計算力專訓(xùn)四十五、圓周角的計算 牛刀小試1．（2019·寧縣寧江初級中學(xué)初三月考）已知，AB為圓O的一條弦，∠AOB=80°，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為（ ）A． B． C． D．或【答案】D【解析】【分析】畫出符合題意的圖形，利用圓周角定理可得的大小，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得的大小，從而可得答案．【詳解】解：如圖，弦所對的圓周角為 四邊形為的內(nèi)接四邊形， 故選D．【點睛】本題考查的是圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2021·蘭溪市實驗中學(xué)初三月考）如圖，已知，則的度數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半求解即可．【詳解】解：∵，∴=，故選A．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理及其推論是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·哈爾濱市蕭紅中學(xué)初三月考）如圖，已知圓心角，則圓周角的度數(shù)是（      ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】同弧所對圓心角是圓周角2倍，即．【詳解】解：，．故選：．【點睛】此題主要考查圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．4．（2021·宜春市宜陽學(xué)校初三期中）如圖，以原點為圓心的圓交軸于點、兩點，交軸的正半軸于點，為第一象限內(nèi)上的一點，則的度數(shù)是（    ）A．45° B．60° C．65° D．70°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵原點為圓心的圓交軸于點、兩點，交軸的正半軸于點，即有∴，故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江門市第二中學(xué)初三月考）一副直角三角板如圖放置（），，，交于，則的度數(shù)是（    ）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得到A、B、C、D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到，然后利用三角形的外角即可求解．【詳解】∵，∴是等腰直角三角形∴∵∴A、B、C、D四點共圓，且AB為直徑∴根據(jù)圓周角定理得∴故選D．【點睛】本題考查了圓的相關(guān)知識：四點共圓，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，題目綜合性較強，熟練掌握四點共圓是本題的關(guān)鍵．熟能生巧6．（2021·常州市武進區(qū)遙觀初級中學(xué)初三月考）如圖，△ABC的三個頂點都在⊙O上，∠ACB=40°，則∠OAB=______．【答案】50°【解析】【分析】由題意根據(jù)圓周角定理得出∠AOB=3∠ACB，代入求出即可；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠OAB=∠OBA，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：根據(jù)圓周角定理得：∠AOB=2∠ACB，∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2×40°=80°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∴∠OAB=50°．故答案為： 50°．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理等知識點的應(yīng)用，能熟練地運用性質(zhì)進行推理和計算是解答此題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江臺州·初三月考）如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于點D，若☉O的半徑為2，則CD的長為_____【答案】【解析】【分析】連接OA，OC，根據(jù)∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函數(shù)即可求得CD的長.【詳解】解：連接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=，∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，故答案為.【點睛】本題考查了圓周角定理以及銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意作出常用輔助線是解題關(guān)鍵.8．（2021·寧縣南義初級中學(xué)初三月考）如圖，四邊形內(nèi)接于，，是弧的中點，，．求：（1）圓的半徑；（2）四邊形的面積．【答案】（1）5；（2）49．【解析】【分析】（1）連AC，由∠ADC=90°，得到AC為直徑，利用勾股定理求出AC，從而求出半徑；（2）根據(jù)直徑可知∠ABC=90°，再結(jié)合B是弧AC的中點，得到為等腰直角三角形，利用勾股定理可求出AB長，從而計算面積即可．【詳解】解：（1）如圖，連接AC， ∵∠ADC=90°，∴AC為直徑，∵AD=8，CD=6，∴在中，，∴圓的半徑為5；（2）∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，又∵B是弧AC的中點，∴AB=BC，即△ABC為等腰直角三角形，∴在中，，∴，∴四邊形ABCD的面積為：．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·江陰高新區(qū)實驗中學(xué)初三月考）如圖，在⊙O中．（1）若，∠ACB＝80°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為13，且BC=10，求點O到BC的距離．【答案】（1）40°；（2）12【解析】【分析】（1）根據(jù)等弧對等角、等角對等邊、三角形內(nèi)角和定理及圓周角定理可以得到解答；
（2）過O作OH垂直于BC交于H，則OH即為點O到BC的距離．由題意知三角形OBC是等腰三角形，所以可以得到BH的值，再根據(jù)勾股定理及OB=13即可得到OH的值 ．
 【詳解】解：（1）在中（2）如圖，過作交于，則OH即為點O到BC的距離，
 在中到距離為 ．【點睛】本題考查圓的應(yīng)用，主要考查垂徑定理和圓周角定理．熟練掌握與圓有關(guān)的定理和定義是解題關(guān)鍵．10．（2021·南通市東方中學(xué)初三月考）如圖，為的直徑，點在上，延長至點，使，延長與的另一個交點為，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到AC⊥BD，繼而根據(jù)DC=CB，得到AD=AB，再根據(jù)等邊對等角即可證得結(jié)論；（2）在Rt△ABC中，結(jié)合已知條件利用勾股定理可求出AC、BC的長，再利用圓周角定理結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠E=∠D，繼而根據(jù)等角對等邊進行求解即可．【詳解】（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，又∵AB=5，BC-AC=1，∴AC=3，BC=4，∵DC=BC，∴DC=4∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠E=∠D，∴CE=CD=4．【點睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，準(zhǔn)確識圖，靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵． 庖丁解牛11．（2019·山東沂源·初三二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為(   )A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】【分析】連接BD，證明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的長確定，則點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值．【詳解】解：連接AD，因為∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，因為CB＝CD，所以△CBD是等邊三角形，所以BD＝DC因為DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，因為∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2故選D．【點睛】求一個動點到定點的最小值，一般先要確定動點在一個確定的圓或圓弧上運動，當(dāng)動點與圓心及定點在一條直線上時，取最小值． 

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