專題訓(xùn)練17：命題、定理與證明-2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)課標(biāo)要求-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識要點(diǎn)：
1、命題與定理
定義1：判斷一件事情的語句，叫做命題。
命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫懗伞叭绻?，那么……”的形式。“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。
定義2：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題。
定義3：題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題。
定義4：如果一個命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理。
定義5：兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆命題。其中一個叫做原命題，另外一個叫做逆命題。
如果定理的逆命題是正確的，那么它也是一個定理，我們把這個定理叫做原定理的逆定理。
2、證明:一個命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個推理過程叫做證明。
二、課標(biāo)要求：
1、通過具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義。
2、結(jié)合具體實(shí)例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念。會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。
3、知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達(dá)形式，會綜合法證明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的。
三、常見考點(diǎn)：
1、命題及命題真?zhèn)蔚呐袛唷?、命題的條件和結(jié)論的區(qū)分。3、寫出命題的逆命題。
四、專題訓(xùn)練：
1．下列說法正確的是（　?。?br /> A．一組數(shù)據(jù)6，5，8，8，9的眾數(shù)是8
B．甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，則甲組學(xué)生的身高較整齊
C．命題“若|a|＝1，則a＝1”是真命題
D．三角形的外角大于任何一個內(nèi)角
2．下列命題正確的是（　?。?br /> A．三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角
B．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部
C．三角形的一條中線將三角形分成兩個三角形面積相等
D．兩邊和其中一邊的對角相等的三角形全等
3．下列四個命題：①5是25的算術(shù)平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)．其中真命題的個數(shù)是（　?。?br /> A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
4．下列說法中，不正確的個數(shù)是（　?。?br /> ①若a+b＝0，則有a，b互為相反數(shù)，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，則有（a+b）（a﹣b）是正數(shù)；③三個五次多項(xiàng)式的和也是五次多項(xiàng)式；④a+b+c＜0，abc＞0，則﹣+﹣的結(jié)果有三個；⑤方程ax+b＝0（a，b為常數(shù)）是關(guān)于x的一元一次方程．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動路徑為，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
6．下列命題：
①負(fù)數(shù)沒有立方根；②一個實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；
③一個正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根與這個數(shù)同號；
④如果一個數(shù)的算術(shù)平方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1或0；
⑤如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1或0，其中錯誤的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
7．寫出“對頂角相等”的逆命題　 ?。?br /> 8．四位同學(xué)參加數(shù)學(xué)知識競賽活動，分別獲得第一、二、三、四名，大家猜測誰得第幾名時，明明說：“甲得第一，乙得第二”；文文說：“甲得第二，丁得第四”；凡凡說：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他們每人都只猜對了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次順序?yàn)椤? ?。ò匆弧⒍?、三、四的名次排序）
9．如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是第二象限圖象上一動點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，連接MN，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段MN長度的最小值是　 ?。?br />
10．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D'，點(diǎn)C的運(yùn)動路徑為．當(dāng)點(diǎn)B'落在CD上時，圖中陰影部分的面積為　 ?。?br />
11．如圖，等邊△ABC中，AB＝3，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是邊BC，CA上的動點(diǎn)，且BD＝CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，則點(diǎn)F的運(yùn)動路徑的長度為　 ?。?br />
12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如圖，將直角頂點(diǎn)B放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上向右移動時，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時，點(diǎn)B停止移動，在移動過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為　 ?。?br />
13．如圖，?ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，EF與對角線BD交于點(diǎn)O，以下三個條件：①BO＝DO；②EO＝FO；
③AE＝CF，以其中兩個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論組成命題，其中真命題的個數(shù)為　 ?。?br />
14．如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M為AB中點(diǎn)，D是射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接ED、ME，則點(diǎn)D在運(yùn)動過程中ME的最小值為　 ?。?br />
15．如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB⊥直徑CD，垂足為E，∠ACD＝30°，點(diǎn)P為⊙O上一動點(diǎn)，CF⊥AP于點(diǎn)F．
①弦AB的長度為　 ??；
②點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動的過程中，線段OF長度的最小值為　 ?。?br />
16．如圖，一個長為4，寬為3的長方形木板斜靠在水平桌面上的一個小方塊上，其短邊與水平桌面成30°夾角，將長方形木板按逆時針方向做兩次無滑動的翻滾，使其短邊恰好落在水平桌面上，則長方形木板頂點(diǎn)A在滾動過程中所經(jīng)過的路徑長為　 ?。?br />

17．桌子上有7張反面向上的紙牌，每次翻轉(zhuǎn)n張（n為正整數(shù)）紙牌，多次操作后能使所有紙牌正面向上嗎？用“+1”、“﹣1”分別表示一張紙牌“正面向上”、“反面向上”，將所有牌的對應(yīng)值相加得到總和，我們的目標(biāo)是將總和從﹣7變化為+7．
（1）當(dāng)n＝1時，每翻轉(zhuǎn)1張紙牌，總和的變化量是2或﹣2，則最少　　次操作后所有紙牌全部正面向上；
（2）當(dāng)n＝2時，每翻轉(zhuǎn)2張紙牌，總和的變化量是　　，多次操作后能使所有紙牌全部正面向上嗎？若能，最少需要幾次操作？若不能，簡要說明理由；
（3）若要使多次操作后所有紙牌全部正面向上，寫出n的所有可能的值．

18．閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．
在學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后，老師請學(xué)們證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直．
小穎根據(jù)命題畫出圖形并寫出如下的已知條件．
已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線與∠DFE的平分線交于點(diǎn)G．求證：　 ?。?br /> （1）請補(bǔ)充要求證的結(jié)論，并寫出證明過程；
（2）請從下列A、B兩題中任選一題作答，我選擇　　題．
A．在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線與∠DFG的平分線交于點(diǎn)M，得到圖2，則∠EMF的度數(shù)為　 ?。?br /> B．如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側(cè)，∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點(diǎn)P，則∠EOF與∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系為　　．

19．點(diǎn)E、F分別是菱形ABCD邊BC、CD上的點(diǎn)．
（1）如圖，若CE＝CF，求證AE＝AF；
（2）判斷命題“若AE＝AF，則CE＝CF”的真假．若真，請證明；若假，請?jiān)趥溆脠D上畫出反例．

20．概念學(xué)習(xí)．已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一個三角形，其內(nèi)角與△ABC的三個內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn)．

理解應(yīng)用
（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫“真命題”；反之，則寫“假命題”．
①內(nèi)角分別為30°、60°、90°的三角形存在等角點(diǎn)；　 ?。?br /> ②任意的三角形都存在等角點(diǎn)；　　；
（2）如圖①，點(diǎn)P是銳角△ABC的等角點(diǎn)，若∠BAC＝∠PBC，探究圖①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
解決問題
如圖②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn)，求△ABC三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．

參考答案
1．解：A、一組數(shù)據(jù)6，5，8，8，9的眾數(shù)是8，是真命題；
B、甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，則乙組學(xué)生的身高較整齊，原命題是假命題；
C、命題“若|a|＝1，則a＝1”是假命題，原命題是假命題；
D、三角形的外角大于任何一個不與它相鄰的內(nèi)角，原命題是假命題；
故選：A．
2．解：A、三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角，原命題是假命題；
B、鈍角三角形的三條高不在三角形內(nèi)部，原命題是假命題；
C、三角形的一條中線將三角形分成兩個三角形面積相等，是真命題；
D、兩邊和其夾角相等的三角形全等，原命題是假命題；
故選：C．
3．解：①5是25的算術(shù)平方根，本小題說法是真命題；
②∵（﹣4）2的平方根是±4，
∴本小題說法是假命題；
②經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，本小題說法是真命題；
④∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，
∴本小題說法是假命題；
故選：C．
4．解：①若a+b＝0，則有a，b互為相反數(shù)，當(dāng)a＝b＝0時，無意義，本小題說法不正確；②∵|a|＞|b|，
∴a2＞b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正數(shù)，本小題說法正確；
③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，
則三個五次多項(xiàng)式的和不一定是五次多項(xiàng)式，本小題說法不正確；
④當(dāng)a+b+c＜0，abc＞0時，a、b、c兩個正數(shù)、一個負(fù)數(shù)或一個正數(shù)、兩個負(fù)數(shù)，
則﹣+﹣的結(jié)果有兩個，本小題說法不正確；
⑤方程ax+b＝0（a，b為常數(shù)），當(dāng)a＝0時，不是關(guān)于x的一元一次方程，本小題說法不正確；
故選：D．
5．解：連接AC'，

在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∵旋轉(zhuǎn)角為30°，
∴A、B′、C共線．
∴AC＝＝＝2，
∵S陰＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，
∴S陰＝﹣＝﹣，
故選：B．
6．解：①負(fù)數(shù)有立方根，原命題是假命題；
②一個實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根一定是非負(fù)數(shù)，原命題是假命題；
③一個正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根與這個數(shù)同號，原命題是真命題；
④如果一個數(shù)的算術(shù)平方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1或0，原命題是真命題；
⑤如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1、﹣1或0，原命題是假命題；
故選：B．
7．解：∵原命題的條件是：如果兩個角是對頂角，結(jié)論是：那么這兩個角相等；
∴其逆命題應(yīng)該為：如兩個角相等那么這兩個角是對頂角，簡化后即為：相等的角是對頂角．
8．解：因?yàn)樗麄兠咳酥徊聦σ话耄?br /> 可以先假設(shè)明明說“甲得第一”是正確的，由此推導(dǎo)：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假設(shè)明明說“乙得第二”是正確的，由此進(jìn)行推導(dǎo)：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次順序?yàn)榧住⒈?、乙、?。?br /> 故答案為：甲、丙、乙、?。?br /> 9．解：連接OP．

∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（﹣2，0），B（02），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，
∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴四邊形OMPN是矩形，
∴MN＝OP，
∴當(dāng)OP⊥AB時，MN＝OP的值最小，最小值＝OA?sin30°＝，
故答案為．
10．解：如圖，連接AC，AC′．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵AB＝2，BC＝，
∴AC＝＝＝，
∵cos∠DAB′＝，
∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，
∴S陰＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．
故答案為﹣．
11．解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∴在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的弧，
如圖，

此時∠AOB＝120°，OA＝＝，
所以弧AB的長為：＝．
則點(diǎn)F的運(yùn)動路徑的長度為．
故答案為：．
12．解：如圖所示：取A1B1的中點(diǎn)E，連接OE，C1E，當(dāng)O，E，C1在一條直線上時，點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離最大，在
Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，點(diǎn)OE為斜邊中線，
∴OE＝B1E＝A1B1＝4，
又∵B1C1＝BC＝4，
∴C1E＝＝4，
∴點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為：OE+C1E＝4+4．
故答案為：4+4．

13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，結(jié)論：③AE＝CF．
理由：在△DOE和△BOF中
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴AE＝FC，
同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，結(jié)論：①BO＝DO，是真命題；
已知：①BO＝DO，③AE＝CF，結(jié)論：②EO＝FO，是真命題，
故答案為：3．
14．解：如圖，

連接BE，過點(diǎn)M作MG⊥BE的延長線于點(diǎn)G，
過點(diǎn)A作AK⊥AB交BD的延長線于點(diǎn)K，
∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠K＝45°，
∴△AKB是等腰直角三角形．
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，
∴∠KAD＝∠BAE，
在△ADK和△AEB中，

∴△ADK≌△AEB（SAS），
∴∠ABE＝∠K＝45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵AC＝BC＝4，
∴AB＝4，
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴BM＝2，
∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，
∴BM＞MG，
∴當(dāng)ME＝MG時，ME的值最小，
∴ME＝BE＝2．
故答案為2．
15．解：①如圖，連接OA．

∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA?sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案為2．
②取AC的中點(diǎn)H，連接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，
∴OF的最小值為﹣1．
故答案為﹣1．
16．解：第一次轉(zhuǎn)動是以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑，圓心角是60度
所以弧AA1的長＝＝π，
第二次轉(zhuǎn)動是以點(diǎn)N為圓心，A′N為半徑圓心角為90度，
所以弧A′A″的長＝＝π，
所以總長為π．
故答案為π．

17．解：（1）總變化量：7﹣（﹣7）＝14，
次數(shù)（至少）：14÷2＝7，
故答案為：7；
（2）①兩張由反到正，變化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，
②兩張由正到反，變化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，
③一正一反變一反一正，變化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，
不能全正，
總變化量仍為14，無法由4，﹣4，0組成，
故不能所有紙牌全正；
故答案為：14；
（3）由題可知：0＜n≤7．
①當(dāng)n＝1時，由（1）可知能夠做到，
②當(dāng)n＝2時，由（2）可知無法做到，
③當(dāng)n＝3時，總和變化量為6，﹣6，2，﹣2，
14＝6+6+2，
故n＝3可以，
④當(dāng)n＝4時，總和變化量為8，﹣8，4，﹣4，0，
14無法由8，﹣8，4，﹣4，0組成，
故＝4不可以，
⑤當(dāng)n＝5時，總和變化量為10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，
14＝10+2+2，
故n＝5可以，
⑥當(dāng)n＝6時，總和變化量為12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，
無法組合，
故n＝6不可以，
⑦當(dāng)n＝7時，一次全翻完，可以，
故n＝1，3，5，7時，可以．
18．解：（1）結(jié)論：EG⊥FG；
理由：如圖1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，
∴，，
∴．
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案為EG⊥GF．
（2）A．如圖2中，由題意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．如圖3中，由題意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案為A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．
19．解：（1）連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠ACF，
在△ACE與△ACF中
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，
（2）當(dāng)AE＝AF＝AF'時，CE≠CF'，如備用圖，

所以命題“若AE＝AF，則CE＝CF”是假命題．
20．解：理解應(yīng)用
（1）①內(nèi)角分別為30、60、90的三角形存在等角點(diǎn)是真命題；
②任意的三角形都存在等角點(diǎn)是假命題，如等邊三角形不存在等角點(diǎn)；
故答案為：真命題，假命題；
（2）如圖①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，
∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；
解決問題
如圖②，連接PB，PC
∵P為△ABC的角平分線的交點(diǎn)，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵P為△ABC的等角點(diǎn)，
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，
∴∠A＝，
∴該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為，，