓的半徑r為13；（2）①如圖2，易知，0＜r≤8時，r＝a；②當r＞8時，如圖1：連接OC，連接OA，過點A作AD⊥OC于點D，∵BC與⊙O相切于點C，∴OC⊥BC，則四邊形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即：r2＝（r﹣8）2+a2，整理得：r＝a2+4．故答案為：0＜r≤8時，r＝a；當r＞8時，r＝a 2+4．【點睛】本題考查切線的性質及勾股定理在實際中的運用，根據(jù)已知條件作出輔助線，熟知垂徑定理的內容是解題的關鍵． 

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