專訓(xùn)五十二：圓中計算綜合（三）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊計算力提升訓(xùn)練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

計算力專訓(xùn)五十二、圓中計算綜合（三）牛刀小試1．（2019·遼寧雙臺子·初三月考）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)E在AB的延長線上，射線EM經(jīng)過點(diǎn)C，且∠ACE+∠AFO=180°.（1）求證：EM是⊙O的切線；（2）若∠A=∠E,BC=，求陰影部分的面積.（結(jié)果保留和根號）.【答案】（1）詳見解析；（2）；【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂直的定義得到∠AOF=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACE=90°+∠A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCE=90°，得到OC⊥CE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，得到△BOC是等邊三角形，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】：（1）連接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO+90°=180°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，
∴∠ACE=90°+∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠A=∠E，
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E，
∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A，
∴∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OB=BC=，
∴陰影部分的面積=，【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積計算，連接OC 是解題的關(guān)鍵．2．（2018·江蘇相城·初三期中）如圖，AM為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過⊙O上一點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）若線段CD的長為2cm，求的長度．【答案】（1）120°；（2）.【解析】【分析】（1）由AM為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OA與AM垂直，再由BD與AM垂直，得到OA與BD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由OC為角平分線得到一對角相等，以及OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)O作OE⊥BD，垂足為E，由題意可證四邊形ADEO是矩形，可得OA=DE，即可求CD=CE=2cm，可得OA=4cm，根據(jù)弧長公式可求弧AB的長度．【詳解】解：（1）∵AM為圓O的切線，∴OA⊥AM，∵BD⊥AM，∴∠OAD＝∠BDM＝90°，∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴∠AOB＝120°；（2）如圖：過點(diǎn)O作OE⊥BD，垂足為E∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴OB＝OC＝BC∵OE⊥BD，∴BE＝CE＝BC＝OA∵OE⊥BD，且OA⊥AD，BD⊥AD∴四邊形ADEO是矩形∴OA＝DE∴CD+CE＝OA＝2CE，且CD＝2cm∴CE＝2cm∴OA＝4cm∴弧AB的長度＝＝π【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2018·全國初三單元測試）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，半徑為2的⊙C，分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，得到．（1）求證：AB為⊙C的切線；（2）求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）5-.【解析】【分析】（1）解直角三角形求出BC，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形面積公式求出CF，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）分別求出△ACB的面積和扇形DCE的面積，即可得出答案．【詳解】（1）證明：過C作CF⊥AB于F，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，∴BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝5，∵△ACB的面積S＝×AB×CF＝×AC×BC，∴CF＝＝2，∴CF為⊙C的半徑，∵CF⊥AB，∴AB為⊙C的切線；（2）解：圖中陰影部分的面積＝S△ACB﹣S扇形DCE＝××2﹣ ＝5﹣π．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，扇形的面積，解直角三角形，切線的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能求出CF的長是解題關(guān)鍵．4．（2021·廣西河池·初三三模）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O直徑，延長AC至D，過D作⊙O切線，切點(diǎn)為E，且∠D＝90°，連接BE．DE＝12，（1）若CD＝4，求⊙O的半徑；（2）若AD+CD＝30，求AC的長．【答案】（1）20；（2）18.【解析】【分析】(1) （2）連接OE，作OH⊥AD于H，利用切線性質(zhì)和垂徑定理、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理即可解答；【詳解】（1）解：連接OE，作OH⊥AD于H，∵DE是⊙O的切線，∴OE⊥DE．又∵∠D＝90°，∴四邊形OHDE是矩形，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OCH中，OC2＝CH2+OH2，∴r2＝（r﹣4）2+144，∴半徑r＝20．（2）解：∵OH⊥AD，∴AH＝CH．又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，∴在Rt△OCH中，CH＝＝＝9．∴AC＝2CH＝18．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)及垂徑定理．解答此類題目的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得相關(guān)線段的長度．5．（2019·延津縣清華園學(xué)校初三期中）如圖，圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖是半圓，求：（1）圓錐的底面半徑；（2）的度數(shù)；（3）圓錐的側(cè)面積（結(jié)果保留）．【答案】（1）圓錐的底面半徑為；（2）；（3）圓錐的側(cè)面積為．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的母線長等于半圓的半徑，求得圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，再根據(jù)圓的周長公式即可求得答案；（2）根據(jù)30度角所對的直角邊為斜邊的一半，即可得解；（3）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】解：（1）∵圓錐的母線長等于半圓的半徑，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，設(shè)圓錐底面的半徑為，則解得，∴圓錐的底面半徑為；（2）∵，∴圓錐高與母線的夾角為，則；（3）∵∴，∴圓錐的側(cè)面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐與其展開圖.解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其基礎(chǔ)知識點(diǎn).熟能生巧6．（2019·江蘇東臺·初三月考）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請在網(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：（1）請在圖中確定該圓弧所在圓心D點(diǎn)的位置，D點(diǎn)坐標(biāo)為　　；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑為　　；扇形DAC的圓心角度數(shù)為　　；（3）若扇形DAC是某一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．【答案】（1）(2,0)；（2）2,90；（3）【解析】【分析】（1）作AB、BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交代即為點(diǎn)D，再根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）連接DA、DC，利用勾股定理求出AD的長，即⊙D的半徑；再利用SAS證得△AOD≌△DEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OAD=∠CDE，然后求出∠ADC的度數(shù)即可；（3）設(shè)出圓錐的底面半徑，再根據(jù)圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖即扇形的弧長，即可求出該圓錐的底面半徑.【詳解】（1）如圖，分別作AB、BC的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0).（2）連接DA、DC，如圖，則AD=，即⊙D的半徑為.∵OD=CE，OA=DE=4，∠AOD=∠CEO=90°，∴△AOD≌△DEC，∴∠OAD=∠CDE，∴∠ADO+∠CDE=∠ADO+∠OAD=90°，∴∠ADC=90°，即扇形DAC的圓心角度數(shù)為90°.（3）設(shè)圓錐的底面半徑是r，則，∴，即該圓錐的底面半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，弧長公式，勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.要能夠根據(jù)垂徑定理作出圓的圓心，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)確定角之間的關(guān)系，掌握圓錐的底面半徑的計算方法.7．（2021·江蘇丹徒·初三期中）如圖線段AB的端點(diǎn)在邊長為1的小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC．⑴請你在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑；⑵若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2， -1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；⑶線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中，線段AB掃過的區(qū)域的面積為；⑷若有一張與⑶中所說的區(qū)域形狀相同的紙片，將它圍成一個幾何體的側(cè)面，則該幾何體底面圓的半徑長為 .【答案】⑴略；⑵（5，0）；⑶；⑷；【解析】（1）線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC．線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑是一段弧，根據(jù)弧長公式計算路徑；（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-1），可建立直角坐標(biāo)系，從直角坐標(biāo)系中讀出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0）；（3）線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中，線段AB掃過的區(qū)域的面積為一個扇形，根據(jù)扇形公式計算；（4）將它圍成一個幾何體即圓錐的側(cè)面，則該幾何體底面圓的周長就等于弧長，利用此等量關(guān)鍵可計算出半徑．8．（2021·湖北宜昌·初三期末）如圖所示，已知扇形AOB的半徑為6㎝，圓心角的度數(shù)為120°，若將此扇形圍成一個圓錐，則：（1）求出圍成的圓錐的側(cè)面積為多少；（2）求出該圓錐的底面半徑是多少．【答案】（1）12π；（2）2．【解析】【分析】（1）因?yàn)樯刃蔚拿娣e就是圓錐的側(cè)面積，所以只要求出扇形面積即可；（2）因?yàn)樯刃螄梢粋€圓錐的側(cè)面，圓錐的底面圓的周長是扇形的弧長，借助扇形弧長公式可以求出圓錐的底面半徑．【詳解】解：（1）；（2）扇形的弧長=，圓錐的底面圓的周長=2πR=4π，解得：R=2；故圓錐的底面半徑為2．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計算，掌握公式正確計算是解題關(guān)鍵．9．（本小題滿分10分）如圖，已知扇形的半徑為15cm，∠AOB=120°．（1）求扇形的面積；（2）用這扇形圍成圓錐的側(cè)面，求該圓錐的高和底面半徑．【答案】（1）150π平方厘米（2）r=10cm；h=5cm【解析】【分析】（1）根據(jù)扇形的面積公式S=，代值計算即可（2）利用弧長公式可求得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑，再利用勾股定理求得高即可.【詳解】解：（1）∵S=∴S==150πcm2（2）∵弧長==20π∴2πr=20π，r=10cm，∴圓錐的高h==（cm）【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式以及圓錐有關(guān)計算，解本題的關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長.10．（2018·安徽桐城實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三期末）如圖①，兩同心圓的圓心為O,大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)P,已知兩圓的半徑分別為2和1. (1)用陰影部分的扇形圍成一個圓錐(OA與OB重合)，求該圓錐的底面半徑．(2)用余下部分再圍成一個圓錐(如圖②所示)，若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，求小蟲爬行的最短路線的長．【答案】（1）圓錐的底面半徑為；（2）小蟲爬行的最短路線為.【解析】【分析】（1）利用30°角的性質(zhì)可求得∠A的度數(shù)，進(jìn)而求出∠AOB的度數(shù)，可求優(yōu)弧AB的長度，除以2π即為圓錐的底面半徑；（2）由題意知，小蟲爬行的最短路線是弦AB的長，利用垂徑定理和勾股定理即可求得弦AB的長；【詳解】(1)連接OP，則OP⊥AB， ∵OA=2,OP=1,∴∠A=30°,∴∠AOB=180°-30°-30°=120°,∴優(yōu)弧AB的長為：∴圓錐的底面半徑為：=(2)由勾股定理得，AP=， ∵OP⊥AB，∴AB=2AP=.∴小蟲爬行的最短路線為.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，圓錐的弧長等于底面周長等知識點(diǎn)．熟練掌握弧長公式和垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．庖丁解牛11．（2019·江蘇無錫·初三期中）如圖，線段AB的端點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC．（1）請你用直尺和圓規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑；（2）若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　；（3）線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為　　；（4）若有一張與（3）中所說的區(qū)域形狀相同的紙片，將它圍成個圓錐的側(cè)面，則該圓錐底面圓的半徑長為　　．【答案】（1）畫圖見解析；（2）（5，0）；（3）；（4）．【解析】【分析】(1)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)將圖形旋轉(zhuǎn)90°即可得出答案；(2)、根據(jù)所畫的旋轉(zhuǎn)圖形得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)、根據(jù)扇形的面積計算公式，然后將圓心角的度數(shù)，半徑代入公式即可求出答案；(4)、根據(jù)弧長的計算公式，將圓心角的度數(shù)和半徑代入公式即可得出答案，然后根據(jù)弧BC的長度等于圓錐底面周長即可求出圓錐底面的半徑．【詳解】(1)、如圖所示：點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BC；(2)、如圖所示：點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(5，0)；故答案為(5，0)；(3)、線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中，線段AB掃過區(qū)域的面積為：；(4)、解：，弧，則，解得：．

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