專題06 平面圖形的滾動(dòng)問(wèn)題中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．(2＋2eq \r(2))π B．4π C．(2＋eq \r(2))π D．3π
【解析】 ∵正方形ABCD的邊AB＝1，∴對(duì)角線AC＝eq \r(2)，
∵點(diǎn)A翻滾一周經(jīng)過(guò)的路程弧長(zhǎng)l＝eq \f(π,2)×eq \r(2)＋2×eq \f(π,2)×1＝π＋eq \f(\r(2),2)π，
∴當(dāng)A第3次落在MN上時(shí)，
A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(\r(2),2)π))＝2π＋eq \r(2)π.
2、如圖，水平地面上有一面積為eq \f(15,2)π cm2的扇形AOB，半徑OA＝3 cm，且OA與地面垂直．在沒(méi)有滑動(dòng)的情況下，將扇形向右滾動(dòng)至與三角塊BDE接觸為止，此時(shí)，扇形與地面的接觸點(diǎn)為C，已知∠BCD＝30°，則O點(diǎn)移動(dòng)的距離至少為( B )
A．3π cm B．4π cm C.eq \f(9,2)π cm D．5π cm
【解析】 ∵扇形AOB的面積為eq \f(15,2)π cm2，
∴圓心角＝eq \f(15π×360,2×32π)＝300°，
連結(jié)OC，BC，∵∠BCD＝30°，∴∠BOC＝60°，
∴優(yōu)弧AC＝eq \f(240×π×3,180)＝4π cm.
3、如圖，一個(gè)圓作滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，它從位置A開(kāi)始，在與它相同的其它六個(gè)圓上部滾動(dòng)，到達(dá)B位置(六個(gè)圓的圓心與A，B在同一直線上)，則該圓上某一定點(diǎn)繞其圓心共滾過(guò)的圈數(shù)為( B )
A．3 B.eq \f(8,3) C.eq \f(15,6) D.eq \f(4,3)
【解析】 ∵弧長(zhǎng)＝eq \f(120π×2r×2＋60π×2r×4,180)＝eq \f(16,3)πr，小圓的周長(zhǎng)＝2πr，
∴該圓共滾過(guò)了eq \f(16,3)πr÷2πr＝eq \f(8,3)圈．
4、如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為_(kāi)_6π__．
[來(lái)源:Z。xx。k.Cm]
【思路生成】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是三段：①以90°為圓心角，AD長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；②以90°為圓心角，AB長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；③以90°為圓心角，矩形ABCD對(duì)角線長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)．
【解析】如答圖為滾動(dòng)路徑，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
答圖
∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，對(duì)角線AC(BD)＝5.
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)]
∴點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A′位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為eq \f(90π×3,180)＝eq \f(3π,2)，
同理，點(diǎn)A′第一次翻滾到點(diǎn)A″位置時(shí)，則點(diǎn)A′經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為eq \f(90π×4,180)＝2π，
點(diǎn)A″第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A″經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為eq \f(90π×5,180)＝eq \f(5π,2).
∴當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為eq \f(3π,2)＋2π＋eq \f(5π,2)＝6π.
【方法概括】以圖形運(yùn)動(dòng)為背景，求在圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一線段掃過(guò)的區(qū)域面積問(wèn)題．解決這類問(wèn)題的基本方法是：從特殊位置或極端位置入手，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而把握掃過(guò)的區(qū)域的圖形的形狀．
5、在Rt△ABC中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，如圖所示將Rt△ABC沿直線l無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)至Rt△DEF，則點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑與直線 l所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_eq \f(19,12)π＋eq \f(\r(3),2)__．
【解析】如答圖，在Rt△ABC中，AB＝1，∠A＝60°，
∴BC＝eq \r(3)，∠BCB′＝150°，
∠B′A′E＝120°，第一次滾動(dòng)的半徑為eq \r(3)，根據(jù)扇形面積公式S＝eq \f(nπR2,360°)＝eq \f(5π,4)，第二次滾動(dòng)的半徑為1，故扇形面積＝eq \f(π×120,360)＝eq \f(π,3)，△A′B′C的面積為eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，故總面積為eq \f(5π,4)＋eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(19π,12)＋eq \f(\r(3),2).[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)]
答圖
6、如圖，將含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A，B分別落在x，y軸的正半軸上，∠OAB＝60°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)．將三角板ABC沿x軸向右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)(先繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，再繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°…)．當(dāng)點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，則點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積是__eq \r(3)＋eq \f(17,12)π__．
【解析】 ∵∠OAB＝60°，OA＝1，∴AB＝2，BC＝eq \r(3)，∴扇形ABB1的面積為eq \f(1,6)π×22＝eq \f(2,3)π，扇形C1B1B2的面積為eq \f(1,4)π×(eq \r(3))2＝eq \f(3,4)π.△OAB與△ABC的面積之和為eq \r(3)，∴點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積是eq \f(2,3)π＋eq \f(3,4)π＋eq \r(3)＝eq \r(3)＋eq \f(17,12)π.
答圖
7、如圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖①的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖②位置．若正六邊形的邊長(zhǎng)為2 cm，則正六邊形的中心O運(yùn)動(dòng)的路程為_(kāi)_4π__cm.
① ②
【解析】根據(jù)題意得，每次滾動(dòng)，正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)60°.
∵正六邊形的邊長(zhǎng)為2 cm，∴運(yùn)動(dòng)的路徑為eq \f(60π×2,180)＝eq \f(2π,3).
∵從圖①運(yùn)動(dòng)到圖②共重復(fù)進(jìn)行了六次上述的移動(dòng)，
∴正六邊形的中心O運(yùn)動(dòng)的路程6×eq \f(2π,3)＝4π(cm)．

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